[PUBLISHER] upload files #154

* PUSH NOTE : You and Your Research, Richard Hamming.md

* PUSH NOTE : 18. Bootstrapping & CKKS.md

* PUSH NOTE : 17. BGV Scheme.md

* PUSH NOTE : 16. The GMW Protocol.md

* PUSH NOTE : 15. Garbled Circuits.md

* PUSH NOTE : 14. Secure Multiparty Computation.md

* PUSH NOTE : 13. Sigma Protocols.md

* PUSH NOTE : 05. Modular Arithmetic (2).md

* PUSH NOTE : 04. Modular Arithmetic (1).md

* PUSH NOTE : 02. Symmetric Key Cryptography (1).md

* PUSH NOTE : 랜덤 PS일지 (1).md

_posts/Algorithms/BOJ/2023-11-02-random-ps-1.md

@@ -52,7 +52,7 @@ $$
 
 중학교 시절 에이급 수학에서 $(3 + 2\sqrt{2})^5$의 정수부분을 구하라는 문제를 봤었는데 이 때 사용했던 아이디어가 켤레무리수를 생각하는 것이었다. 비슷한 아이디어를 2017학년도 서울대학교 공과대학 수시 일반 심층 면접에서도 $(2 + \sqrt{5})^n$이 나와 사용했었다. 그리고...
 
-> **정리.** $\alpha = 3 + \sqrt{5}$, $\beta = 3 - \sqrt{5}$ 일 때, $\alpha^n + \beta^n \in \mathbb{N}$.[^2]
+> **정리.** $\alpha = 3 + \sqrt{5}$, $\beta = 3 - \sqrt{5}$ 일 때, $\alpha^n + \beta^n \in \mathbb{N}$ for all $n \in \mathbb{N}$.[^2]
 
 여기서 핵심은 $0 < \beta < 1$ 임을 이용하는 것이다. 따라서, $\alpha^n$의 정수부분은 $\alpha^n + \beta^n - 1$이 된다. 이제 $\alpha^n + \beta^n$만 구하면 된다. 근과 계수의 관계를 이용하면 수열 $s_n = \alpha^n + \beta^n$에 대한 귀납적 정의를 얻을 수 있다.
 
@@ -87,5 +87,27 @@ $$
 
 모든 가능한 프로그램의 후보를 얻었다면, 가장 짧은 것을 찾고 사전 순으로 제일 먼저 오는 것을 찾으면 된다. 사전 순 정렬의 경우 귀납적으로 생각하면 쉽게 구현할 수 있다. 앞에서부터 연산의 종류와 횟수를 비교하면 된다.
 
+## 13174번
+
+- [BOJ 13174](https://www.acmicpc.net/problem/13174): 괄호
+
+어차피 palindrome이니 절반을 정해주면 나머지는 자동으로 결정된다. 그러므로 길이 $n$인 괄호 문자열의 임의의 prefix에 대해 `)`의 개수는 `(`의 개수를 넘을 수 없다.
+
+이는 [Catalan's triangle](https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_triangle)의 응용이다. $i$개의 `(`와 $n-i$개의 `)`로 길이 $n$인 괄호 문자열을 구성하고, $k$개의 색으로 칠한다고 했으니 정답은
+
+$$
+\sum_{i=\lceil n/2\rceil}^n C(i, n-i)\cdot k^i
+$$
+
+이다. 색칠하는 방법의 수가 $k^i$인 이유는 각 `)`가 짝이 되는 `(`와 색이 같아야 하므로 `(`의 색만 정하면 되기 때문이다.
+
+계산에는
+
+$$
+C(n, k) = \frac{n-k+1}{n+1} {n+k \choose k}
+$$
+
+를 사용하면 된다.
+
 [^1]: 원래 빠른 거듭제곱을 할 때는 $a^n = a \cdot (a^2)^{(n-1)/2}$ 으로 했던 것 같은데 이 경우에는 잘 안되므로...
 [^2]: 증명은 귀납법. 이항정리를 써도 좋고, 수열의 귀납적 정의를 사용해도 좋다.