fix: under review -> submitted

* PUSH NOTE : Math Equations in Markdown.md

* PUSH ATTACHMENT : broken-math-equations.png

.gitignore

@@ -17,10 +17,11 @@ package-lock.json
 
 # IDE configurations
 .idea
-.vscode
+.vscode/*
 !.vscode/settings.json
 !.vscode/extensions.json
+!.vscode/tasks.json
 
 # Misc
-_sass/dist
+_sass/vendors
 assets/js/dist

Gemfile

@@ -2,8 +2,13 @@
 
 source "https://rubygems.org"
 
-gem "jekyll-theme-chirpy", "~> 7.0", ">= 7.0.1"
+gem "jekyll-theme-chirpy", "~> 7.3", ">= 7.3.1"
 
-group :test do
-  gem "html-proofer", "~> 5.0"
+gem "html-proofer", "~> 5.0", group: :test
+
+platforms :mingw, :x64_mingw, :mswin, :jruby do
+  gem "tzinfo", ">= 1", "< 3"
+  gem "tzinfo-data"
 end
+
+gem "wdm", "~> 0.2.0", :platforms => [:mingw, :x64_mingw, :mswin]

_includes/js-selector.html

@@ -62,7 +62,7 @@
 
 {% capture script %}/assets/js/dist/{{ js }}.min.js{% endcapture %}
 
-<script src="{{ script | relative_url }}"></script>
+<script defer src="{{ script | relative_url }}"></script>
 
 {% if page.math %}
   <!-- MathJax -->
@@ -143,7 +143,7 @@
       }
     };
   </script>
-  <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/polyfill/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script>
+  <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/polyfill/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script>
   <script id="MathJax-script" async src="{{ site.data.origin[type].mathjax.js | relative_url }}"></script>
 {% endif %}
 

_includes/post-summary.html

@@ -0,0 +1,39 @@
+{%- comment -%}
+  Get the post's description or body content.
+
+  Arguments:
+    full_text: If true, return the full content. Default is false.
+    max_length: The maximum length of the returned content. Default is 200.
+{%- endcomment -%}
+
+{%- if post.description and include.full_text != true -%}
+  {{- post.description -}}
+{%- else -%}
+  {%- comment -%} Remove the line numbers from the code snippet. {%- endcomment -%}
+
+  {%- assign content = post.content -%}
+
+  {%- if content contains '<td class="rouge-gutter gl"><pre class="lineno">' -%}
+    {%- assign content = content
+      | replace: '<td class="rouge-gutter gl"><pre class="lineno">',
+        '<!-- <td class="rouge-gutter gl"><pre class="lineno">'
+    -%}
+    {%- assign content = content | replace: '</td><td class="rouge-code">', '</td> --><td class="rouge-code">' -%}
+  {%- endif -%}
+
+  {%- assign content = content
+    | markdownify
+    | strip_html
+    | newline_to_br
+    | replace: '<br />', ' '
+    | strip_newlines
+    | strip
+  -%}
+
+  {%- unless include.full_text -%}
+    {%- assign max_length = include.max_length | default: 200 -%}
+    {%- assign content = content | truncate: max_length -%}
+  {%- endunless -%}
+
+  {{- content -}}
+{%- endif -%}

_includes/sidebar.html

@@ -0,0 +1,97 @@
+<!-- The Side Bar -->
+
+<aside aria-label="Sidebar" id="sidebar" class="d-flex flex-column align-items-end">
+  <header class="profile-wrapper">
+    <a href="{{ '/' | relative_url }}" id="avatar" class="rounded-circle">
+      {%- if site.avatar != empty and site.avatar -%}
+        {%- capture avatar_url -%}
+          {% include media-url.html src=site.avatar %}
+        {%- endcapture -%}
+        <img src="{{- avatar_url -}}" width="112" height="112" alt="avatar" onerror="this.style.display='none'">
+      {%- endif -%}
+    </a>
+
+    <a class="site-title d-block" href="{{ '/' | relative_url }}">{{ site.title }}</a>
+    <p class="site-subtitle fst-italic mb-0">{{ site.tagline }}</p>
+  </header>
+  <!-- .profile-wrapper -->
+
+  <nav class="flex-column flex-grow-1 w-100 ps-0">
+    <ul class="nav">
+      {% for tab in site.tabs %}
+        <li class="nav-item{% if tab.url == page.url %}{{ " active" }}{% endif %}">
+          <a href="{{ tab.url | relative_url }}" class="nav-link">
+            <i class="fa-fw {{ tab.icon }}"></i>
+            {% capture tab_name %}{{ tab.url | split: '/' }}{% endcapture %}
+
+            <span>{{ site.data.locales[include.lang].tabs.[tab_name] | default: tab.title | upcase }}</span>
+          </a>
+        </li>
+        <!-- .nav-item -->
+      {% endfor %}
+    </ul>
+  </nav>
+
+  <div class="sidebar-bottom d-flex flex-wrap  align-items-center w-100">
+    {% unless site.theme_mode %}
+      <button type="button" class="btn btn-link nav-link" aria-label="Switch Mode" id="mode-toggle">
+        <i class="fas fa-adjust"></i>
+      </button>
+
+      {% if site.data.contact.size > 0 %}
+        <span class="icon-border"></span>
+      {% endif %}
+    {% endunless %}
+
+    {% for entry in site.data.contact %}
+      {%- assign url = null -%}
+
+      {% case entry.type %}
+        {% when 'github', 'twitter' %}
+          {%- unless site[entry.type].username -%}
+            {%- continue -%}
+          {%- endunless -%}
+          {%- capture url -%}
+            https://{{ entry.type }}.com/{{ site[entry.type].username }}
+          {%- endcapture -%}
+        {% when 'email' %}
+          {%- unless site.social.email -%}
+            {%- continue -%}
+          {%- endunless -%}
+          {%- assign email = site.social.email | split: '@' -%}
+          {%- capture url -%}
+            javascript:location.href = 'mailto:' + ['{{ email[0] }}','{{ email[1] }}'].join('@')
+          {%- endcapture -%}
+        {% when 'rss' %}
+          {% assign url = '/feed.xml' | relative_url %}
+        {% else %}
+          {% assign url = entry.url %}
+      {% endcase %}
+
+      {% if url %}
+        <a
+          href="{{ url }}"
+          aria-label="{{ entry.type }}"
+          {% assign link_types = '' %}
+
+          {% unless entry.noblank %}
+            target="_blank"
+            {% assign link_types = 'noopener noreferrer' %}
+          {% endunless %}
+
+          {% if entry.type == 'mastodon' %}
+            {% assign link_types = link_types | append: ' me' | strip %}
+          {% endif %}
+
+          {% unless link_types == empty %}
+            rel="{{ link_types }}"
+          {% endunless %}
+        >
+          <i class="{{ entry.icon }}"></i>
+        </a>
+      {% endif %}
+    {% endfor %}
+  </div>
+  <!-- .sidebar-bottom -->
+</aside>
+<!-- #sidebar -->

