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categories: [Mathematics, Measure Theory]
tags: [math, analysis, measure-theory]
title: "04. Measurable Functions"
date: "2023-02-06"
github_title: "2023-02-06-measurable-functions"
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Lebesgue integral을 공부하기 전 마지막 준비입니다. Lebesgue integral은 다음과 같이 표기합니다.

$$\int_X f \,d{\mu}$$

표기를 보면 크게 3가지 요소가 있음을 확인할 수 있습니다. 바로 집합 $X$, measure $\mu$, 그리고 함수 $f$입니다. 집합과 measure는 다루었으니 마지막으로 함수에 관한 이야기를 조금 하면 Lebesgue integral을 정의할 수 있습니다!

## Measurable Function

이제부터 다루는 measurable function 관련 내용은 일반적인 measurable space $(X, \mathscr{F})$에서 논의합니다. 여기서 $\mathscr{F}$는 당연히 $\sigma$-algebra on $X$입니다.

**정의.** (Measurable Function) Measurable space $(X, \mathscr{F})$와 함수 $f : X \rightarrow\overline{\mathbb{R}}$ 가 주어졌을 때, 모든 $a \in \mathbb{R}$ 에 대하여 집합

$$\lbrace x \in X : f(x) > a\rbrace$$

가 measurable이면 $f$를 **measurable function**이라 한다.[^1]

위 사실로부터 다음을 바로 알 수 있습니다.

**따름정리.** $\mathbb{R}^p$에서 정의된 연속함수는 Lebesgue measurable이다.

**증명.** 임의의 $a \in \mathbb{R}$ 에 대해 $\lbrace x : f(x) > a\rbrace$가 $\mathbb{R}^p$의 열린집합이므로, $\mathfrak{M}(m)$의 원소가 되어 measurable이다.

위 정의를 보고 생각하다 보면 굳이 $f(x) > a$ 로 정의해야 했나 의문이 생깁니다. $f(x) \geq a$, $f(x) < a$ 를 사용할 수도 있었을 것입니다.

**정리.** Measurable space $X$ 위에서 정의된 함수 $f$가 주어졌을 때, 다음은 동치이다.

1. 모든 $a \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $\lbrace x : f(x) > a\rbrace$는 measurable이다.

2. 모든 $a \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $\lbrace x : f(x) \geq a\rbrace$는 measurable이다.

3. 모든 $a \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $\lbrace x : f(x) < a\rbrace$는 measurable이다.

4. 모든 $a \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $\lbrace x : f(x) \leq a\rbrace$는 measurable이다.

**증명.** 우선 (1)을 가정하고, 다음 관계식을 이용하면

$$\begin{aligned}        \lbrace x : f(x) \geq a\rbrace & = f^{-1}\left( [a, \infty) \right) \\                            & = f^{-1}\left( \bigcup_ {n=1}^{\infty} \left( a + \frac{1}{n}, \infty \right) \right) \\                            & = \bigcup_ {n=1}^{\infty} f^{-1}\left( \left( a + \frac{1}{n}, \infty \right) \right)    \end{aligned}$$

measurable set의 countable union도 measurable이므로 ($\sigma$-algebra) (2)가 성립한다. 이제 (2)를 가정하면

$$\lbrace x : f(x) < a\rbrace = X \setminus\lbrace x : f(x) \geq a\rbrace$$

로부터 (3)이 성립하는 것을 알 수 있다. (3)을 가정하면 위와 마찬가지 방법으로

$$\begin{aligned}        \lbrace x : f(x) \leq a\rbrace & = f^{-1}\left( (-\infty, a] \right) \\                            & = f^{-1}\left( \bigcup_ {n=1}^{\infty} \left( -\infty, a - \frac{1}{n} \right) \right) \\                            & = \bigcup_ {n=1}^{\infty} f^{-1}\left( \left( -\infty, a - \frac{1}{n} \right) \right)    \end{aligned}$$

과 같이 변형하여 (4)가 성립함을 알 수 있다. 마지막으로 (4)를 가정하면

$$\lbrace x : f(x) > a\rbrace = X \setminus\lbrace x : f(x) \leq a\rbrace$$

로부터 (1)이 성립함을 알 수 있다.

