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_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-01-11-algebra-of-sets.md

@@ -204,4 +204,3 @@ $$\lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu\left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right
 [^3]: 확률의 덧셈정리와 유사합니다. 확률론 또한 measure theory와 관련이 깊습니다.
 
 [^4]: 무한하지 않다는 조건이 있어야 이항이 가능합니다.
-

_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-01-23-construction-of-measure.md

@@ -141,7 +141,7 @@ Countably additive 조건이 성립하는 집합들만 모아서 measure를 cons
 
 위 정의는 $\mu$라는 set function에 의해 $\mu^\ast (A_n \mathop{\mathrm{\triangle}}A) \rightarrow 0$ 이 되는 elementary set $A_n$이 존재한다는 의미입니다.
 
-**정의.** ($\mu$-measurable) $$A_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$$ 에 대하여 $$A = \displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n$$ 이면 $A$가 **$\mu$-measurable**이라 한다. 그리고 $\mu$-measurable한 집합의 모임을 $\mathfrak{M}(\mu)$로 표기한다.
+**정의.** ($\mu$-measurable) $A_n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대하여 $A = \displaystyle\bigcup_ {n=1}^\infty A_n$ 이면 $A$가 **$\mu$-measurable**이라 한다. 그리고 $\mu$-measurable한 집합의 모임을 $\mathfrak{M}(\mu)$로 표기한다.
 
 **참고.** $\mu^\ast(A) = d(A, \varnothing) \leq d(A, B) + \mu^\ast(B)$.
 
@@ -169,7 +169,7 @@ $$\mu^\ast(A) \leq d(A_N, A) + \mu^\ast(A_N) \leq 1 + \mu^\ast(A_N) < \infty$$
 
 **증명.** $\mathfrak{M}(\mu)$가 $\sigma$-algebra이고 $\mu^\ast$가 $\mathfrak{M}(\mu)$에서 countably additive임을 보이면 충분하다.
 
-(Step 0) *$\mathfrak{M}_F(\mu)$는 ring이다.*
+**(Step 0)** *$\mathfrak{M} _ F(\mu)$는 ring이다.*
 
 $A, B \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 라 하자. 그러면 $A_n, B_n \in \Sigma$ 이 존재하여 $A_n \rightarrow A$, $B_n \rightarrow B$ 이 된다. 그러면
 
@@ -199,7 +199,7 @@ $$\mu^\ast(A) + \mu^\ast(B) = \mu^\ast(A\cup B) + \mu^\ast(A \cap B)$$
 
 와 같이 정의하면 $A_n$이 쌍마다 서로소이고 $A_n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 임을 알 수 있다.
 
-위 사실을 이용하여 $$A_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$$ 에 대하여 $$A = \displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n$$ 으로 두자.
+위 사실을 이용하여 $A_n \in \mathfrak{M} _  F(\mu)$ 에 대하여 $A = \displaystyle\bigcup_ {n=1}^\infty A_n$ 으로 두자.
 
 1. Countable subadditivity에 의해 $\displaystyle\mu^\ast(A) \leq \sum_ {n=1}^{\infty} \mu^\ast (A_n)$ 가 성립한다.
 
@@ -231,7 +231,7 @@ $$\mu^\ast(A) = \mu^\ast\left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) = \sum_{n=1}^\in
 
 **(Step 4)** *$\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-ring이다.*
 
-$A_n \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이면 $$B_{n, k} \in \mathfrak{M}_F(\mu)$$ 가 존재하여 $$\displaystyle A_n = \bigcup_k B_{n,k}$$ 이다. 그러면
+$A_n \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이면 $B_ {n, k} \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 가 존재하여 $\displaystyle A_n = \bigcup_k B_ {n,k}$ 이다. 그러면
 
 $$\bigcup_n A_n = \bigcup_ {n, k} B_ {n, k} \in \mathfrak{M}(\mu)$$
 

_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-01-24-measure-spaces.md

@@ -118,4 +118,3 @@ Uncountable인 경우에는 Cantor set $P$를 생각한다. $E_n$을 다음과
 [^1]: 첫 번째 부등식은 countable subadditivity, 두 번째 부등식은 $\mu^\ast$의 정의에서 나온다.
 
 [^2]: [Vitali set](https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set) 참고.
-

_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-02-06-measurable-functions.md

@@ -210,4 +210,3 @@ $$f_n + g_n \rightarrow f + g, \quad f_ng_n \rightarrow fg$$
 [^2]: 참고로 $\infty - \infty$ 의 경우는 정의되지 않으므로 생각하지 않습니다.
 
 [^3]: 이 정의에서 $\infty - \infty$ 가 나타나지 않음에 유의해야 합니다.
-

_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-02-13-lebesgue-integration.md

@@ -162,4 +162,3 @@ $$f \in \mathcal{L}^1(E, \mu)$$
 $$f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu) \iff f^+, f^- \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)\iff \lvert f \rvert \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu).$$
 
 [^1]: 계수가 같거나, measure가 0이 되어 같거나.
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_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-03-25-convergence-theorems.md

@@ -196,4 +196,3 @@ $$\int_E \limsup_{n \rightarrow\infty} f_n \,d{\mu} \geq \limsup_{n \rightarrow\
 	임을 얻습니다. 따라서 $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 이고, $\displaystyle\int_E f \,d{\mu} = 0$ 가 되어 적분값이 0임을 알 수 있습니다. 즉, measure가 0인 집합 위에서 적분하면 그 결과는 0이 됩니다.[^1]
 
 [^1]: 편의상 $0\cdot\infty = 0$ 으로 정의했기 때문에 $f \equiv \infty$ 인 경우에도 성립합니다.
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_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-04-07-dominated-convergence-theorem.md

@@ -190,4 +190,3 @@ $$2 \int_A g \,d{\mu} - \limsup_{n \rightarrow\infty} \int_A \lvert f_n - f \rve
 [^1]: 예를 들어, ‘$f(x)$가 연속이다’ 등.
 
 [^2]: Continuity of measure를 사용하기 위해서는 첫 번째 집합의 measure가 유한해야 한다.
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_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-06-20-comparison-with-riemann-integral.md

@@ -126,4 +126,3 @@ $$\lbrace x : U(x) = L(x)\rbrace  \setminus\bigcup_{k=1}^{\infty} P_k \subseteq
 $$\int_0^1 f\,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_ {0}^1 f_n \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty}\int_ {1/n}^1 f \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \mathcal{R}\int_ {1/n}^1 f \,d{x}$$
 
 이 된다.
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