_layouts/home.html

@@ -0,0 +1,150 @@
+---
+layout: default
+---
+
+{% include lang.html %}
+
+{% assign all_pinned = site.posts | where: 'pin', 'true' %}
+{% assign all_normal = site.posts | where_exp: 'item', 'item.pin != true and item.hidden != true' %}
+
+{% assign posts = '' | split: '' %}
+
+<!-- Pagination fallbacks -->
+{% assign per_page = paginator.per_page | default: site.paginate | default: 10 %}
+{% assign page_num = paginator.page | default: 1 %}
+
+<!-- Get pinned posts on current page -->
+
+{% assign visible_start = page_num | minus: 1 | times: per_page %}
+{% assign visible_end = visible_start | plus: per_page %}
+
+{% if all_pinned.size > visible_start %}
+  {% if all_pinned.size > visible_end %}
+    {% assign pinned_size = paginator.per_page %}
+  {% else %}
+    {% assign pinned_size = all_pinned.size | minus: visible_start %}
+  {% endif %}
+
+  {% for i in (visible_start..all_pinned.size) limit: pinned_size %}
+    {% assign posts = posts | push: all_pinned[i] %}
+  {% endfor %}
+{% else %}
+  {% assign pinned_size = 0 %}
+{% endif %}
+
+<!-- Get normal posts on current page -->
+
+{% assign paginator_posts = paginator.posts | default: site.posts %}
+{% assign normal_size = paginator_posts | size | minus: pinned_size %}
+
+{% if normal_size > 0 %}
+  {% if pinned_size > 0 %}
+    {% assign normal_start = 0 %}
+  {% else %}
+    {% assign normal_start = visible_start | minus: all_pinned.size %}
+  {% endif %}
+
+  {% assign normal_end = normal_start | plus: normal_size | minus: 1 %}
+
+  {% assign normal_end = 10 %}
+
+  {% for i in (normal_start..normal_end) %}
+    {% assign posts = posts | push: all_normal[i] %}
+  {% endfor %}
+{% endif %}
+
+
+
+<div id="post-list" class="flex-grow-1 px-xl-1">
+  {% for post in posts %}
+    <article class="card-wrapper card">
+      <a href="{{ post.url | relative_url }}" class="post-preview row g-0 flex-md-row-reverse">
+        {% assign card_body_col = '12' %}
+
+        {% if post.image %}
+          {% assign src = post.image.path | default: post.image %}
+
+          {% if post.media_subpath %}
+            {% unless src contains '://' %}
+              {% assign src = post.media_subpath
+                | append: '/'
+                | append: src
+                | replace: '///', '/'
+                | replace: '//', '/'
+              %}
+            {% endunless %}
+          {% endif %}
+
+          {% if post.image.lqip %}
+            {% assign lqip = post.image.lqip %}
+
+            {% if post.media_subpath %}
+              {% unless lqip contains 'data:' %}
+                {% assign lqip = post.media_subpath
+                  | append: '/'
+                  | append: lqip
+                  | replace: '///', '/'
+                  | replace: '//', '/'
+                %}
+              {% endunless %}
+            {% endif %}
+
+            {% assign lqip_attr = 'lqip="' | append: lqip | append: '"' %}
+          {% endif %}
+
+          {% assign alt = post.image.alt | xml_escape | default: 'Preview Image' %}
+
+          <div class="col-md-5">
+            <img src="{{ src }}" alt="{{ alt }}" {{ lqip_attr }}>
+          </div>
+
+          {% assign card_body_col = '7' %}
+        {% endif %}
+
+        <div class="col-md-{{ card_body_col }}">
+          <div class="card-body d-flex flex-column">
+            <h1 class="card-title my-2 mt-md-0">{{ post.title }}</h1>
+
+            <div class="card-text content mt-0 mb-3">
+              <p>{% include post-summary.html %}</p>
+            </div>
+
+            <div class="post-meta flex-grow-1 d-flex align-items-end">
+              <div class="me-auto">
+                <!-- posted date -->
+                <i class="far fa-calendar fa-fw me-1"></i>
+                {% include datetime.html date=post.date lang=lang %}
+
+                <!-- categories -->
+                {% if post.categories.size > 0 %}
+                  <i class="far fa-folder-open fa-fw me-1"></i>
+                  <span class="categories">
+                    {% for category in post.categories %}
+                      {{ category }}
+                      {%- unless forloop.last -%},{%- endunless -%}
+                    {% endfor %}
+                  </span>
+                {% endif %}
+              </div>
+
+              {% if post.pin %}
+                <div class="pin ms-1">
+                  <i class="fas fa-thumbtack fa-fw"></i>
+                  <span>{{ site.data.locales[lang].post.pin_prompt }}</span>
+                </div>
+              {% endif %}
+            </div>
+            <!-- .post-meta -->
+          </div>
+          <!-- .card-body -->
+        </div>
+      </a>
+    </article>
+  {% endfor %}
+</div>
+<!-- #post-list -->
+
+{% assign total_pages = paginator.total_pages | default: 2 %}
+{% if total_pages > 1 and paginator %}
+  {% include post-paginator.html %}
+{% endif %}

_layouts/post.html

@@ -6,11 +6,14 @@ panel_includes:
 tail_includes:
   - related-posts
   - post-nav
-  - comments
+script_includes:
+  - comment
 ---
 
 {% include lang.html %}
 
+{% include toc-status.html %}
+
 <article class="px-1" data-toc="{{ enable_toc }}">
   <header>
     <h1 data-toc-skip>{{ page.title }}</h1>
@@ -21,36 +24,40 @@ tail_includes:
     <div class="post-meta text-muted">
       <!-- published date -->
       <span>
-        {{ site.data.locales[lang].post.posted }} {% include datetime.html
-        date=page.date tooltip=true lang=lang %}
+        {{ site.data.locales[lang].post.posted }}
+        {% include datetime.html date=page.date tooltip=true lang=lang %}
       </span>
 
       <!-- lastmod date -->
       {% if page.last_modified_at and page.last_modified_at != page.date %}
         <span>
-        {{ site.data.locales[lang].post.updated }} {% include datetime.html
-        date=page.last_modified_at tooltip=true lang=lang %}
+          {{ site.data.locales[lang].post.updated }}
+          {% include datetime.html date=page.last_modified_at tooltip=true lang=lang %}
         </span>
       {% endif %}
 
       <div class="d-flex justify-content-between">
         <!-- author(s) -->
         <span>
-          {% if page.author %} {% assign authors = page.author %} {% elsif
-          page.authors %} {% assign authors = page.authors %} {% endif %} {{
-          site.data.locales[lang].post.written_by }}
+          {% if page.author %}
+            {% assign authors = page.author %}
+          {% elsif page.authors %}
+            {% assign authors = page.authors %}
+          {% endif %}
+
+          {{ site.data.locales[lang].post.written_by }}
 
           <em>
-            {% if authors %} {% for author in authors %} {% if
-            site.data.authors[author].url -%}
-            <a href="{{ site.data.authors[author].url }}"
-              >{{ site.data.authors[author].name }}</a
-            >
-            {%- else -%} {{ site.data.authors[author].name }} {%- endif %} {%
-            unless forloop.last %}{{ '</em
-          >,
-          <em
-            >' }}{% endunless %} {% endfor %} {% else %}
+            {% if authors %}
+              {% for author in authors %}
+                {% if site.data.authors[author].url -%}
+                  <a href="{{ site.data.authors[author].url }}">{{ site.data.authors[author].name }}</a>
+                {%- else -%}
+                  {{ site.data.authors[author].name }}
+                {%- endif %}
+                {% unless forloop.last %}{{ '</em>, <em>' }}{% endunless %}
+              {% endfor %}
+            {% else %}
               <a href="{{ site.social.links[0] }}">{{ site.social.name }}</a>
             {% endif %}
           </em>
@@ -58,8 +65,7 @@ tail_includes:
 
         <div>
           <!-- pageviews -->
-          {% if site.pageviews.provider and
-          site.analytics[site.pageviews.provider].id %}
+          {% if site.pageviews.provider and site.analytics[site.pageviews.provider].id %}
             <span>
               <em id="pageviews">
                 <i class="fas fa-spinner fa-spin small"></i>
@@ -76,37 +82,22 @@ tail_includes:
   </header>
 
   {% if enable_toc %}
-  <div
-    id="toc-bar"
-    class="d-flex align-items-center justify-content-between invisible"
-  >
+    <div id="toc-bar" class="d-flex align-items-center justify-content-between invisible">
       <span class="label text-truncate">{{ page.title }}</span>
       <button type="button" class="toc-trigger btn me-1">
         <i class="fa-solid fa-list-ul fa-fw"></i>
       </button>
     </div>
 
-  <button
-    id="toc-solo-trigger"
-    type="button"
-    class="toc-trigger btn btn-outline-secondary btn-sm"
-  >
-    <span class="label ps-2 pe-1"
-      >{{- site.data.locales[lang].panel.toc -}}</span
-    >
+    <button id="toc-solo-trigger" type="button" class="toc-trigger btn btn-outline-secondary btn-sm">
+      <span class="label ps-2 pe-1">{{- site.data.locales[lang].panel.toc -}}</span>
       <i class="fa-solid fa-angle-right fa-fw"></i>
     </button>
 
     <dialog id="toc-popup" class="p-0">
-    <div
-      class="header d-flex flex-row align-items-center justify-content-between"
-    >
+      <div class="header d-flex flex-row align-items-center justify-content-between">
         <div class="label text-truncate py-2 ms-4">{{- page.title -}}</div>
-      <button
-        id="toc-popup-close"
-        type="button"
-        class="btn mx-1 my-1 opacity-75"
-      >
+        <button id="toc-popup-close" type="button" class="btn mx-1 my-1 opacity-75">
           <i class="fas fa-close"></i>
         </button>
       </div>
@@ -114,7 +105,9 @@ tail_includes:
     </dialog>
   {% endif %}
 
-  <div class="content">{{ content }}</div>
+  <div class="content">
+    {{ content }}
+  </div>
 
   <div class="post-tail-wrapper text-muted">
     <!-- categories -->
@@ -122,11 +115,9 @@ tail_includes:
       <div class="post-meta mb-3">
         <i class="far fa-folder-open fa-fw me-1"></i>
         {% for category in page.categories %}
-      <a
-        href="{{ site.baseurl }}/categories/{{ category | slugify | url_encode }}/"
-        >{{ category }}</a
-      >
-      {%- unless forloop.last -%},{%- endunless -%} {% endfor %}
+          <a href="{{ site.baseurl }}/categories/{{ category | slugify | url_encode }}/">{{ category }}</a>
+          {%- unless forloop.last -%},{%- endunless -%}
+        {% endfor %}
       </div>
     {% endif %}
 
@@ -146,16 +137,21 @@ tail_includes:
     {% endif %}
 
     <div
-      class="post-tail-bottom d-flex justify-content-between align-items-center mt-5 pb-2"
+      class="
+        post-tail-bottom
+        d-flex justify-content-between align-items-center mt-5 pb-2
+      "
     >
       <div class="license-wrapper">
-        {% if site.data.locales[lang].copyright.license.template %} {% capture
-        _replacement %}
+        {% if site.data.locales[lang].copyright.license.template %}
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       {% include post-sharing.html lang=lang %}

