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fix: underscores inside equations are rendered correctly (#57)
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This commit is contained in:
GitHub
@@ -25,11 +25,11 @@ image:
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**정리.** (Markov's Inequality) $u \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 라 하자. 모든 $c > 0$ 에 대하여
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$$\mu\left( \lbrace \lvert u \rvert \geq c\rbrace \cap E \right) \leq \frac{1}{c} \int_E \lvert u \rvert \,d{\mu}$$
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$$\mu\left( \lbrace \lvert u \rvert \geq c\rbrace \cap E \right) \leq \frac{1}{c} \int_E \lvert u \rvert \,d{\mu}$$
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이다.
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**증명.** $\displaystyle\int_E \lvert u \rvert \,d{\mu} \geq \int_{E\cap \lbrace \lvert u \rvert\geq c\rbrace } \lvert u \rvert \,d{\mu} \geq \int_{E\cap \lbrace \lvert u \rvert\geq c\rbrace } c \,d{\mu} = c \mu\left( \lbrace \lvert u \rvert \geq c\rbrace \cap E \right)$.
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**증명.** $\displaystyle\int_E \lvert u \rvert \,d{\mu} \geq \int_ {E\cap \lbrace \lvert u \rvert\geq c\rbrace} \lvert u \rvert \,d{\mu} \geq \int_ {E\cap \lbrace \lvert u \rvert\geq c\rbrace} c \,d{\mu} = c \mu\left( \lbrace \lvert u \rvert \geq c\rbrace \cap E \right)$.
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아래 정리는 measure가 0인 집합에서의 적분은 무시해도 됨을 알려줍니다. $u(x) \neq 0$ 인 점들이 존재하더라도, 이 점들의 집합의 measure가 0이면 적분값에 영향을 줄 수 없습니다.
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@@ -39,19 +39,19 @@ $$\mu\left( \lbrace \lvert u \rvert \geq c\rbrace \cap E \right) \leq \frac{1}{
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2. $u = 0$ $\mu$-a.e. on $E$.
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3. $\mu\left( \lbrace x \in E : u(x) \neq 0\rbrace \right) = 0$.
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3. $\mu\left( \lbrace x \in E : u(x) \neq 0\rbrace \right) = 0$.
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**증명.**
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(2 $\iff$ 3) $E\cap\lbrace u\neq 0\rbrace $ 가 measurable이므로 정의에 의해 당연하다.
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(2 $\iff$ 3) $E\cap\lbrace u\neq 0\rbrace$ 가 measurable이므로 정의에 의해 당연하다.
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(2 $\implies$ 1) $\displaystyle\int_E \lvert u \rvert \,d{\mu} = \int_{E \cap \lbrace \lvert u \rvert > 0\rbrace } \lvert u \rvert \,d{\mu} + \int_{E \cap \lbrace \lvert u \rvert = 0\rbrace } \lvert u \rvert \,d{\mu} = 0 + 0 = 0$.
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(2 $\implies$ 1) $\displaystyle\int_E \lvert u \rvert \,d{\mu} = \int_ {E \cap \lbrace \lvert u \rvert > 0\rbrace} \lvert u \rvert \,d{\mu} + \int_ {E \cap \lbrace \lvert u \rvert = 0\rbrace} \lvert u \rvert \,d{\mu} = 0 + 0 = 0$.
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(1 $\implies$ 3) Markov's inequality를 사용하면
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$$\mu\left( \left\lbrace \lvert u \rvert \geq \frac{1}{n}\right\rbrace \cap E \right) \leq n\int_E \lvert u \rvert \,d{\mu} = 0$$
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$$\mu\left( \left\lbrace \lvert u \rvert \geq \frac{1}{n}\right\rbrace \cap E \right) \leq n\int_E \lvert u \rvert \,d{\mu} = 0$$
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이다. 이제 $n\rightarrow\infty$ 일 때 continuity of measure를 사용하면 $\mu\left( \lbrace \lvert u \rvert > 0\rbrace \cap E \right) = 0$ 이다.
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이다. 이제 $n\rightarrow\infty$ 일 때 continuity of measure를 사용하면 $\mu\left( \lbrace \lvert u \rvert > 0\rbrace \cap E \right) = 0$ 이다.
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위 정리의 결과를 생각해 보면 다음이 성립함도 알 수 있습니다.