## Properties of Measurable Functions

이제 정의를 살펴봤으니, measurable function들이 어떠한 성질을 갖는지 살펴봅니다.

**정리.** $f$가 measurable이면 $\lvert f \rvert$도 measurable이다.

**증명.** 다음 관계로부터 자명하다.

$$\lbrace x : \lvert f(x) \rvert < a\rbrace = \lbrace x : f(x) < a\rbrace \cap \lbrace x : f(x) > -a\rbrace.$$

역은 성립할까요?

**참고.** 역은 성립하지 않는다. Measurable하지 않은 $S \subseteq(0, \infty)$ 위에서 함수 $g$를 다음과 같이 정의하자.

$$g(x) = \begin{cases}        x & (x \in S) \\ -x & (x \notin S).    \end{cases}$$

그러면 모든 $x \in \mathbb{R}$ 에 대해 $\lvert g(x) \rvert = x$ 이므로 $\lvert g \rvert$는 measurable function이다. 하지만 $\lbrace x : g(x) > 0\rbrace = \mathbb{R}\setminus(-\infty, 0] = S$ 는 measurable이 아니므로 $g$는 measurable function이 아니다.

**명제.** $f, g$가 measurable function이라 하자.

1. $\max\lbrace f, g\rbrace$, $\min\lbrace f, g\rbrace$는 measurable function이다.

2. $f^+ = \max\lbrace f, 0\rbrace$, $f^- = -\min\lbrace f, 0\rbrace$ 는 measurable function이다.

**증명.** 다음과 같이 적는다.

$$\begin{aligned}        \lbrace x : \max\lbrace f, g\rbrace > a\rbrace & = \lbrace x : f(x) > a\rbrace \cup \lbrace x : g(x) > a\rbrace \\        \lbrace x : \min\lbrace f, g\rbrace < a\rbrace & = \lbrace x : f(x) < a\rbrace \cup \lbrace x : g(x) < a\rbrace    \end{aligned}$$

그리고 (2)는 (1)에 의해 자명하다.

다음은 함수열의 경우입니다. Measurable 함수열의 극한함수도 measurable일까요?

**정리.** $\lbrace f_n\rbrace$가 measurable 함수열이라 하자. 그러면

$$\sup_ {n\in \mathbb{N}} f_n, \quad \inf_ {n\in \mathbb{N}} f_n, \quad \limsup_ {n \rightarrow\infty} f_n, \quad \liminf_ {n \rightarrow\infty} f_n$$

은 모두 measurable이다.

**증명.** 다음이 성립한다.

$$\inf f_n = -\sup\left( -f_n \right), \quad \limsup f_n = \inf_n \sup_ {k\geq n} f_k, \quad \liminf f_n = -\limsup\left( -f_n \right).$$

따라서 위 명제는 $\sup f_n$에 대해서만 보이면 충분하다. 이제 $\sup f_n$이 measurable function인 것은

$$\lbrace x : \sup_ {n\in\mathbb{N}} f_n(x) > a\rbrace = \bigcup_ {n=1}^{\infty} \lbrace x : f_n(x) > a\rbrace \in \mathscr{F}$$

로부터 당연하다.

$\lim f_n$이 존재하는 경우, 위 명제를 이용하면 $\lim f_n = \limsup f_n = \liminf f_n$ 이기 때문에 다음을 알 수 있습니다. Measurability는 극한에 의해서 보존됩니다!

**따름정리.** 수렴하는 measurable 함수열의 극한함수는 measurable이다.

이제 마지막으로 measurable 함수의 합과 곱 또한 measurable이면 좋겠습니다. 각각 증명하는 것도 방법이지만, 두 경우를 한꺼번에 증명할 수 있는 방법이 있습니다.

