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_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-01-11-algebra-of-sets.md

@@ -35,7 +35,7 @@ $\mathcal{R}$이 집합의 모임이라고 하겠습니다. $\mathcal{R} \neq \v
 
 **정의.** (Power Set) 집합 $X$에 대하여 power set $\mathcal{P}(X)$는 다음과 같이 정의한다.
 
-$$\mathcal{P}(X) = \lbrace A : A \subseteq X\rbrace .$$
+$$\mathcal{P}(X) = \lbrace A : A \subseteq X\rbrace.$$
 
 Ring과 유사하지만 살짝 더 좋은 성질을 가진 구조를 가지고 논의를 전개합니다.
 
@@ -63,19 +63,19 @@ Ring과 유사하지만 살짝 더 좋은 성질을 가진 구조를 가지고
 
 조금만 더 확장해서 countable한 연산에 대해서도 허용하고 싶습니다.
 
-**정의.** ($\sigma$-ring) $\mathcal{R}$이 ring일 때, $A_n \in \mathcal{R}$ ($n = 1, 2, \dots$) 에 대하여 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{R}$ 이 성립하면 $\mathcal{R}$을 **$\sigma$-ring**이라 한다.
+**정의.** ($\sigma$-ring) $\mathcal{R}$이 ring일 때, $A_n \in \mathcal{R}$ ($n = 1, 2, \dots$) 에 대하여 $\displaystyle\bigcup_ {n=1}^\infty A_n \in \mathcal{R}$ 이 성립하면 $\mathcal{R}$을 **$\sigma$-ring**이라 한다.
 
 Countable한 합집합을 해도 닫혀 있다는 뜻입니다. 조금 생각해보면 마찬가지로 교집합에 대해서도 성립함을 알 수 있습니다.
 
 **참고.** 다음 성질
 
-$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n = A_1 \setminus\bigcup_{n=1}^\infty (A_1 \setminus A_n)$$
+$$\bigcap_ {n=1}^\infty A_n = A_1 \setminus\bigcup_ {n=1}^\infty (A_1 \setminus A_n)$$
 
-을 이용하면 $\mathcal{R}$이 $\sigma$-ring이고 $A_n \in \mathcal{R}$ 일 때 $\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{R}$ 임을 알 수 있다.
+을 이용하면 $\mathcal{R}$이 $\sigma$-ring이고 $A_n \in \mathcal{R}$ 일 때 $\displaystyle\bigcap_ {n=1}^\infty A_n \in \mathcal{R}$ 임을 알 수 있다.
 
 마찬가지로 algebra도 정의할 수 있습니다.
 
-**정의.** ($\sigma$-algebra) $\mathcal{F}$가 algebra on $X$일 때, $A_n \in \mathcal{F}$ ($n = 1, 2, \dots$) 에 대하여 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{F}$ 가 성립하면 $\mathcal{F}$를 **$\sigma$-algebra**라 한다.
+**정의.** ($\sigma$-algebra) $\mathcal{F}$가 algebra on $X$일 때, $A_n \in \mathcal{F}$ ($n = 1, 2, \dots$) 에 대하여 $\displaystyle\bigcup_ {n=1}^\infty A_n \in \mathcal{F}$ 가 성립하면 $\mathcal{F}$를 **$\sigma$-algebra**라 한다.
 
 $\sigma$-algebra는 당연히 $\sigma$-ring이기 때문에 countable한 교집합을 해도 닫혀 있습니다.
 
@@ -87,7 +87,7 @@ $\sigma$-algebra는 당연히 $\sigma$-ring이기 때문에 countable한 교집
 
 정의역이 $\mathcal{R}$으로, 집합의 모임입니다. 즉 $\phi$는 집합을 받아 $\overline{\mathbb{R}}$과 대응시키는 함수임을 알 수 있습니다.
 
-우리는 ‘길이’ 함수를 정의하고자 합니다. ‘길이’는 보통 양수이기 때문에, $\phi$의 치역에 $-\infty$와 $\infty$가 동시에 포함되어 있는 경우는 제외합니다. 또한 $\phi$의 치역이 $\lbrace \infty\rbrace $이거나 $\lbrace -\infty\rbrace $인 경우도 생각하지 않습니다.
+우리는 ‘길이’ 함수를 정의하고자 합니다. ‘길이’는 보통 양수이기 때문에, $\phi$의 치역에 $-\infty$와 $\infty$가 동시에 포함되어 있는 경우는 제외합니다. 또한 $\phi$의 치역이 $\lbrace \infty\rbrace$이거나 $\lbrace -\infty\rbrace$인 경우도 생각하지 않습니다.
 
 따라서, $\phi(A) \in \mathbb{R}$ 인 $A \in \mathcal{R}$이 존재한다고 가정할 수 있습니다. 이 사실은 양변에서 $\phi(A)$를 cancel 할 때 사용됩니다.
 
@@ -101,9 +101,9 @@ $\sigma$-algebra는 당연히 $\sigma$-ring이기 때문에 countable한 교집
 
 2. 쌍마다 서로소인 집합 $A_i \in \mathcal{R}$ 에 대하여
 
-	$$\phi\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty \phi(A_i)$$
+	$$\phi\left( \bigcup_ {i=1}^\infty A_i \right) = \sum_ {i=1}^\infty \phi(A_i)$$
 
-	이고 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal{R}$ 이면[^1] $\phi$는 **countably additive** ($\sigma$-additive) 하다.
+	이고 $\displaystyle\bigcup_ {i=1}^\infty A_i \in \mathcal{R}$ 이면[^1] $\phi$는 **countably additive** ($\sigma$-additive) 하다.
 
 이제 ‘길이’의 개념을 나타내는 함수를 정의합니다. 이 함수는 측도(measure)라고 합니다.
 
