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This commit is contained in:
GitHub
@@ -8,10 +8,12 @@ title: "01. Algebra of Sets"
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date: "2023-01-11"
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github_title: "2023-01-11-algebra-of-sets"
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path: /assets/img/posts/mt-01.png
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path: /assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory/mt-01.png
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folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
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르벡 적분을 공부하기 위해서는 먼저 집합의 ‘길이’ 개념을 공부해야 합니다. 그리고 집합의 ‘길이’ 개념을 확립하기 위해서는 집합 간의 연산과 이에 대한 구조가 필요합니다.
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@@ -198,9 +200,6 @@ $$\lim_ {n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu\left( \bigcap_ {n=1}^\infty A_n \rig
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이제 measure의 개념을 정리했으니 다음 글에서는 본격적으로 집합을 재보려고 합니다. 우리의 목표는 $\mathbb{R}^p$에서 measure를 정의하는 것입니다. 우선 쉽게 잴 수 있는 집합들부터 고려할 것입니다.
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[^1]: $\sigma$-ring 이면 불필요한 조건이지만, 일반적인 ring에 대해서는 필요한 조건입니다.
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[^2]: 증명은 해석개론, 김김계 책을 참고해주세요. 각 구간마다 유리수를 택할 수 있고, 유리수는 countable이기 때문에...
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[^3]: 확률의 덧셈정리와 유사합니다. 확률론 또한 measure theory와 관련이 깊습니다.
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[^4]: 무한하지 않다는 조건이 있어야 이항이 가능합니다.
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@@ -8,10 +8,12 @@ title: "02. Construction of Measure"
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date: "2023-01-23"
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github_title: "2023-01-23-construction-of-measure"
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image:
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path: /assets/img/posts/mt-02.png
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path: /assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory/mt-02.png
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folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
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이제 본격적으로 집합을 재보도록 하겠습니다. 우리가 잴 수 있는 집합들부터 시작합니다. $\mathbb{R}^p$에서 논의할 건데, 이제 여기서부터는 $\mathbb{R}$의 구간의 열림/닫힘을 모두 포괄하여 정의합니다. 즉, $\mathbb{R}$의 구간이라고 하면 $[a, b], (a, b), [a, b), (a, b]$ 네 가지 경우를 모두 포함합니다.
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@@ -199,7 +201,7 @@ $$\mu^\ast(A) + \mu^\ast(B) = \mu^\ast(A\cup B) + \mu^\ast(A \cap B)$$
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와 같이 정의하면 $A_n$이 쌍마다 서로소이고 $A_n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 임을 알 수 있다.
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위 사실을 이용하여 $A_n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대하여 $A = \displaystyle\bigcup_ {n=1}^\infty A_n$ 으로 두자.
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위 사실을 이용하여 $A_n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대하여 $A = \displaystyle\bigcup_ {n=1}^\infty A_n$ 으로 두자.
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1. Countable subadditivity에 의해 $\displaystyle\mu^\ast(A) \leq \sum_ {n=1}^{\infty} \mu^\ast (A_n)$ 가 성립한다.
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@@ -254,9 +256,6 @@ $$A_n \cap B = \bigcup_ {k=1}^\infty (A_n \cap B_k) \in \mathfrak{M}(\mu)$$
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이제 $\Sigma$ 위의 $\mu$ 정의를 $\mathfrak{M}(\mu)$ ($\sigma$-algebra)로 확장하여 $\mathfrak{M}(\mu)$ 위에서는 $\mu = \mu^\ast$ 로 정의합니다. $\Sigma$ 위에서 $\mu = m$ 일 때, 이와 같이 확장한 $\mathfrak{M}(m)$ 위의 $m$을 **Lebesgue measure** on $\mathbb{R}^p$라 합니다. 그리고 $A \in \mathfrak{M}(m)$ 를 Lebesgue measurable set이라 합니다.
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[^1]: $A$가 open이 아니면 자명하지 않은 명제입니다.