_posts/Development/2024-02-26-secure-iam.md

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 categories:
   - Development
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 tags:
   - AWS
   - dev
 title: Secure IAM on AWS with Multi-Account Strategy
 date: 2024-02-26
 github_title: 2024-02-26-secure-iam
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-![separation-by-product.png](../../assets/img/posts/Development/separation-by-product.png)
+![separation-by-product.png](../../assets/img/posts/development/separation-by-product.png)
 
 2024\. 2. B.S. Graduation Paper, Received Best Paper Award!
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-02-28-01-introducing-k8s.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops, docker]
 title: "01. Introducing Kubernetes"
 date: "2021-02-28"
 github_title: "2021-02-28-01-introducing-k8s"
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-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-01.jpeg
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 ---
 
-![k8s-01.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-01.jpeg) _Overview of Kubernetes Architecture (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-1)_
+![k8s-01.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-01.jpeg) _Overview of Kubernetes Architecture (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-1)_
 
 기존에는 소프트웨어가 커다란 덩어리였지만 최근에는 독립적으로 작동하는 작은 **마이크로서비스**(microservice)로 나뉘고 있다. 이들은 독립적으로 동작하기 때문에, 개발하고 배포하거나 스케일링을 따로 해줄 수 있다는 장점이 있으며, 이 장점은 빠르게 변화하는 소프트웨어의 요구사항을 반영하기에 적합하다.
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-03-07-02-first-steps.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops, docker]
 title: "02. First Steps with Docker and Kubernetes"
 date: "2021-03-07"
 github_title: "2021-03-07-02-first-steps"
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-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-02.jpeg
+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-02.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-02.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-02.jpeg) _Running a container image in Kubernetes (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-2)_
+![k8s-02.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-02.jpeg) _Running a container image in Kubernetes (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-2)_
 
 도커와 쿠버네티스를 사용하여 간단한 애플리케이션을 배포해 보자!
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-03-17-03-pods.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "03. Pods: Running Containers in Kubernetes"
 date: "2021-03-17"
 github_title: "2021-03-17-03-pods"
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-03.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-03.jpeg) _A container shouldn’t run multiple processes. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-3)_
+![k8s-03.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-03.jpeg) _A container shouldn’t run multiple processes. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-3)_
 
 다양한 쿠버네티스 오브젝트 (resources) 를 살펴보는 단원이다. 가장 기본이 되는 Pod 부터 시작한다. 이외의 모든 것들은 pod 를 관리하거나, pod 를 노출하거나, pod 에 의해 사용된다.
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-03-21-04-replication-and-controllers.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "04. Replication and Other Controllers: Deploying Managed Pods"
 date: "2021-03-21"
 github_title: "2021-03-21-04-replication-and-controllers"
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-04.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-04.jpeg) _ReplicationController recreating pods. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-4)_
+![k8s-04.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-04.jpeg) _ReplicationController recreating pods. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-4)_
 
 3장에서는 pod 를 직접 관리하는 방법에 대해 살펴봤다. 하지만 실무에서는 pod 의 관리가 자동으로 되길 원한다. 이를 위해 ReplicationController 나 Deployment 를 사용한다.
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-04-07-05-services.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "05. Services: Enabling Clients to Discover and Talk to Pods"
 date: "2021-04-07"
 github_title: "2021-04-07-05-services"
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+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-05.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-05.jpeg) _Using `kubectl exec` to test out a connection to the service by running curl in one of the pods. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-5)_
+![k8s-05.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-05.jpeg) _Using `kubectl exec` to test out a connection to the service by running curl in one of the pods. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-5)_
 
 많은 앱들이 request (요청) 을 받아 서비스를 제공하는 형태인데, 이런 요청을 보내려면 IP 주소를 알아야 한다. 한편 Kubernetes 를 사용하게 되면 pod 의 IP 주소를 알아야 하는데, Kubernetes 의 pod 들은 굉장히 동적이므로 이들의 IP 주소를 알아낼 방법이 필요하다.
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-04-07-06-volumes.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "06. Volumes: Attaching Disk Storage to Containers"
 date: "2021-04-07"
 github_title: "2021-04-07-06-volumes"
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+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-06.jpeg
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+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-06.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-06.jpeg) _The complete picture of dynamic provisioning of PersistentVolumes. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-6)_
+![k8s-06.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-06.jpeg) _The complete picture of dynamic provisioning of PersistentVolumes. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-6)_
 
 컨테이너가 재시작되면 기존 작업 내역이 모두 사라지게 될 수 있으므로, 컨테이너의 작업 내역을 저장하고 같은 pod 내의 다른 컨테이너가 함께 사용하는 저장 공간이다.
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-04-18-07-configmaps-and-secrets.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "07. ConfigMaps and Secrets: Configuring Applications"
 date: "2021-04-18"
 github_title: "2021-04-18-07-configmaps-and-secrets"
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-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-07.jpeg
+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-07.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-07.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-07.jpeg) _Combining a ConfigMap and a Secret to run your fortune-https pod (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-7)_
+![k8s-07.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-07.jpeg) _Combining a ConfigMap and a Secret to run your fortune-https pod (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-7)_
 
 거의 대부분의 앱은 설정(configuration)이 필요하다. 개발 서버, 배포 서버의 설정 사항 (접속하려는 DB 서버 주소 등)이 다를 수도 있고, 클라우드 등에 접속하기 위한 access key 가 필요하거나, 데이터를 암호화하는 encryption key 도 설정해야하는 경우가 있다. 이러한 경우에 해당 값들을 도커 이미지 자체에 넣어버리면 보안 상 취약하고, 또 설정 사항을 변경하는 경우 이미지를 다시 빌드해야하는 등 불편함이 따른다.
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-04-18-08-accessing-pod-metadata.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "08. Accessing Pod Metadata and Other Resources from Applications"
 date: "2021-04-18"
 github_title: "2021-04-18-08-accessing-pod-metadata"
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+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-08.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-08.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-08.jpeg) _Using the files from the default-token Secret to talk to the API server (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-8)_
+![k8s-08.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-08.jpeg) _Using the files from the default-token Secret to talk to the API server (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-8)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-04-30-09-deployments.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "09. Deployments: Updating Applications Declaratively"
 date: "2021-04-30"
 github_title: "2021-04-30-09-deployments"
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+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-09.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-09.jpeg) _Rolling update of Deployments (출처: livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-9)_
+![k8s-09.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-09.jpeg) _Rolling update of Deployments (출처: livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-9)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-05-17-10-statefulsets.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "10. StatefulSets: Deploying Replicated Stateful Applications"
 date: "2021-05-17"
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+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-10.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-10.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-10.jpeg) _A stateful pod may be rescheduled to a different node, but it retains the name, hostname, and storage. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-10)_
+![k8s-10.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-10.jpeg) _A stateful pod may be rescheduled to a different node, but it retains the name, hostname, and storage. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-10)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-05-30-11-k8s-internals.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "11. Understanding Kubernetes Internals"
 date: "2021-05-30"
 github_title: "2021-05-30-11-k8s-internals"
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-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-11.jpeg
+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-11.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-11.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-11.jpeg) _The chain of events that unfolds when a Deployment resource is posted to the API server (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-11)_
+![k8s-11.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-11.jpeg) _The chain of events that unfolds when a Deployment resource is posted to the API server (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-11)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-06-06-12-securing-k8s-api-server.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "12. Securing the Kubernetes API Server"
 date: "2021-06-06"
 github_title: "2021-06-06-12-securing-k8s-api-server"
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-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-12.jpeg
+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-12.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-12.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-12.jpeg) _Roles grant permissions, whereas RoleBindings bind Roles to subjects (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-12)_
+![k8s-12.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-12.jpeg) _Roles grant permissions, whereas RoleBindings bind Roles to subjects (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-12)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-06-29-13-securing-nodes-and-network.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "13. Securing Cluster Nodes and the Network"
 date: "2021-06-29"
 github_title: "2021-06-29-13-securing-nodes-and-network"
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-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-13.jpeg
+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-13.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-13.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-13.jpeg) _A pod with hostNetwork: true uses the node's network interfaces instead of its own. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-13)_
+![k8s-13.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-13.jpeg) _A pod with hostNetwork: true uses the node's network interfaces instead of its own. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-13)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-07-11-14-managing-computation-resources.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "14. Managing Pods' Computational Resources"
 date: "2021-07-11"
 github_title: "2021-07-11-14-managing-computation-resources"
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
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-![k8s-14.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-14.jpeg) _The Scheduler only cares about requests, not actual usage. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-14)_
+![k8s-14.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-14.jpeg) _The Scheduler only cares about requests, not actual usage. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-14)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-07-18-15-autoscaling.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "15. Automatic Scaling of Pods and Cluster Nodes"
 date: "2021-07-18"
 github_title: "2021-07-18-15-autoscaling"
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 ---
 
