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  - Algorithms
  - BOJ
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  - algorithms
  - boj
title: 랜덤 PS일지 (1)
date: 2023-11-02
github_title: 2023-11-02-random-ps-1
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중간고사 끝난 것을 기념으로! 근데 첫 문제는 시험 전날에 공부하기 싫어서 잡았다.

## 30323번

- [BOJ 30323](https://www.acmicpc.net/problem/30323): Exponentiation

주어진 $\alpha = x + x^{-1}$와 $\beta$에 대하여 $x^\beta + x^{-\beta} \pmod m$을 구하면 된다.

먼 옛날 곱셈 공식의 변형

$$
x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2
$$

을 공부하던 기억을 떠올리며...

$\beta$가 짝수인 경우에는 쉽게 처리할 수 있다.

$$
x^\beta + x^{-\beta} = (x^{\beta/2} + x^{-\beta/2})^2 - 2.
$$

홀수인 경우에는[^1] 지수의 크기를 절반으로 줄이는 것이 핵심일테니,

$$
x^\beta + x^{-\beta} = \left( x^{\frac{\beta+1}{2}} + x^{-\frac{\beta+1}{2}}\right)\left( x^{\frac{\beta-1}{2}} + x^{-\frac{\beta-1}{2}}\right) - (x + x^{-1})
$$

를 생각하면 된다. 같은 지수에 대해서 여러 번 계산을 할 수도 있으므로, 결과를 저장해뒀다가 꺼내서 쓰도록 하자.

## 12728, 12925번

- [BOJ 12728](https://www.acmicpc.net/problem/12728): $n$제곱 계산
- [BOJ 12925](https://www.acmicpc.net/problem/12925): Numbers

두 문제가 같은 문제이다. $(3 + \sqrt{5})^n$의 정수부분의 마지막 $3$자리를 구하면 된다.

중학교 시절 에이급 수학에서 $(3 + 2\sqrt{2})^5$의 정수부분을 구하라는 문제를 봤었는데 이 때 사용했던 아이디어가 켤레무리수를 생각하는 것이었다. 비슷한 아이디어를 2017학년도 서울대학교 공과대학 수시 일반 심층 면접에서도 $(2 + \sqrt{5})^n$이 나와 사용했었다. 그리고...

> **정리.** $\alpha = 3 + \sqrt{5}$, $\beta = 3 - \sqrt{5}$ 일 때, $\alpha^n + \beta^n \in \mathbb{N}$ for all $n \in \mathbb{N}$.[^2]

여기서 핵심은 $0 < \beta < 1$ 임을 이용하는 것이다. 따라서, $\alpha^n$의 정수부분은 $\alpha^n + \beta^n - 1$이 된다. 이제 $\alpha^n + \beta^n$만 구하면 된다. 근과 계수의 관계를 이용하면 수열 $s _ n = \alpha^n + \beta^n$에 대한 귀납적 정의를 얻을 수 있다.

$n$이 크기 때문에 계산은 행렬을 빠르게 거듭제곱하는 형태를 사용하면 된다.

## 4215번

- [BOJ 4215](https://www.acmicpc.net/problem/4215): To Add or to Multiply

우선 주어진 범위 내에서 가능한 곱셈의 횟수는 최대 $29$번이다. ($2^{30} > 10^9$) 그러므로 모든 $m$에 대해 조사할 시간은 충분하다.

곱셈을 $g$번 한다고 가정하고, 이 때 $0, \dots, g$ 번째 덧셈 횟수를 $h _ i$라 하자. 그렇다면 입력이 $x$일 때, 우리가 생성한 프로그램의 최종 값은

$$
x \cdot m^g + a \sum _ {i=0}^g m^{g-i} h _ i
$$

가 된다. 입력 범위 $[p, q]$를 $[r, s]$로 보내야 하므로, 부등식을 세워보면

$$
 \tag{1}
a\sum _ {i=0}^g m^{g-i} h _ i \in \left[ r - p \cdot m^g, s - q\cdot m^g \right]
$$

여야 함을 알 수 있다. 그러면 이제 프로그램의 길이를 최소화 해야하는데, 길이가 $\sum _ {i=0}^g h _ i + g$ 이므로 $h _ i$의 합을 최소화하는 방향으로 생각해본다. 좌변의 식을 조금 풀어서 써보면

$$
a\sum _ {i=0}^g m^{g-i} h _ i =(am^g)h _ 0 + (am^{g-1})h _ 1 + \cdots + (a)h _ g
$$

이므로 $\sum h _ i$를 최소화 하려면 $h _ 0$부터 $h _ g$까지 순서대로 잡아주면 된다. 이 때 $(1)$의 범위를 만족해야 하므로, 범위를 만족하는 최소의 $h _ 0$가 잡히면 바로 끝. 만약 불가능하다면 $r - p\cdot m^g$를 넘지 않는 최대의 $h _ 0$를 잡고 이번에는 구간 양 끝에서 $am^gh _ 0$를 뺀 뒤 같은 방법으로 $h _ 1$을 잡으면 된다.

모든 가능한 프로그램의 후보를 얻었다면, 가장 짧은 것을 찾고 사전 순으로 제일 먼저 오는 것을 찾으면 된다. 사전 순 정렬의 경우 귀납적으로 생각하면 쉽게 구현할 수 있다. 앞에서부터 연산의 종류와 횟수를 비교하면 된다.

## 13174번

- [BOJ 13174](https://www.acmicpc.net/problem/13174): 괄호

어차피 palindrome이니 절반을 정해주면 나머지는 자동으로 결정된다. 그러므로 길이 $n$인 괄호 문자열의 임의의 prefix에 대해 `)`의 개수는 `(`의 개수를 넘을 수 없다.

이는 [Catalan's triangle](https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_triangle)의 응용이다. $i$개의 `(`와 $n-i$개의 `)`로 길이 $n$인 괄호 문자열을 구성하고, $k$개의 색으로 칠한다고 했으니 정답은

$$
\sum _ {i=\lceil n/2\rceil}^n C(i, n-i)\cdot k^i
$$

이다. 색칠하는 방법의 수가 $k^i$인 이유는 각 `)`가 짝이 되는 `(`와 색이 같아야 하므로 `(`의 색만 정하면 되기 때문이다.

계산에는

$$
C(n, k) = \frac{n-k+1}{n+1} {n+k \choose k}
$$

를 사용하면 된다.

[^1]: 원래 빠른 거듭제곱을 할 때는 $a^n = a \cdot (a^2)^{(n-1)/2}$ 으로 했던 것 같은데 이 경우에는 잘 안되므로...
[^2]: 증명은 귀납법. 이항정리를 써도 좋고, 수열의 귀납적 정의를 사용해도 좋다.