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[^2]: $A$가 $\mu$-measurable인데 $\mu^\ast(A) < \infty$이면 $A$는 finitely $\mu$-measurable이다.
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[^3]: $A$가 countable union of sets in $\mathfrak{M} _ F(\mu)$이므로 $\mu^\ast$도 각 set의 $\mu^\ast$의 합이 된다.
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[^4]: 아직 증명이 끝나지 않았습니다. $A_n$은 $\mathfrak{M}(\mu)$의 원소가 아니라 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$의 원소입니다.
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@@ -8,14 +8,16 @@ title: "03. Measure Spaces"
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date: "2023-01-24"
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github_title: "2023-01-24-measure-spaces"
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image:
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path: /assets/img/posts/mt-03.png
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folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
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## Remarks on Construction of Measure
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Construction of measure 증명에서 추가로 참고할 내용입니다.
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**명제.** $A$가 열린집합이면 $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다. 또한 $A^C \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이므로, $F$가 닫힌집합이면 $F \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다.
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@@ -116,5 +118,4 @@ Uncountable인 경우에는 Cantor set $P$를 생각한다. $E_n$을 다음과
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> $A \subseteq B \subseteq X$ 일 때, $B \in \mathfrak{M}$ 이고 $\mu(B) = 0$ 이면 $A \in \mathfrak{M}$ 이다.
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[^1]: 첫 번째 부등식은 countable subadditivity, 두 번째 부등식은 $\mu^\ast$의 정의에서 나온다.
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[^2]: [Vitali set](https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set) 참고.
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@@ -8,7 +8,9 @@ title: "04. Measurable Functions"
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date: "2023-02-06"
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github_title: "2023-02-06-measurable-functions"
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path: /assets/img/posts/mt-04.png
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path: /assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory/mt-04.png
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folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
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Lebesgue integral을 공부하기 전 마지막 준비입니다. Lebesgue integral은 다음과 같이 표기합니다.
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@@ -153,7 +155,7 @@ $$s(x) = \sum_ {i=1}^{n} c_i \chi_ {E_i}(x).$$
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여기서 $E_i$에 measurable 조건이 추가되면, 정의에 의해 $\chi_ {E_i}$도 measurable function입니다. 따라서 모든 measurable simple function을 measurable $\chi_ {E_i}$의 linear combination으로 표현할 수 있습니다.
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아래 정리는 simple function이 Lebesgue integral의 building block이 되는 이유를 잘 드러냅니다. 모든 함수는 simple function으로 근사할 수 있습니다.
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@@ -206,7 +208,5 @@ $$f_n + g_n \rightarrow f + g, \quad f_ng_n \rightarrow fg$$
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이고 measurability는 극한에 의해 보존되므로 $f+g, fg$는 measurable이다.
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[^1]: 일반적으로는 ‘measurable set의 preimage가 measurable이 될 때’로 정의합니다.
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[^2]: 참고로 $\infty - \infty$ 의 경우는 정의되지 않으므로 생각하지 않습니다.
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[^3]: 이 정의에서 $\infty - \infty$ 가 나타나지 않음에 유의해야 합니다.
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@@ -8,7 +8,9 @@ title: "05. Lebesgue Integration"
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date: "2023-02-13"
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github_title: "2023-02-13-lebesgue-integration"
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## Lebesgue Integration
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@@ -119,7 +121,7 @@ $$\int f \,d{\mu} = \sup\left\lbrace \int h \,d{\mu}: 0\leq h \leq f, h \text{ m
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$f$보다 작은 measurable simple function의 적분값 중 상한을 택하겠다는 의미입니다. $f$보다 작은 measurable simple function으로 $f$를 근사한다고도 이해할 수 있습니다. 또한 $f$가 simple function이면 Step 2의 정의와 일치하는 것을 알 수 있습니다.