-![k8s-15.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-15.jpeg) _How the autoscaler obtains metrics and rescales the target deployment (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-15)_
+![k8s-15.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-15.jpeg) _How the autoscaler obtains metrics and rescales the target deployment (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-15)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-08-15-16-advanced-scheduling.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "16. Advanced Scheduling"
 date: "2021-08-15"
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-![k8s-16.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-16.jpeg) _A pod is only scheduled to a node if it tolerates the node’s taints. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-16)_
+![k8s-16.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-16.jpeg) _A pod is only scheduled to a node if it tolerates the node’s taints. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-16)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-08-15-17-best-practices.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "17. Best Practices for Developing Apps"
 date: "2021-08-15"
 github_title: "2021-08-15-17-best-practices"
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-![k8s-17.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-17.jpeg) _Resources in a typical application (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-17)_
+![k8s-17.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-17.jpeg) _Resources in a typical application (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-17)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-09-04-18-extending-k8s.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "18. Extending Kubernetes"
 date: "2021-09-04"
 github_title: "2021-09-04-18-extending-k8s"
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-![k8s-18.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-18.jpeg) _API Server Aggregation (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-18)_
+![k8s-18.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-18.jpeg) _API Server Aggregation (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-18)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/web/2023-06-25-blog-moving.md

@@ -1,16 +1,21 @@
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-categories: [Development, Web]
-tags: [development, web]
-title: "블로그 이주 이야기"
-date: "2023-06-25"
-github_title: "2023-06-25-blog-moving"
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+  - Development
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+  - development
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+title: 블로그 이주 이야기
+date: 2023-06-25
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 ---
 
-![blog-logo.png](/assets/img/posts/blog-logo.png) _New blog logo_
+![blog-logo.png](../../../assets/img/posts/blog-logo.png) _New blog logo_
 
 오래 전, Github Pages가 불편하다는 이유로 티스토리로 옮겼었다.
 근데 어쩌다 보니 결국 다시 돌아오게 되었다.
@@ -65,7 +70,7 @@ image:
 
 Obsidian을 Github과 연동하기 위해 [Obsidian Github Publisher](https://github.com/ObsidianPublisher/obsidian-github-publisher) 플러그인을 사용할 수 있다.
 
-![github-publisher.png](/assets/img/posts/github-publisher.png){: .shadow } _플러그인 설정 화면: 어느 폴더에 어떤 이름으로 파일을 업로드할지 설정할 수 있다._
+![github-publisher.png](../../../assets/img/posts/github-publisher.png){: .shadow } _플러그인 설정 화면: 어느 폴더에 어떤 이름으로 파일을 업로드할지 설정할 수 있다._
 
 이 플러그인을 사용하면 Obsidian의 문서 중에서 `share: true` 로 마킹된 문서들을 레포에 저장할 수 있게 된다. 그렇다면 블로그 글을 Obsidian에서 작성하고, 플러그인을 이용해 레포에 push하게 되면, 자동으로 빌드/배포가 이뤄져서 블로그에 반영되는 것을 확인할 수 있을 것이다.
 

_posts/Mathematics/2022-04-08-thoughts-on-studying-math.md

@@ -2,11 +2,15 @@
 share: true
 toc: true
 math: true
-categories: [Mathematics]
-tags: [math, study]
-title: "수학 공부에 대한 고찰"
-date: "2022-02-03"
-github_title: "2022-04-08-thoughts-on-studying-math"
+categories:
+  - Mathematics
+path: _posts/mathematics
+tags:
+  - math
+  - study
+title: 수학 공부에 대한 고찰
+date: 2022-02-03
+github_title: 2022-04-08-thoughts-on-studying-math
 ---
 
 과외돌이 수업을 위해 새로운 교재를 골라야 했다. 교재를 고민하던 도중 내가 생각하는 수학 공부 방법을 설명하기에 매우 좋은 예시가 생겨서 이렇게 글로 남기게 되었다.

_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-01-23-construction-of-measure.md