@@ -115,7 +115,7 @@ $\sigma$-algebra는 당연히 $\sigma$-ring이기 때문에 countable한 교집
 
 1. $\phi$가 additive이면 쌍마다 서로소인 $A_i \in \mathcal{R}$ 에 대하여 다음이 성립한다.
 
-	$$\phi\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n \phi(A_i).$$
+	$$\phi\left( \bigcup_ {i=1}^n A_i \right) = \sum_ {i=1}^n \phi(A_i).$$
 
 	이 성질을 *finite additivity*라 부르고, $\phi$는 *finitely additive*하다고 한다.
 
@@ -127,7 +127,7 @@ $\phi(A) \in \mathbb{R}$ 인 $A \in \mathcal{R}$이 존재한다는 가정을
 
 1. $\mu$가 **finite** 하다. $\iff$모든 $X \in \mathcal{F}$ 에 대하여 $\mu(X) < \infty$ 이다.
 
-2. $\mu$가 **$\sigma$-finite** 하다. $\iff$집합열 $F_1 \subseteq F_2 \subseteq\cdots$ 가 존재하여 $\mu(F_i) < \infty$ 이고 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty F_i = X$ 이다.
+2. $\mu$가 **$\sigma$-finite** 하다. $\iff$집합열 $F_1 \subseteq F_2 \subseteq\cdots$ 가 존재하여 $\mu(F_i) < \infty$ 이고 $\displaystyle\bigcup_ {i=1}^\infty F_i = X$ 이다.
 
 ## Basic Properties of Set Functions
 
@@ -157,7 +157,7 @@ $\phi$가 set function이라 하자.
 
 	가 성립한다. 귀납법을 적용하면, 모든 $A_i \in \mathcal{R}$에 대하여
 
-	$$\phi\left( \bigcup_{n=1}^m A_n \right) \leq \sum_{n=1}^m \phi(A_n)$$
+	$$\phi\left( \bigcup_ {n=1}^m A_n \right) \leq \sum_ {n=1}^m \phi(A_n)$$
 
 	가 성립한다. 이 때 $A_i$가 반드시 쌍마다 서로소일 필요는 없다. 이 성질을 *finite subadditivity*라 한다.
 
@@ -165,29 +165,29 @@ $\phi$가 set function이라 하자.
 
 **정리.** $\mu$가 $\sigma$-algebra $\mathcal{F}$의 measure라 하자. $A_n \in \mathcal{F}$ 에 대하여 $A_1 \subseteq A_2 \subseteq\cdots$ 이면
 
-$$\lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu\left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right)$$
+$$\lim_ {n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu\left( \bigcup_ {n=1}^\infty A_n \right)$$
 
 이 성립한다.
 
-**증명.** $B_1 = A_1$, $n \geq 2$ 에 대해 $B_n = A_n \setminus A_{n-1}$ 로 두자. $B_n$은 쌍마다 서로소임이 자명하다. 따라서,
+**증명.** $B_1 = A_1$, $n \geq 2$ 에 대해 $B_n = A_n \setminus A_ {n-1}$ 로 두자. $B_n$은 쌍마다 서로소임이 자명하다. 따라서,
 
-$$\mu(A_n) = \mu\left( \bigcup_{k=1}^n B_k \right) = \sum_{k=1}^n \mu(B_k)$$
+$$\mu(A_n) = \mu\left( \bigcup_ {k=1}^n B_k \right) = \sum_ {k=1}^n \mu(B_k)$$
 
 이고, measure의 countable additivity를 이용하여
 
-$$\lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^n \mu(B_k) = \sum_{n=1}^\infty \mu(B_n) = \mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \right) = \mu\left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right)$$
+$$\lim_ {n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \lim_ {n\rightarrow\infty} \sum_ {k=1}^n \mu(B_k) = \sum_ {n=1}^\infty \mu(B_n) = \mu\left( \bigcup_ {n=1}^{\infty} B_n \right) = \mu\left( \bigcup_ {n=1}^\infty A_n \right)$$
 
-임을 알 수 있다. 마지막 등호에서는 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n = \bigcup_{n=1}^\infty B_n$ 임을 이용한다.
+임을 알 수 있다. 마지막 등호에서는 $\displaystyle\bigcup_ {n=1}^\infty A_n = \bigcup_ {n=1}^\infty B_n$ 임을 이용한다.
 
 왠지 위 조건을 뒤집어서 $A_1 \supseteq A_2 \supseteq \cdots$ 인 경우 교집합에 대해서도 성립하면 좋을 것 같습니다.
 
-$$\lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu\left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right).$$
+$$\lim_ {n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu\left( \bigcap_ {n=1}^\infty A_n \right).$$
 
 하지만 안타깝게도 조건이 부족합니다. $\mu(A_1) < \infty$ 라는 추가 조건이 필요합니다. 반례는 $A_n = [n, \infty)$를 생각해보면 됩니다. 정리의 정확한 서술은 다음과 같습니다. 증명은 연습문제로 남깁니다.
 
 **정리.** $\mu$가 $\sigma$-algebra $\mathcal{F}$의 measure라 하자. $A_n \in \mathcal{F}$ 에 대하여 $A_1 \supseteq A_2 \supseteq \cdots$ 이고 $\mu(A_1) < \infty$ 이면
 
-$$\lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu\left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right)$$
+$$\lim_ {n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu\left( \bigcap_ {n=1}^\infty A_n \right)$$
 
 이 성립한다.
 
@@ -204,4 +204,3 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu\left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right
 [^3]: 확률의 덧셈정리와 유사합니다. 확률론 또한 measure theory와 관련이 깊습니다.
 
 [^4]: 무한하지 않다는 조건이 있어야 이항이 가능합니다.
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