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$f \geq 0$ 가 measurable이면 증가하는 measurable simple 함수열 $s_n$이 존재함을 지난 번에 보였습니다. 이 $s_n$에 대하여 적분값을 계산해보면
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@@ -8,7 +8,9 @@ title: "06. Convergence Theorems"
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date: "2023-03-25"
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github_title: "2023-03-25-convergence-theorems"
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르벡 적분 이론에서 굉장히 자주 사용되는 수렴 정리에 대해 다루겠습니다. 이 정리들을 사용하면 굉장히 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다.
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@@ -17,7 +19,7 @@ image:
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먼저 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem, MCT)입니다. 이 정리에서는 $f_n \geq 0$ 인 것이 매우 중요합니다.
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**정리.** (단조 수렴 정리) $f_n: X \rightarrow[0, \infty]$ 가 measurable이고 모든 $x \in X$ 에 대하여 $f_n(x) \leq f_ {n+1}(x)$ 라 하자.
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@@ -8,7 +8,9 @@ title: "07. Dominated Convergence Theorem"
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date: "2023-04-07"
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github_title: "2023-04-07-dominated-convergence-theorem"
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folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
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## Almost Everywhere
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@@ -147,7 +149,7 @@ $$[f] = \lbrace g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu) : f \sim g\rbrace.$$
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마지막 수렴정리를 소개하고 수렴정리와 관련된 내용을 마칩니다. 지배 수렴 정리(dominated convergence theorem, DCT)로 불립니다.
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**정리.** (지배 수렴 정리) Measurable set $E$와 measurable function $f$에 대하여, $\lbrace f_n\rbrace$이 measurable function의 함수열이라 하자. $E$의 거의 모든 점 위에서 극한 $f(x) = \displaystyle\lim_ {n \rightarrow\infty} f_n(x)$ 가 $\overline{\mathbb{R}}$에 존재하고 (점별 수렴) $\lvert f_n \rvert \leq g \quad \mu$-a.e. on $E$ ($\forall n \geq 1$) 를 만족하는 $g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 가 존재하면,
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@@ -188,5 +190,4 @@ $$2 \int_A g \,d{\mu} - \limsup_ {n \rightarrow\infty} \int_A \lvert f_n - f \rv
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이고, 가정에 의해 $\displaystyle 0 \leq \int_A g \,d{\mu} < \infty$ 이므로 $\displaystyle\limsup_ {n \rightarrow\infty} \int_A \lvert f_n - f \rvert \,d{\mu} = 0$ 이다.
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[^1]: 예를 들어, ‘$f(x)$가 연속이다’ 등.
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[^2]: Continuity of measure를 사용하기 위해서는 첫 번째 집합의 measure가 유한해야 한다.
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@@ -8,10 +8,12 @@ title: "08. Comparison with the Riemann Integral"
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date: "2023-06-20"
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github_title: "2023-06-20-comparison-with-riemann-integral"
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path: /assets/img/posts/mt-08.png
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path: /assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory/mt-08.png
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folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
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## Comparison with the Riemann Integral
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@@ -8,10 +8,12 @@ title: "09. $\\mathcal{L}^p$ Functions"
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date: "2023-07-31"
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github_title: "2023-07-31-Lp-functions"
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path: /assets/img/posts/mt-09.png
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path: /assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory/mt-09.png
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folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
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{: .w-50}
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{: .w-50}
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## Integration on Complex Valued Function
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@@ -19,23 +21,23 @@ Let $(X, \mathscr{F}, \mu)$ be a measure space, and $E \in \mathscr{F}$.
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**정의.**
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1. A complex valued function $f = u + iv$, (where $u, v$ are real functions) is measurable if $u$ and $v$ are both measurable.
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1. A complex valued function $f = u + iv$, (where $u, v$ are real functions) is measurable if $u$ and $v$ are both measurable.