@@ -1,261 +0,0 @@
----
-share: true
-toc: true
-math: true
-categories: [Mathematics, Measure Theory]
-tags: [math, analysis, measure-theory]
-title: "02. Construction of Measure"
-date: "2023-01-23"
-github_title: "2023-01-23-construction-of-measure"
-image:
-  path: /assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory/mt-02.png
-attachment:
-  folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
----
-
-![mt-02.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-02.png)
-
-이제 본격적으로 집합을 재보도록 하겠습니다. 우리가 잴 수 있는 집합들부터 시작합니다. $\mathbb{R}^p$에서 논의할 건데, 이제 여기서부터는 $\mathbb{R}$의 구간의 열림/닫힘을 모두 포괄하여 정의합니다. 즉, $\mathbb{R}$의 구간이라고 하면 $[a, b], (a, b), [a, b), (a, b]$ 네 가지 경우를 모두 포함합니다.
-
-## Elementary Sets
-
-**정의.** ($\mathbb{R}^p$의 구간) $a_i, b_i \in \mathbb{R}$, $a_i \leq b_i$ 라 하자. $I_i$가 $\mathbb{R}$의 구간이라고 할 때, $\mathbb{R}^p$의 구간은
-
-$$\prod_ {i=1}^p I_i = I_1 \times \cdots \times I_p$$
-
-와 같이 정의한다.
-
-예를 들어 $\mathbb{R}^2$의 구간이라 하면 직사각형 영역, $\mathbb{R}^3$의 구간이라 하면 직육면체 영역을 떠올릴 수 있습니다. 단, 경계는 포함되지 않을 수도 있습니다.
-
-이러한 구간들을 유한개 모아 합집합하여 얻은 집합을 모아 elementary set이라 합니다.
-
-**정의.** (Elementary Set) 어떤 집합이 유한개 구간의 합집합으로 표현되면 그 집합을 **elementary set**이라고 한다. 그리고 $\mathbb{R}^p$의 elementary set의 모임을 $\Sigma$로 표기한다.
-
-임의의 구간은 유계입니다. 따라서 구간의 유한한 합집합도 유계일 것입니다.
-
-**참고.** 임의의 elementary set은 유계이다.
-
-Elementary set의 모임에서 집합의 연산을 정의할 수 있을 것입니다. 이 때, $\Sigma$가 ring이 된다는 것을 간단하게 확인할 수 있습니다.
-
-**명제.** $\Sigma$는 ring이다. 하지만 전체 공간인 $\mathbb{R}^p$를 포함하고 있지 않기 때문에 $\sigma$-ring은 아니다.
-
-구간의 길이를 재는 방법은 아주 잘 알고 있습니다. 유한개 구간의 합집합인 elementary set에서도 쉽게 잴 수 있습니다. 이제 길이 함수 $m: \Sigma \rightarrow[0, \infty)$ 을 정의하겠습니다. 아직 measure는 아닙니다.
-
-**정의.** $a_i, b_i \in \mathbb{R}$ 가 구간 $I_i$의 양 끝점이라 하자. $\mathbb{R}^p$의 구간 $I = \displaystyle\prod_ {i=1}^p I_i$ 에 대하여,
-
-$$m(I) = \prod_ {i=1}^p (b_i - a_i)$$
-
-로 정의한다.
-
-**정의.** $I_i$가 쌍마다 서로소인 $\mathbb{R}^p$의 구간이라 하자. $A = \displaystyle\bigcup_ {i=1}^n I_i$ 에 대하여
-
-$$m(A) = \sum_ {i=1}^n m(I_i)$$
-
-로 정의한다.
-
-$\mathbb{R}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3$에서 생각해보면 $m$은 곧 길이, 넓이, 부피와 대응되는 함수임을 알 수 있습니다. 또한 쌍마다 서로소인 구간의 합집합에 대해서는 각 구간의 함숫값을 더한 것으로 정의합니다. 어떤 집합을 겹치지 않게 구간으로 나눌 수 있다면, 집합의 ‘길이’가 각 구간의 ‘길이’ 합이 되는 것은 자연스럽습니다.
-
-그리고 이 정의는 well-defined 입니다. $A \in \Sigma$ 에 대해서 서로소인 유한개 구간의 합집합으로 나타내는 방법이 유일하지 않아도, $m$ 값은 같습니다.
-
-**참고.** $m$은 $\Sigma$ 위에서 additive이다. 따라서 $m : \Sigma \rightarrow[0, \infty)$ 은 additive set function이다.
-
-여기서 추가로 regularity 조건을 만족했으면 좋겠습니다.
-
-**정의.** (Regularity) Set function $\mu: \Sigma \rightarrow[0, \infty]$ 가 additive라 하자. 모든 $A \in \Sigma$ 와 $\epsilon > 0$ 에 대하여
-
-> 닫힌집합 $F \in \Sigma$, 열린집합 $G \in \Sigma$ 가 존재하여 $F \subseteq A \subseteq G$ 이고 $\mu(G) - \epsilon \leq \mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon$
-
-이면 $\mu$가 $\Sigma$ 위에서 **regular**하다고 정의한다.
-
-위에서 정의한 $m$이 regular한 것은 쉽게 확인할 수 있습니다.
-
-이제 set function $\mu: \Sigma \rightarrow[0, \infty)$ 가 finite, regular, additive 하다고 가정합니다.
-
-**정의.** (Outer Measure) $E \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^p)$ 의 **outer measure** $\mu^\ast: \mathcal{P}(\mathbb{R}^p) \rightarrow[0, \infty]$ 는
-
-$$\mu^\ast(E) = \inf \left\lbrace \sum_ {n=1}^\infty \mu(A_n) : \text{열린집합 } A_n \in \Sigma \text{ 에 대하여 } E \subseteq\bigcup_ {n=1}^\infty A_n\right\rbrace.$$
-
-로 정의한다.
-
-Outer measure라 부르는 이유는 $E$의 바깥에서 길이를 재서 근사하기 때문입니다. Outer measure는 모든 power set에 대해서 정의할 수 있으니, 이를 이용해서 모든 집합을 잴 수 있으면 좋겠습니다. 하지만 measure가 되려면 countably additive 해야하는데, 이 조건이 가장 만족하기 까다로운 조건입니다. 실제로 countably additive 조건이 성립하지 않습니다.
-
-**참고.**
-
-- $\mu^\ast \geq 0$ 이다.
-
-- $E_1 \subseteq E_2$ 이면 $\mu^\ast(E_1) \leq \mu^\ast(E_2)$ 이다. (단조성)
-
-**정리.**
-
-1. $A \in \Sigma$ 이면 $\mu^\ast(A) = \mu(A)$.[^1]
-
-2. Countable subadditivity가 성립한다.
-
-	$$\mu^\ast\left( \bigcup_ {n=1}^\infty E_n \right) \leq \sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(E_n), \quad (\forall E_n \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^p))$$
-
-**증명.**
-
-(1) $A \in \Sigma$, $\epsilon > 0$ 라 두자. $\mu$의 regularity를 이용하면, 열린집합 $G \in \Sigma$ 가 존재하여 $A \subseteq G$ 이고
-
-$$\mu^\ast(A) \leq \mu(G) \leq \mu(A) + \epsilon$$
-
-이다. $\mu^\ast$의 정의에 의해 열린집합 $A_n \in \Sigma$ 가 존재하여 $A \subseteq\displaystyle\bigcup_ {n=1}^\infty A_n$ 이고
-
-$$\sum_ {n=1}^\infty \mu(A_n) \leq \mu^\ast(A) + \epsilon$$
-
-이다. 마찬가지로 regularity에 의해 닫힌집합 $F \in \Sigma$ 가 존재하여 $F\subseteq A$ 이고 $\mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon$ 이다. $F \subseteq\mathbb{R}^p$ 는 유계이고 닫힌집합이므로 compact set이고, finite open cover를 택할 수 있다. 즉, 적당한 $N \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $F \subseteq\displaystyle\bigcup_ {i=1}^N A_ {i}$ 가 성립한다.
-
-따라서
-
-$$\mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon \leq \sum_ {i=1}^N \mu(A_i) \leq \sum_ {i=1}^n \mu(A_i) + \epsilon \leq \mu^\ast(A) + 2\epsilon$$
-
-이제 $\epsilon \rightarrow 0$ 로 두면 $\mu(A) = \mu^\ast(A)$ 를 얻는다.
-
-\(2\) 부등식의 양변이 모두 $\infty$ 이면 증명할 것이 없으므로, 양변이 모두 유한하다고 가정하여 모든 $n\in \mathbb{N}$ 에 대해 $\mu^\ast(E_n) < \infty$ 라 하자. $\epsilon > 0$ 로 두고, 각 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 열린집합 $A_ {n, k} \in \Sigma$ 가 존재하여 $E_n \subseteq\displaystyle\bigcup_ {k=1}^\infty A_ {n, k}$ 이고 $\displaystyle\sum_ {k=1}^\infty \mu(A_ {n,k}) \leq \mu^\ast(E_n) + 2^{-n}\epsilon$ 이다.
-
-$\mu^\ast$는 하한(infimum)으로 정의되었기 때문에,
-
-$$\mu^\ast\left( \bigcup_ {n=1}^\infty E_n \right) \leq \sum_ {n=1}^\infty \sum_ {k=1}^\infty \mu(A_ {n,k}) \leq \sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(E_n) + \epsilon$$
-
-가 성립하고, $\epsilon \rightarrow 0$ 로 두면 부등식이 성립함을 알 수 있다.
-
-## $\mu$-measurable Sets
-
-Countably additive 조건이 성립하는 집합들만 모아서 measure를 construct 하려고 합니다. 아래 내용은 이를 위한 사전 준비 작업입니다.
-
-**표기법.** (대칭차집합) $A \mathop{\mathrm{\triangle}}B = (A\setminus B) \cup (B \setminus A)$.
-
-**정의.**
-
-- $d(A, B) = \mu^\ast(A \mathop{\mathrm{\triangle}}B)$ 로 정의한다.
-
-- 집합열 $A_n$에 대하여 $d(A_n, A) \rightarrow 0$ 이면 $A_n \rightarrow A$ 로 정의한다.
-
-**참고.**
-
-- $A, B, C \in \mathbb{R}^p$ 에 대하여 $d(A, B) \leq d(A, C) + d(C, B)$ 이다.
-
-- $A_1, B_2, B_1, B_2 \in \mathbb{R}^p$ 일 때, 다음이 성립한다.
-
-	$$\left.\begin{array}{c}d(A_1 \cup A_2, B_1 \cup B_2) \\d(A_1 \cap A_2, B_1 \cap B_2) \\d(A_1 \setminus A_2, B_1 \setminus B_2)\end{array}\right\rbrace\leq d(A_1, B_1) + d(A_2, B_2).$$
-
-**정의.** (Finitely $\mu$-measurable) 집합 $A_n \in \Sigma$ 이 존재하여 $A_n \rightarrow A$ 이면 $A$가 **finitely $\mu$-measurable**이라 한다. 그리고 finitely $\mu$-measurable한 집합의 모임을 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$로 표기한다.
-
-위 정의는 $\mu$라는 set function에 의해 $\mu^\ast (A_n \mathop{\mathrm{\triangle}}A) \rightarrow 0$ 이 되는 elementary set $A_n$이 존재한다는 의미입니다.
-
-**정의.** ($\mu$-measurable) $A_n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대하여 $A = \displaystyle\bigcup_ {n=1}^\infty A_n$ 이면 $A$가 **$\mu$-measurable**이라 한다. 그리고 $\mu$-measurable한 집합의 모임을 $\mathfrak{M}(\mu)$로 표기한다.
-