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@@ -65,15 +65,15 @@ $$\int_A f \,d{\mu} = \int_B f \,d{\mu}$$
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**정리.** $u \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 이면 $u(x) \in \mathbb{R}$ $\mu$-a.e. on $E$ 이다. 즉, $u(x) = \infty$ 인 집합의 measure가 0이다.
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**증명.** $\mu\left( \lbrace \lvert u \rvert \geq 1\rbrace \cap E \right) \leq \displaystyle\int_E \lvert u \rvert \,d{\mu} < \infty$.[^2] 그러므로
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**증명.** $\mu\left( \lbrace \lvert u \rvert \geq 1\rbrace\cap E \right) \leq \displaystyle\int_E \lvert u \rvert \,d{\mu} < \infty$.[^2] 그러므로
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$$\begin{aligned} \mu\left( \lbrace \lvert u \rvert = \infty\rbrace \cap E \right) & = \mu\left( \bigcap_{n=1}^\infty \lbrace x \in E : \lvert u(x) \rvert \geq n\rbrace \right) \\ & = \lim_{n \rightarrow\infty} \mu\left( \lbrace \lvert u \rvert \geq n\rbrace \cap E \right) \leq \limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \int_E \lvert u \rvert \,d{\mu} = 0 \end{aligned}$$
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$$\begin{aligned} \mu\left( \lbrace \lvert u \rvert = \infty\rbrace \cap E \right) & = \mu\left( \bigcap_ {n=1}^\infty \lbrace x \in E : \lvert u(x) \rvert \geq n\rbrace \right) \\ & = \lim_ {n \rightarrow\infty} \mu\left( \lbrace \lvert u \rvert \geq n\rbrace \cap E \right) \leq \limsup_ {n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \int_E \lvert u \rvert \,d{\mu} = 0 \end{aligned}$$
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이다.
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적분 가능하다면 어차피 함숫값이 무한한 영역은 적분값에 영향을 주지 않으므로, 함숫값이 유한한 곳에서만 적분해도 될 것입니다.
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**따름정리.** $u \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 이면 $\displaystyle\int_E u \,d{\mu} = \int_{E \cap \lbrace \lvert u \rvert < \infty\rbrace } u \,d{\mu}$ 이다.
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**따름정리.** $u \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 이면 $\displaystyle\int_E u \,d{\mu} = \int_ {E \cap \lbrace \lvert u \rvert < \infty\rbrace} u \,d{\mu}$ 이다.
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### Linearity of the Lebesgue Integral
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@@ -87,7 +87,7 @@ $$\int_E \left( f_1 + f_2 \right) \,d{\mu} = \int_E f_1 \,d{\mu} + \int_E f_2 \,
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**증명.** $\lvert f_1 + f_2 \rvert \leq \lvert f_1 \rvert + \lvert f_2 \rvert$ 임을 이용하면 $f_1+f_2 \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 인 것은 당연하다. 이제 $f = f_1 + f_2$ 로 두고
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$$N = \left\lbrace x : \max\left\lbrace f_1^+, f_1^-, f_2^+, f_2^-, f^+, f^-\right\rbrace = \infty \right\rbrace$$
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$$N = \left\lbrace x : \max\left\lbrace f_1^+, f_1^-, f_2^+, f_2^-, f^+, f^-\right\rbrace = \infty \right\rbrace$$
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으로 정의하자. 함수들이 모두 적분 가능하므로 위 정리에 의해 $\mu(N) = 0$ 이다. 그러므로 $E \setminus N$ 에서는 무한한 값이 없으므로 이항을 편하게 할 수 있다. 즉,
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@@ -95,11 +95,11 @@ $$f^+ - f^- = f_1^+ - f_1^- + f_2^+ - f_2^- \implies f^+ + f_1^- + f_2^- = f^- +
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이다. 그러면
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$$\int_{E\setminus N} f^+ \,d{\mu} + \int_{E\setminus N} f_1^- \,d{\mu} + \int_{E\setminus N} f_2^- \,d{\mu} = \int_{E\setminus N} f^-\,d{\mu} + \int_{E\setminus N} f_1^+\,d{\mu} + \int_{E\setminus N} f_2^+ \,d{\mu}$$
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$$\int_ {E\setminus N} f^+ \,d{\mu} + \int_ {E\setminus N} f_1^- \,d{\mu} + \int_ {E\setminus N} f_2^- \,d{\mu} = \int_ {E\setminus N} f^-\,d{\mu} + \int_ {E\setminus N} f_1^+\,d{\mu} + \int_ {E\setminus N} f_2^+ \,d{\mu}$$
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이고, $\mu(N) = 0$ 임을 이용하여 $N$ 위에서의 적분값을 더해주면
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$$\int_{E \setminus N} f \,d{\mu} = \int_{E \setminus N} f_1 \,d{\mu} + \int_{E \setminus N} f_2 \,d{\mu} \implies \int_{E} f \,d{\mu} = \int_{E} f_1 \,d{\mu} + \int_{E} f_2 \,d{\mu}$$
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$$\int_ {E \setminus N} f \,d{\mu} = \int_ {E \setminus N} f_1 \,d{\mu} + \int_ {E \setminus N} f_2 \,d{\mu} \implies \int_ {E} f \,d{\mu} = \int_ {E} f_1 \,d{\mu} + \int_ {E} f_2 \,d{\mu}$$
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를 얻는다.