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2. For a complex function $f$,
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2. For a complex function $f$,
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$$f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu) \iff \int_E \left\lvert f \right\rvert \,d{\mu} < \infty \iff u, v \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu).$$
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3. If $f = u + iv \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$, we define
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3. If $f = u + iv \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$, we define
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$$\int_E f \,d{\mu} = \int_E u \,d{\mu} + i\int_E v \,d{\mu}.$$
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**참고.**
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1. Linearity also holds for complex valued functions. For $f_1, f_2 \in \mathcal{L}^{1}(\mu)$ and $\alpha \in \mathbb{C}$,
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1. Linearity also holds for complex valued functions. For $f_1, f_2 \in \mathcal{L}^{1}(\mu)$ and $\alpha \in \mathbb{C}$,
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$$\int_E \left( f_1 + \alpha f_2 \right) \,d{\mu} = \int_E f_1 \,d{\mu} + \alpha \int_E f_2 \,d{\mu}.$$
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2. Choose $c \in \mathbb{C}$ and $\left\lvert c \right\rvert = 1$ such that $\displaystyle c \int_E f \,d{\mu} \geq 0$. This is possible since multiplying by $c$ is equivalent to a rotation.
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2. Choose $c \in \mathbb{C}$ and $\left\lvert c \right\rvert = 1$ such that $\displaystyle c \int_E f \,d{\mu} \geq 0$. This is possible since multiplying by $c$ is equivalent to a rotation.
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Now set $cf = u + vi$ where $u, v$ are real functions and the integral of $v$ over $E$ is $0$. Then,
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@@ -109,9 +111,9 @@ We treat $[f]$ as an element in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$, and write $f = [f]$.
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**참고.**
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1. We write $\left\lVert f \right\rVert_p = 0 \iff f = [0] = 0$ in the sense that $f = 0$ $\mu$-a.e.
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1. We write $\left\lVert f \right\rVert_p = 0 \iff f = [0] = 0$ in the sense that $f = 0$ $\mu$-a.e.
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2. Now $\lVert \cdot \rVert_p$ is a **norm** in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$ so $d(f, g) = \left\lVert f - g \right\rVert_p$ is a **metric** in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$.
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2. Now $\lVert \cdot \rVert_p$ is a **norm** in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$ so $d(f, g) = \left\lVert f - g \right\rVert_p$ is a **metric** in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$.
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## Completeness of $\mathcal{L}^p$
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@@ -119,9 +121,9 @@ Now we have a *function space*, so we are interested in its *completeness*.
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**정의.** (Convergence in $\mathcal{L}^p$) Let $f, f_n \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$.
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1. $f_n \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^p(\mu) \iff \left\lVert f_n-f \right\rVert_p \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$.
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1. $f_n \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^p(\mu) \iff \left\lVert f_n-f \right\rVert_p \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$.
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2. $\left( f_n \right)_{n=1}^\infty$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$ if and only if
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2. $\left( f_n \right)_{n=1}^\infty$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$ if and only if
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> $\forall \epsilon > 0$, $\exists\,N > 0$ such that $n, m \geq N \implies \left\lVert f_n-f_m \right\rVert_p < \epsilon$.
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@@ -206,4 +208,3 @@ $$\left\lVert f - \sum_{k=1}^{m} a_k g_n^k \right\rVert_p = \left\lVert \sum_{k=
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Next for $f \in \mathcal{L}^{p}$ and $f \geq 0$, there exist simple functions $f_n \geq 0$ such that $f_n \nearrow f$ in $\mathcal{L}^{p}$. Finally, any $f \in \mathcal{L}^{p}$ can be written as $f = f^+ - f^-$, which completes the proof.
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이러한 확장을 몇 번 해보면 굉장히 routine합니다. $\chi_F$ for closed $F$ $\rightarrow$ $\chi_A$ for measurable $A$ $\rightarrow$ measurable simple $f$ $\rightarrow$ $0\leq f \in \mathcal{L}^{p} \rightarrow$ $f \in \mathcal{L}^{p}$ 와 같은 순서로 확장합니다.
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