-**참고.** $\mu^\ast(A) = d(A, \varnothing) \leq d(A, B) + \mu^\ast(B)$.
-
-**명제.** $\mu^\ast(A)$ 또는 $\mu^\ast(B)$가 유한하면, 다음이 성립한다.
-
-$$\lvert \mu^\ast(A) - \mu^\ast(B) \rvert \leq d(A, B).$$
-
-**따름정리.** $A \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이면 $\mu^\ast(A) < \infty$ 이다.
-
-**증명.** $A_n \in \Sigma$ 가 존재하여 $A_n \rightarrow A$ 이고, $N \in \mathbb{N}$ 이 존재하여
-
-$$\mu^\ast(A) \leq d(A_N, A) + \mu^\ast(A_N) \leq 1 + \mu^\ast(A_N) < \infty$$
-
-이다.
-
-**따름정리.** $A_n \rightarrow A$ 이고 $A_n, A \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이면 $\mu^\ast(A_n)\rightarrow\mu^\ast(A) < \infty$ 이다.
-
-**증명.** $\mu^\ast(A)$, $\mu^\ast(A_n)$가 유한하므로, $n \rightarrow\infty$ 일 때 $\lvert \mu^\ast(A_n) - \mu^\ast(A) \rvert \leq d(A_n, A) \rightarrow 0$ 이다.
-
-## Construction of Measure
-
-준비가 끝났으니 measure를 construct 해보겠습니다! $\mathcal{P}(\mathbb{R}^p)$에서는 할 수 없지만 정의역을 $\mathfrak{M}(\mu)$로 조금 좁히면 measure가 된다는 뜻입니다.
-
-**정리.** $\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-algebra 이고 $\mu^\ast$는 $\mathfrak{M}(\mu)$의 measure가 된다.
-
-**증명.** $\mathfrak{M}(\mu)$가 $\sigma$-algebra이고 $\mu^\ast$가 $\mathfrak{M}(\mu)$에서 countably additive임을 보이면 충분하다.
-
-**(Step 0)** *$\mathfrak{M} _ F(\mu)$는 ring이다.*
-
-$A, B \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 라 하자. 그러면 $A_n, B_n \in \Sigma$ 이 존재하여 $A_n \rightarrow A$, $B_n \rightarrow B$ 이 된다. 그러면
-
-$$\left.\begin{array}{c}d(A_n \cup B_n, A \cup B) \\ d(A_n \cap B_n, A \cap B) \\ d(A_n \setminus B_n, A \setminus B)\end{array}\right\rbrace\leq d(A_n, A) + d(B_n, B) \rightarrow 0$$
-
-이므로 $A_n \cup B_n \rightarrow A \cup B, A_n \setminus B_n \rightarrow A\setminus B$ 이기 때문에 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$는 ring이다.
-
-**(Step 1)** *$\mu^\ast$는 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$ 위에서 additive이다*.
-
-$\Sigma$ 위에서는 $\mu = \mu^\ast$ 이므로, 위 따름정리에 의해
-
-$$\begin{matrix} \mu(A_n) \rightarrow\mu^\ast(A), & \mu(A_n\cup B_n) \rightarrow\mu^\ast(A\cup B), \\ \mu(B_n) \rightarrow\mu^\ast(B), & \mu(A_n\cap B_n) \rightarrow\mu^\ast(A\cap B) \end{matrix}$$
-
-가 성립함을 알 수 있다. 일반적으로 $\mu(A_n) + \mu(B_n) = \mu(A_n \cup B_n) + \mu(A_n \cap B_n)$ 이므로 여기서 $n \rightarrow\infty$ 로 두면
-
-$$\mu^\ast(A) + \mu^\ast(B) = \mu^\ast(A\cup B) + \mu^\ast(A \cap B)$$
-
-를 얻는다. $A \cap B = \varnothing$ 라는 조건이 추가되면 $\mu^\ast$가 additive임을 알 수 있다.
-
-**(Step 2)** *$\mathfrak{M} _ F(\mu) = \lbrace A \in \mathfrak{M}(\mu) : \mu^\ast(A) < \infty\rbrace$.*[^2]
-
-**Claim**. 쌍마다 서로소인 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$의 원소들을 잡아 이들의 합집합으로 $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ 를 표현할 수 있다.
-
-**증명.** $A_n' \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대하여 $A = \bigcup A_n'$ 로 두자.
-
-> $A_1 = A_1'$, $n \geq 2$ 이면 $A_n = A_n' \setminus(A_1'\cup \cdots \cup A_ {n-1}')$
-
-와 같이 정의하면 $A_n$이 쌍마다 서로소이고 $A_n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 임을 알 수 있다.
-
-위 사실을 이용하여 $A_n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대하여 $A = \displaystyle\bigcup_ {n=1}^\infty A_n$ 으로 두자.
-
-1. Countable subadditivity에 의해 $\displaystyle\mu^\ast(A) \leq \sum_ {n=1}^{\infty} \mu^\ast (A_n)$ 가 성립한다.
-
-2. Step 1에 의해 $\displaystyle\bigcup_ {n=1}^k A_n \subseteq A$, $\displaystyle\sum_ {n=1}^{k} \mu^\ast(A_n) \leq \mu^\ast(A)$ 이다. $k \rightarrow\infty$ 로 두면 $\displaystyle\mu^\ast(A) \geq \sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(A_n)$ 임을 알 수 있다.
-
-따라서 $\displaystyle\mu^\ast(A) = \sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(A_n)$ 이다.[^3] [^4]
-
-이제 $B_n =\displaystyle\bigcup_ {k=1}^n A_k$ 로 두자. $\mu^\ast(A) < \infty$ 를 가정하면 $\displaystyle\sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(A_n)$의 수렴성에 의해
-
-$$\displaystyle d(A, B_n) = \mu^\ast\left( \bigcup_ {k=n+1}^\infty A_k \right) = \sum_ {k=n+1}^{\infty} \mu^\ast(A_i) \rightarrow 0 \text{ as } n \rightarrow\infty$$
-
-임을 알 수 있다.
-
-$B_n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이므로 $C_n \in \Sigma$ 를 잡아 각 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $d(B_n, C_n)$를 임의로 작게 만들 수 있다. 그러면 $d(A, C_n) \leq d(A, B_n) + d(B_n, C_n)$ 이므로 충분히 큰 $n$에 대하여 $d(A, C_n)$도 임의로 작게 만들 수 있다. 따라서 $C_n \rightarrow A$ 임을 알 수 있고 $A \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 라는 결론을 내릴 수 있다.
-
-**(Step 3)** *$\mu^\ast$는 $\mathfrak{M}(\mu)$ 위에서 countably additive이다.*
-
-$A_n \in \mathfrak{M}(\mu)$ 가 $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ 의 분할이라 하자. 적당한 $m \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\mu^\ast(A_m) = \infty$ 이면
-
-$$\mu^\ast\left( \bigcup_ {n=1}^\infty A_n \right) \geq \mu^\ast(A_m) = \infty = \sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(A_n)$$
-
-이므로 countable additivity가 성립한다.
-
-이제 모든 $n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\mu^\ast(A_n) < \infty$ 이면, Step 2에 의해 $A_n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이고
-
-$$\mu^\ast(A) = \mu^\ast\left( \bigcup_ {n=1}^\infty A_n \right) = \sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(A_n)$$
-
-가 성립한다.
-
-**(Step 4)** *$\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-ring이다.*
-
-$A_n \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이면 $B_ {n, k} \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 가 존재하여 $\displaystyle A_n = \bigcup_k B_ {n,k}$ 이다. 그러면
-
-$$\bigcup_n A_n = \bigcup_ {n, k} B_ {n, k} \in \mathfrak{M}(\mu)$$
-
-이다.
-
-$A, B \in \mathfrak{M}(\mu)$ 라 하면 $A_n, B_n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대해 $\displaystyle A = \bigcup A_n$, $\displaystyle B = \bigcup B_n$ 이므로,
-
-$$A \setminus B = \bigcup_ {n=1}^\infty \left( A_n \setminus B \right) = \bigcup_ {n=1}^\infty (A_n\setminus(A_n\cap B))$$
-
-임을 알 수 있다. 그러므로 $A_n \cap B \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 인 것만 보이면 충분하다. 정의에 의해
-
-$$A_n \cap B = \bigcup_ {k=1}^\infty (A_n \cap B_k) \in \mathfrak{M}(\mu)$$
-
-이고 $\mu^\ast(A_n \cap B) \leq \mu^\ast(A_n) < \infty$ 이므로 $A_n\cap B \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이다. 따라서 $A \setminus B$ 가 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$의 원소들의 countable 합집합으로 표현되므로 $A\setminus B \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다.
-
-따라서 $\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-ring이고 $\sigma$-algebra이다.
-
----
-
-이제 $\Sigma$ 위의 $\mu$ 정의를 $\mathfrak{M}(\mu)$ ($\sigma$-algebra)로 확장하여 $\mathfrak{M}(\mu)$ 위에서는 $\mu = \mu^\ast$ 로 정의합니다. $\Sigma$ 위에서 $\mu = m$ 일 때, 이와 같이 확장한 $\mathfrak{M}(m)$ 위의 $m$을 **Lebesgue measure** on $\mathbb{R}^p$라 합니다. 그리고 $A \in \mathfrak{M}(m)$ 를 Lebesgue measurable set이라 합니다.
-
-[^1]: $A$가 open이 아니면 자명하지 않은 명제입니다.
-[^2]: $A$가 $\mu$-measurable인데 $\mu^\ast(A) < \infty$이면 $A$는 finitely $\mu$-measurable이다.
-[^3]: $A$가 countable union of sets in $\mathfrak{M} _ F(\mu)$이므로 $\mu^\ast$도 각 set의 $\mu^\ast$의 합이 된다.
-[^4]: 아직 증명이 끝나지 않았습니다. $A_n$은 $\mathfrak{M}(\mu)$의 원소가 아니라 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$의 원소입니다.