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@@ -107,19 +107,19 @@ $$\int_{E \setminus N} f \,d{\mu} = \int_{E \setminus N} f_1 \,d{\mu} + \int_{E
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이제 이를 응용하여 수렴정리를 다시 적어보겠습니다. 지난 글에서는 모든 점에서 특정 성질이 성립할 것이 요구되었으나 이제는 거의 모든 점에서만 성립하면 됩니다. 증명은 해당 성질이 성립하지 않는 집합을 빼고 증명하면 됩니다.
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**정리.** (단조 수렴 정리) $f_n$이 measurable이고 $0 \leq f_n(x) \leq f_{n+1}(x)$ $\mu$-a.e. 라 하자.
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**정리.** (단조 수렴 정리) $f_n$이 measurable이고 $0 \leq f_n(x) \leq f_ {n+1}(x)$ $\mu$-a.e. 라 하자.
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$$\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = f(x)$$
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$$\lim_ {n\rightarrow\infty} f_n(x) = f(x)$$
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로 두면,
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$$\lim_{n \rightarrow\infty} \int_E f_n \,d{\mu} = \int_E f \,d{\mu}.$$
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$$\lim_ {n \rightarrow\infty} \int_E f_n \,d{\mu} = \int_E f \,d{\mu}.$$
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이다.
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**정리.** (Fatou) $f_n$이 measurable이고 $f_n(x) \geq 0$ $\mu$-a.e. 라 하자. 다음이 성립한다.
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$$\int_E \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \,d{\mu} \leq \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_E f_n \,d{\mu}.$$
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$$\int_E \liminf_ {n\rightarrow\infty} f_n \,d{\mu} \leq \liminf_ {n\rightarrow\infty} \int_E f_n \,d{\mu}.$$
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비슷한 느낌으로 다음과 같은 명제를 생각할 수도 있습니다.
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@@ -139,7 +139,7 @@ $$\int \lvert f \rvert \,d{\mu} \leq \int \lvert g \rvert \,d{\mu}$$
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그러면 $\sim$은 equivalence relation이고 다음과 같이 적을 수 있다.
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$$[f] = \lbrace g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu) : f \sim g\rbrace .$$
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$$[f] = \lbrace g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu) : f \sim g\rbrace.$$
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이처럼 equivalence relation을 정의하면 equivalence class의 대표에 대해서만 생각해도 충분합니다. 사실상 거의 모든 점에서 함숫값이 같다면 같은 함수로 보겠다는 뜻이 됩니다.
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@@ -149,9 +149,9 @@ $$[f] = \lbrace g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu) : f \sim g\rbrace .$$
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**정리.** (지배 수렴 정리) Measurable set $E$와 measurable function $f$에 대하여, $\lbrace f_n\rbrace $이 measurable function의 함수열이라 하자. $E$의 거의 모든 점 위에서 극한 $f(x) = \displaystyle\lim_{n \rightarrow\infty} f_n(x)$ 가 $\overline{\mathbb{R}}$에 존재하고 (점별 수렴) $\lvert f_n \rvert \leq g \quad \mu$-a.e. on $E$ ($\forall n \geq 1$) 를 만족하는 $g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 가 존재하면,
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**정리.** (지배 수렴 정리) Measurable set $E$와 measurable function $f$에 대하여, $\lbrace f_n\rbrace$이 measurable function의 함수열이라 하자. $E$의 거의 모든 점 위에서 극한 $f(x) = \displaystyle\lim_ {n \rightarrow\infty} f_n(x)$ 가 $\overline{\mathbb{R}}$에 존재하고 (점별 수렴) $\lvert f_n \rvert \leq g \quad \mu$-a.e. on $E$ ($\forall n \geq 1$) 를 만족하는 $g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 가 존재하면,
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$$\lim_{n \rightarrow\infty} \int_E \lvert f_n - f \rvert \,d{\mu} = 0$$
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$$\lim_ {n \rightarrow\infty} \int_E \lvert f_n - f \rvert \,d{\mu} = 0$$
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이다.