**정리.** $X$에서 정의된 실함수 $f, g$가 measurable이라 하자. 연속함수 $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}$ 에 대하여 $h(x) = F\big(f(x), g(x)\big)$ 는 measurable이다. 이로부터 $f + g$와 $fg$가 measurable임을 알 수 있다.[^2]

**증명.** $a \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $G_a = \lbrace (u, v)\in \mathbb{R}^2 : F(u, v) > a\rbrace$ 로 정의합니다. 그러면 $F$가 연속이므로 $G_a$는 열린집합이고, $G_a$ 열린구간의 합집합으로 적을 수 있다. 따라서 $a_n, b_n, c_n, d_n\in \mathbb{R}$ 에 대하여

$$G_a = \displaystyle\bigcup_ {n=1}^{\infty} (a_n, b_n) \times (c_n, d_n)$$

로 두면

$$\begin{aligned}        \lbrace x \in X : F\bigl(f(x), g(x)\bigr) > a\rbrace = & \lbrace x \in X : \bigl(f(x), g(x)\bigr) \in G_a\rbrace \\        = & \bigcup_ {n=1}^{\infty} \lbrace x \in X : a_n < f(x) < b_n,\, c_n < g(x) < d_n\rbrace \\        = & \bigcup_ {n=1}^{\infty} \lbrace x \in X : a_n < f(x) < b_n\rbrace \cap \lbrace x \in X : c_n < g(x) < d_n\rbrace    \end{aligned}$$

이다. 여기서 $f, g$가 measurable이므로 $\lbrace x \in X : F\bigl(f(x), g(x)\bigr) > a\rbrace$도 measurable이다. 이로부터 $F(x, y) = x + y$, $F(x, y) = xy$ 인 경우를 고려하면 $f+g$, $fg$가 measurable임을 알 수 있다.

## Characteristic Function

아래 내용은 Lebesgue integral의 정의에서 사용할 매우 중요한 building block입니다.

**정의.** (Characteristic Function) 집합 $E \subseteq X$ 의 **characteristic function** $\chi_E$는 다음과 같이 정의한다.

$$\chi_E(x) = \begin{cases}        1 & (x\in E) \\ 0 & (x \notin E).    \end{cases}$$

참고로 characteristic function은 indicator function 등으로도 불리며, $\mathbf{1} _ E, K_E$로 표기하는 경우도 있습니다.

## Simple Function

**정의.** (Simple Function) 함수 $s: X\rightarrow\mathbb{R}$ 의 치역이 유한집합이면 **simple function**이라 한다.

치역이 유한집합임을 이용하면 simple function은 다음과 같이 적을 수 있습니다.

**참고.** 치역의 원소를 잡아 $s(X) = \lbrace c_1, c_2, \dots, c_n\rbrace$ 로 두자. 여기서 $E_i = s^{-1}(c_i)$ 로 두면 다음과 같이 적을 수 있다.

$$s(x) = \sum_ {i=1}^{n} c_i \chi_ {E_i}(x).$$

이로부터 모든 simple function은 characteristic function의 linear combination으로 표현됨을 알 수 있습니다. 물론 $E_i$는 쌍마다 서로소입니다.

여기서 $E_i$에 measurable 조건이 추가되면, 정의에 의해 $\chi_ {E_i}$도 measurable function입니다. 따라서 모든 measurable simple function을 measurable $\chi_ {E_i}$의 linear combination으로 표현할 수 있습니다.

![mt-04.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-04.png)

아래 정리는 simple function이 Lebesgue integral의 building block이 되는 이유를 잘 드러냅니다. 모든 함수는 simple function으로 근사할 수 있습니다.

**정리.** $f : X \rightarrow\overline{\mathbb{R}}$ 라 두자. 모든 $x \in X$ 에 대하여

$$\lim_ {n \rightarrow\infty} s_n(x) = f(x), \quad \lvert s_n(x) \rvert \leq \lvert f(x) \rvert$$

인 simple 함수열 $s_n$이 존재한다. 여기서 추가로

1. $f$가 유계이면 $s_n$은 $f$로 고르게 수렴한다.

2. $f\geq 0$ 이면 단조증가하는 함수열 $s_n$이 존재하며 $\displaystyle\sup_ {n\in \mathbb{N}} s_n = f$ 이다.