_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-03-25-convergence-theorems.md

@@ -1,200 +0,0 @@
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-share: true
-toc: true
-math: true
-categories: [Mathematics, Measure Theory]
-tags: [math, analysis, measure-theory]
-title: "06. Convergence Theorems"
-date: "2023-03-25"
-github_title: "2023-03-25-convergence-theorems"
-image:
-  path: /assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory/mt-06.png
-attachment:
-  folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
----
-
-르벡 적분 이론에서 굉장히 자주 사용되는 수렴 정리에 대해 다루겠습니다. 이 정리들을 사용하면 굉장히 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다.
-
-## Monotone Convergence Theorem
-
-먼저 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem, MCT)입니다. 이 정리에서는 $f_n \geq 0$ 인 것이 매우 중요합니다.
-
-![mt-06.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-06.png)
-
-**정리.** (단조 수렴 정리) $f_n: X \rightarrow[0, \infty]$ 가 measurable이고 모든 $x \in X$ 에 대하여 $f_n(x) \leq f_ {n+1}(x)$ 라 하자.
-
-$$\lim_ {n\rightarrow\infty} f_n(x) = \sup_ {n} f_n(x) = f(x)$$
-
-로 두면,
-
-$$\int f \,d{\mu} = \lim_ {n\rightarrow\infty} \int f_n \,d{\mu} = \sup_ {n \in \mathbb{N}} \int f_n \,d{\mu}$$
-
-이다.
-
-**증명.**
-
-($\geq$) $f_n(x) \leq f(x)$ 이므로 단조성을 이용하면 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\displaystyle\int f_n \,d{\mu} \leq \displaystyle\int f \,d{\mu}$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.
-
-$$\sup_n \int f_n \,d{\mu} \leq \int f \,d{\mu}.$$
-
-($\leq$) 실수 $c \in (0, 1)$ 를 잡자. 마지막에 $c \nearrow 1$ 로 둘 것이다. 이제 measurable simple function $s$가 $0 \leq s \leq f$ 라 하자. 그러면 모든 $x \in X$ 에 대하여 $c \cdot s(x) < f(x)$ 일 것이다.
-
-이제
-
-$$E_n = \lbrace x \in X : f_n(x) \geq cs(x)\rbrace$$
-
-으로 두면, $f_n(x) - cs(x)$ 가 measurable function이므로 $E_n$ 또한 measurable이다. 여기서 $f_n$이 증가하므로 $E_n\subseteq E_ {n+1} \subseteq\cdots$ 임을 알 수 있고 $f_n \rightarrow f$ 이므로 $\bigcup_ {n=1}^\infty E_n = X$ 이다.
-
-충분히 큰 $N \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $n \geq N$ 일 때, 모든 $x$에 대하여 $f(x) \geq f_n(x) > cs(x)$ 가 되게 할 수 있다. 그리고 $f_n \geq f_n \chi_ {E_n} \geq cs \chi_ {E_n}$ 이므로
-
-$$\tag{\(\star\)}    \int f_n \,d{\mu} \geq \int f_n \chi_ {E_n} \,d{\mu} \geq c\int s \chi_ {E_n} \,d{\mu},$$
-
-이고 여기서 $s, \chi_ {E_n}$는 simple function이다. 그러므로 $s = \sum_ {k=0}^m y_k \chi_ {A_k}$ 라고 적으면
-
-$$s\chi_ {E_n} = \sum_ {k=0}^m y_k \chi_ {A_k\cap E_n} \implies \int s \chi_ {E_n} \,d{\mu} = \sum_ {k=0}^m y_k \mu(A_k\cap E_n)$$
-
-이다. $n\rightarrow\infty$ 일 때 $A_k\cap E_n \nearrow A_k$ 이므로, continuity of measure를 사용해 $\mu(A_k \cap E_n) \nearrow \mu(A_k)$ 를 얻고
-
-$$\lim_ {n\rightarrow\infty} \int s \chi_ {E_n}\,d{\mu} = \int s \,d{\mu}$$
-
-임도 알 수 있다. 이제 ($\star$)를 이용하면
-
-$$\lim_ {n\rightarrow\infty} \int f_n \,d{\mu} \geq c\int s \,d{\mu}$$
-
-이므로, $c \nearrow 1$ 로 두고 $0\leq s\leq f$ 에 대하여 $\sup$을 취하면
-
-$$\lim_ {n\rightarrow\infty} \int f_n \,d{\mu} \geq \sup_ {0\leq s\leq f} \int s \,d{\mu} = \int f \,d{\mu}$$
-
-가 되어 원하는 결과를 얻는다.
-
-**참고.** 만약 부등식 $0 \leq f_n \leq f_ {n+1}$ 이 정의역 전체가 아닌 정의역의 부분집합 $E$에서만 성립한다고 하면, 다음과 같이 생각할 수 있다.
-
-$$0 \leq f_n \chi_E \leq f_ {n+1} \chi_E \nearrow f \chi_E.$$
-
-그러므로 단조 수렴 정리가 $E$에서도 성립함을 알 수 있다.
-
-> $E$에서 $0\leq f_n \leq f_ {n+1} \nearrow f$ 이면 $\displaystyle\lim_ {n\rightarrow\infty} \int_E f_n \,d{\mu} = \int_E f \,d{\mu}$.
-
-**참고.** 함수열 $f_n$이 증가하는 경우에만 정리가 성립합니다. 감소하는 경우에는 반례로 함수 $f_n = \chi_ {[n, \infty)}$ 를 생각할 수 있습니다. 그러면 $n \rightarrow\infty$ 일 때 $\chi_ {[n, \infty)} \searrow 0$ 입니다.
-
-그러면 Lebesgue measure $m$에 대하여
-
-$$\infty = \int \chi_ {[n, \infty)} \,d{m} \neq \int 0 \,d{m} = 0$$
-
-이 되어 단조 수렴 정리가 성립하지 않음을 확인할 수 있습니다.
-
----
-
-지난 번에 $f \geq 0$ 가 measurable이면 증가하는 measurable simple 함수열 $s_n$이 존재함을 보였고, 이 $s_n$에 대하여 적분값을 계산하여
-
-$$\int_E s_n \,d{\mu} = \sum_ {i=1}^{n2^n} \frac{i - 1}{2^n}\mu\left( \left\lbrace x \in E : \frac{i-1}{2^n} \leq f(x) \leq \frac{i}{2^n}\right\rbrace \right) + n\mu(\lbrace x \in E : f(x)\geq n\rbrace)$$
-
-라는 결과까지 얻었습니다. 그런데 여기서
-
-$$f(x) = \displaystyle\lim_ {n\rightarrow\infty} s_n(x)$$
-
-이기 때문에, 단조 수렴 정리에 의해
-
-$$\int_E f \,d{\mu} = \lim_ {n\rightarrow\infty} \int_E s_n \,d{\mu}$$
-
-가 성립하여 기대했던 결과를 얻었습니다. 지난 번 설명한 것처럼, 이는 곧 르벡 적분은 치역을 잘게 잘라 넓이를 계산한 것으로 이해할 수 있다는 의미가 됩니다.
-
----
-
-다음은 단조 수렴 정리를 활용하여 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있는 예제입니다.
-
-**참고.** Measurable function $f, g \geq 0$ 과 $\alpha, \beta \in [0, \infty)$ 에 대하여 다음이 성립한다.
-
-$$\int_E \left( \alpha f + \beta g \right) \,d{\mu} = \alpha \int_E f \,d{\mu} + \beta \int_E g\,d{\mu}.$$
-
-**증명.** Measurable function은 measurable simple function으로 근사할 수 있고, $f, g \geq 0$ 이므로 단조증가하도록 잡을 수 있다. 그러므로 measurable simple function $f_n$, $g_n$에 대하여 $0 \leq f_n \leq f_ {n+1} \nearrow f$, $0 \leq g_n \leq g_ {n+1} \nearrow g$ 으로 잡는다.
-
-그러면 $\alpha f_n + \beta g_n \nearrow \alpha f + \beta g$ 이고 $\alpha f_n + \beta g_n$ 은 단조증가하는 measurable simple 함수열이다. 따라서 단조 수렴 정리에 의해
-
-$$\int_E \left( \alpha f_n + \beta g_n \right) \,d{\mu} = \alpha \int_E f_n \,d{\mu} + \beta \int_E g_n \,d{\mu} \rightarrow\alpha \int_E f \,d{\mu} + \beta \int_E g\,d{\mu}$$
-
-이다.
-
-이와 비슷한 방법을 급수에도 적용할 수 있습니다.
-
-**정리.** Measurable function $f_n: X \rightarrow[0, \infty]$ 에 대하여 $\sum_ {n=1}^\infty f_n$는 measurable이고, 단조 수렴 정리에 의해 다음이 성립한다.
-
-$$\int_E \sum_ {n=1}^\infty f_n \,d{\mu} = \sum_ {n=1}^\infty \int_E f_n \,d{\mu}.$$
-
-**증명.** $\sum_ {n=1}^\infty f_n$는 measurable function의 극한이므로 measurable이다. 무한급수를 부분합의 극한으로 생각하면 $f_n \geq 0$ 이므로 부분합이 증가함을 알 수 있다. 따라서 단조 수렴 정리를 적용하여 결론을 얻는다.
-
-## Fatou's Lemma
-
-단조 수렴 정리와 동치인 수렴 정리를 하나 더 소개합니다. Fatou's lemma로 알려져 있습니다.
-
-**정리.** (Fatou) $f_n \geq 0$ 가 measurable이고 $E$가 measurable이라 하자. 다음이 성립한다.
-
-$$\int_E \liminf_ {n\rightarrow\infty} f_n \,d{\mu} \leq \liminf_ {n\rightarrow\infty} \int_E f_n \,d{\mu}.$$
-
-**증명.** $g_n = \displaystyle\inf_ {k \geq n} f_k$ 으로 두면 $\displaystyle\lim_ {n \rightarrow\infty} g_n = \liminf_ {n\rightarrow\infty} f_n$ 이다. $g_n$이 증가함은 쉽게 확인할 수 있으며 $g_n \geq 0$ 이다. $g_n$의 정의로부터 모든 $k \geq n$ 에 대하여 $g_n \leq f_k$ 이므로,
-
-$$\int_E g_n \,d{\mu} \leq \inf_ {k\geq n} \int_E f_k \,d{\mu}$$
-
-이다. 여기서 $n \rightarrow\infty$ 로 두면
-
-$$\int_E \liminf_ {n\rightarrow\infty} f_n \,d{\mu} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_E g_n \,d{\mu} \leq \lim_ {n \rightarrow\infty} \inf_ {k \geq n}\int_E f_k \,d{\mu} = \liminf_ {n \rightarrow\infty} \int_E f_n \,d{\mu}$$
-
-이 된다. 여기서 첫 번째 등호는 단조 수렴 정리에 의해 성립한다.
-
-**참고.** 위 증명에서는 단조 수렴 정리를 활용했습니다. 반대로 이 정리를 가정하면 단조 수렴 정리를 증명할 수 있기도 합니다. 따라서 이 둘은 동치입니다. 증명은 생략합니다.
-
-**참고.** 왠지 위와 비슷한 결론이 $\limsup$에 대해서도 성립해야 할 것 같습니다. 구체적으로,
-
-$$\int_E \limsup_ {n \rightarrow\infty} f_n \,d{\mu} \geq \limsup_ {n \rightarrow\infty} \int_E f_n \,d{\mu}$$
-
-일 것 같습니다. 안타깝게도 이는 성립하지 않습니다. 반례로 앞서 소개한 $\chi_ {[n, \infty)}$를 한 번 더 가져올 수 있습니다. 좌변을 계산해 보면 0이지만, 우변을 계산해 보면 $\infty$입니다. 나중에 소개하겠지만, $\lvert f_n \rvert \leq g$ 를 만족하는 함수 $g \in \mathcal{L}^{1}$ 가 존재해야 위 부등식이 성립합니다.
-
-## Properties of the Lebesgue Integral
-
-르벡 적분의 몇 가지 성질을 소개하고 마칩니다.
-
-1. $f$가 measurable이고 $E$에서 bounded이며 $\mu(E) < \infty$ 일 때, 적당한 실수 $M > 0$ 에 대하여 $\lvert f \rvert \leq M$ 이므로
-
-	$$\int_E \lvert f \rvert \,d{\mu} \leq \int_E M \,d{\mu} = M\mu(E) < \infty$$
-
-	임을 알 수 있습니다. 그러므로 $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 입니다. $E$의 measure가 finite라는 가정 하에, bounded function은 모두 르벡 적분 가능합니다.
-
-2. $f, g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 이고 $E$에서 $f \leq g$ 일 때, 단조성이 성립함을 보이려고 합니다. 앞에서는 $0 \leq f \leq g$ 인 경우에만 단조성을 증명했었는데, 이를 확장하여 함수가 음의 값을 가지는 경우에도 증명하고 싶습니다. 그러므로 양수인 부분과 음수인 부분을 나누어 고려하여 다음과 같이 적을 수 있습니다.
-
-	$$\chi_E (x) f^+(x) \leq \chi_E(x) g^+(x), \qquad \chi_E(x) g^-(x) \leq \chi_E (x) f^-(x)$$
-
-	이로부터
-
-	$$\int_E f^+ \,d{\mu} \leq \int_E g^+ \,d{\mu} < \infty, \qquad \int_E g^- \,d{\mu} \leq \int_E f^- \,d{\mu} < \infty$$
-
-	를 얻습니다. 따라서
-
-	$$\int_E f\,d{\mu} \leq \int_E g \,d{\mu}$$
-
-	가 성립하고, 함수가 음의 값을 가지는 경우에도 단조성이 성립함을 알 수 있습니다.
-
-3. $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$, $c \in \mathbb{R}$ 라 하면 $cf \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 입니다. 왜냐하면
-
-	$$\int_E \lvert c \rvert\lvert f \rvert \,d{\mu} = \lvert c \rvert \int_E \lvert f \rvert\,d{\mu} < \infty$$
-
-	이기 때문입니다. 적분이 가능하니 실제 적분값을 계산할 때 선형성이 성립했으면 좋겠습니다. 앞에서는 음이 아닌 실수에 대해서만 증명했었는데, 이도 마찬가지로 확장하려 합니다. $c < 0$ 인 경우만 보이면 됩니다. 이 때, $(cf)^+ = -cf^-$, $(cf)^- = -cf^+$ 이므로, 다음이 성립합니다.
-
-	$$\int_E cf \,d{\mu} = \int_E (cf)^+ - \int_E (cf)^- \,d{\mu} = -c \int_E f^- \,d{\mu} - (-c) \int_E f^+ \,d{\mu} = c\int_E f\,d{\mu}.$$
-
-4. Measurable function $f$에 대하여 $E$에서 $a \leq f(x) \leq b$ 이고 $\mu(E) < \infty$ 일 때 다음이 성립합니다.
-
-	$$\int_E a \chi_E \,d{\mu} \leq \int_E f\chi_E \,d{\mu} \leq \int_E b \chi_E \,d{\mu} \implies a \mu(E) \leq \int_E f \,d{\mu} \leq b \mu(E).$$
-
-	$f$가 르벡 적분 가능하다는 사실은 $f$가 bounded라는 사실을 이용합니다.
-
-5. $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 와 measurable set $A \subseteq E$ 가 주어지는 경우, $f$는 $E$의 부분집합인 $A$ 위에서도 르벡 적분 가능합니다. 이는 다음 부등식에서 확인할 수 있습니다.
-
-	$$\int_A \lvert f \rvert \,d{\mu} \leq \int_E \lvert f \rvert\,d{\mu} < \infty.$$
-
-6. 만약 measure가 0인 집합에서 적분을 하면 어떻게 될까요? $\mu(E) = 0$ 라 하고, measurable function $f$를 적분해 보겠습니다. 여기서 $\min\lbrace \lvert f \rvert, n\rbrace\chi_E$ 도 measurable이며 $n \rightarrow\infty$ 일 때 $\min\lbrace \lvert f \rvert, n\rbrace\chi_E \nearrow \lvert f \rvert\chi_E$ 임을 이용합니다. 마지막으로 단조 수렴 정리를 적용하면
-
-	$$\begin{aligned}                    \int_E \lvert f \rvert \,d{\mu} &= \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_E \min\lbrace \lvert f \rvert, n\rbrace \,d{\mu} \\                    &\leq \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_E n \,d{\mu} = \lim_ {n \rightarrow\infty} n\mu(E) = 0                  \end{aligned}$$
-
-	임을 얻습니다. 따라서 $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 이고, $\displaystyle\int_E f \,d{\mu} = 0$ 가 되어 적분값이 0임을 알 수 있습니다. 즉, measure가 0인 집합 위에서 적분하면 그 결과는 0이 됩니다.[^1]
-
-[^1]: 편의상 $0\cdot\infty = 0$ 으로 정의했기 때문에 $f \equiv \infty$ 인 경우에도 성립합니다.