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@@ -165,13 +165,13 @@ $$\lim_{n \rightarrow\infty} \int_E \lvert f_n - f \rvert \,d{\mu} = 0$$
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이므로 위 정리의 결론은 곧
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$$\lim_{n \rightarrow\infty} \int f_n \,d{\mu} = \int f \,d{\mu}$$
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$$\lim_ {n \rightarrow\infty} \int f_n \,d{\mu} = \int f \,d{\mu}$$
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를 의미한다.
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**증명.** 다음과 같은 집합을 정의한다.
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$$A = \left\lbrace \displaystyle x \in E : \lim_{n \rightarrow\infty} f_n(x) \text{가 존재하고}, f_n(x), f(x), g(x) \in \mathbb{R}, \lvert f_n(x) \rvert \leq g(x)\right\rbrace .$$
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$$A = \left\lbrace \displaystyle x \in E : \lim_ {n \rightarrow\infty} f_n(x) \text{가 존재하고}, f_n(x), f(x), g(x) \in \mathbb{R}, \lvert f_n(x) \rvert \leq g(x)\right\rbrace.$$
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그러면 가정에 의해 $\mu\left( E\setminus A \right) = 0$ 이다. 이제 $x \in A$ 에 대해서만 생각해도 충분하다. 그러면
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@@ -179,15 +179,14 @@ $$2g - \lvert f_n - f \rvert \geq 2g - \bigl(\lvert f_n \rvert + \lvert f \rvert
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이다. $\lvert f_n - f \rvert \rightarrow 0$, $2g - \lvert f_n - f \rvert \rightarrow 2g$ 이므로, Fatou’s lemma를 적용하면
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$$\begin{aligned} 2 \int_E g \,d{\mu} = \int_A 2g \,d{\mu} & = \int_A \liminf_{n \rightarrow\infty} \big(2g - \lvert f_n - f \rvert\big) \,d{\mu} \\ & \leq \liminf_{n \rightarrow\infty} \left( 2 \int_A g \,d{\mu} - \int_A \lvert f_n - f \rvert \,d{\mu} \right) \\ & = 2\int_A g \,d{\mu} - \limsup_{n \rightarrow\infty} \int_A \lvert f_n - f \rvert \,d{\mu} \leq 2 \int_A g \,d{\mu} \end{aligned}$$
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$$\begin{aligned} 2 \int_E g \,d{\mu} = \int_A 2g \,d{\mu} & = \int_A \liminf_ {n \rightarrow\infty} \big(2g - \lvert f_n - f \rvert\big) \,d{\mu} \\ & \leq \liminf_ {n \rightarrow\infty} \left( 2 \int_A g \,d{\mu} - \int_A \lvert f_n - f \rvert \,d{\mu} \right) \\ & = 2\int_A g \,d{\mu} - \limsup_ {n \rightarrow\infty} \int_A \lvert f_n - f \rvert \,d{\mu} \leq 2 \int_A g \,d{\mu} \end{aligned}$$
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이다. 따라서
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$$2 \int_A g \,d{\mu} - \limsup_{n \rightarrow\infty} \int_A \lvert f_n - f \rvert \,d{\mu} = 2 \int_A g \,d{\mu}$$
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$$2 \int_A g \,d{\mu} - \limsup_ {n \rightarrow\infty} \int_A \lvert f_n - f \rvert \,d{\mu} = 2 \int_A g \,d{\mu}$$
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이고, 가정에 의해 $\displaystyle 0 \leq \int_A g \,d{\mu} < \infty$ 이므로 $\displaystyle\limsup_{n \rightarrow\infty} \int_A \lvert f_n - f \rvert \,d{\mu} = 0$ 이다.
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이고, 가정에 의해 $\displaystyle 0 \leq \int_A g \,d{\mu} < \infty$ 이므로 $\displaystyle\limsup_ {n \rightarrow\infty} \int_A \lvert f_n - f \rvert \,d{\mu} = 0$ 이다.
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[^1]: 예를 들어, ‘$f(x)$가 연속이다’ 등.
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[^2]: Continuity of measure를 사용하기 위해서는 첫 번째 집합의 measure가 유한해야 한다.
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