3. **$f$가 measurable이면 measurable simple 함수열 $s_n$이 존재한다.**

**증명.** 우선 $f \geq 0$ 인 경우부터 보인다. $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 집합 $E_ {n, i}$를 다음과 같이 정의한다.

$$E_ {n, i} = \begin{cases}        \left\lbrace x : \dfrac{i}{2^n} \leq f(x) < \dfrac{i+1}{2^n}\right\rbrace & (i = 0, 1, \dots, n\cdot 2^n - 1) \\        \lbrace x : f(x) \geq n\rbrace & (i = n\cdot 2^n)    \end{cases}$$

이를 이용하여

$$s_n(x) = \sum_ {n=0}^{n\cdot 2^n} \frac{i}{2^n} \chi_ {E_ {n, i}} (x)$$

로 두면 $s_n$은 simple function이다. 여기서 $E_ {n, i}$와 $s_n$의 정의로부터 $s_n(x) \leq f(x)$ 은 자연스럽게 얻어지고, $x \in \lbrace x : f(x) < n\rbrace$ 에 대하여 $\lvert f(x) - s_n(x) \rvert \leq 2^{-n}$ 인 것도 알 수 있다. 여기서 $f(x) \rightarrow\infty$ 로 발산하는 부분이 존재하더라도, 충분히 큰 $n$에 대하여 $\lbrace x : f(x) \geq n\rbrace$ 위에서는 $s_n(x) = n \rightarrow\infty$ 이므로 문제가 되지 않는다. 따라서

$$\lim_ {n \rightarrow\infty} s_n(x) = f(x), \quad (x \in X)$$

라 할 수 있다.

(1)을 증명하기 위해 $f$가 유계임을 가정하면, 적당한 $M > 0$ 에 대해 $f(x) < M$ 이다. 그러면 충분히 큰 $n$에 대하여 $\lbrace x : f(x) < n\rbrace = X$ 이므로 모든 $x \in X$ 에 대해

$$\lvert f(x) - s_n(x) \rvert \leq 2^{-n}$$

가 되어 $s_n$이 $f$로 고르게 수렴함을 알 수 있다.

(2)의 경우 $s_n$의 정의에 의해 단조증가함을 알 수 있다. 여기서 $f \geq 0$ 조건은 분명히 필요하다. $s_n(x) \leq s_ {n+1}(x)$ 이므로 당연히 $\displaystyle\sup_ {n\in \mathbb{N}} s_n = f$ 이다.

(3)을 증명하기 위해 $f$가 measurable임을 가정하면 $E_ {n, i}$도 measurable이므로 $s_n$은 measurable simple 함수열이 된다.

이제 일반적인 $f$에 대해서는 $f = f^+ - f^-$ 로 적는다.[^3] 그러면 앞서 증명한 사실을 이용해 $g_n \rightarrow f^+$, $h_n \rightarrow f^-$ 인 simple function $g_n, h_n$을 잡을 수 있다. 이제 $s_n = g_n - h_n$ 으로 두면 $\lvert s_n(x) \rvert \leq \lvert f(x) \rvert$ 가 성립하고, $s_n \rightarrow f$ 도 성립한다.

한편 이 정리를 이용하면 $f + g$, $fg$가 measurable임을 증명하기 쉬워집니다. 단, $f+g$, $fg$가 잘 정의되어야 합니다. 이는 $\infty - \infty$ 와 같은 상황이 발생하지 않는 경우를 말합니다.

**따름정리.** $f, g$가 measurable이고 $f + g$, $fg$가 잘 정의된다면, $f+g$와 $fg$는 measurable이다.

**증명.** $f, g$를 각각 measurable simple function $f_n, g_n$으로 근사한다. 그러면

$$f_n + g_n \rightarrow f + g, \quad f_ng_n \rightarrow fg$$

이고 measurability는 극한에 의해 보존되므로 $f+g, fg$는 measurable이다.

[^1]: 일반적으로는 ‘measurable set의 preimage가 measurable이 될 때’로 정의합니다.
[^2]: 참고로 $\infty - \infty$ 의 경우는 정의되지 않으므로 생각하지 않습니다.
[^3]: 이 정의에서 $\infty - \infty$ 가 나타나지 않음에 유의해야 합니다.