_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-06-20-comparison-with-riemann-integral.md

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----
-share: true
-toc: true
-math: true
-categories: [Mathematics, Measure Theory]
-tags: [math, analysis, measure-theory]
-title: "08. Comparison with the Riemann Integral"
-date: "2023-06-20"
-github_title: "2023-06-20-comparison-with-riemann-integral"
-image:
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-attachment:
-  folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
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-
-![mt-08.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-08.png)
-
-## Comparison with the Riemann Integral
-
-먼저 혼동을 막기 위해 Lebesgue measure $m$에 대하여 르벡 적분을
-
-$$\int_ {[a, b]} f \,d{m} = \int_ {[a, b]} f \,d{x} = \int_a^b f \,d{x}$$
-
-와 같이 표기하고, 리만 적분은
-
-$$\mathcal{R}\int_a^b f\,d{x}$$
-
-로 표기하겠습니다.
-
-**정리.** $a, b \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $a < b$ 이고 함수 $f$가 유계라고 하자.
-
-1. $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 이면 $f \in \mathcal{L}^{1}[a, b]$ 이고 $\displaystyle\int_a^b f\,d{x} = \mathcal{R}\int_a^b f \,d{x}$ 이다.
-
-2. $f \in \mathcal{R}[a, b]$ $\iff$ $f$가 연속 $m$-a.e. on $[a, b]$.
-
-쉽게 풀어서 적어보면, (1)은 $f$가 $[a, b]$에서 리만 적분 가능하면 르벡 적분 또한 가능하며, 적분 값이 같다는 의미입니다. 즉 르벡 적분이 리만 적분보다 더 강력하다는 것을 알 수 있습니다.
-
-또한 (2)는 리만 적분 가능성에 대한 동치 조건을 알려줍니다. Almost everywhere라는 조건이 붙었기 때문에, $\mathcal{L}^1$의 equivalence class를 고려하면 사실상 연속함수에 대해서만 리만 적분이 가능하다는 뜻이 됩니다.
-
-**증명.** $k \in \mathbb{N}$ 에 대하여 구간 $[a, b]$의 분할 $P_k = \lbrace a = x_0^k < x_1^k < \cdots < x_ {n_k}^k = b\rbrace$ 를 잡는다. 단 $P_k \subseteq P_ {k+1}$ (refinement) 이고 $\lvert x_ {i}^k - x_ {i-1}^k \rvert < \frac{1}{k}$ 이 되도록 한다.
-
-그러면 리만 적분의 정의로부터
-
-$$\lim_ {k \rightarrow\infty} L(P_k, f) = \mathcal{R}\underline{\int_ {a}^{b}} f\,d{x}, \quad \lim_ {k \rightarrow\infty} U(P_k, f) = \mathcal{R} \overline{\int_ {a}^{b}} f \,d{x}$$
-
-임을 알 수 있다.
-
-이제 measurable simple function $U_k, L_k$를 다음과 같이 잡는다.
-
-$$U_k = \sum_ {i=1}^{n_k} \sup_ {x_ {i-1}^k \leq y \leq x_ {i}^k} f(y) \chi_ {(x_ {i-1}^k, x_i^k]}, \quad L_k = \sum_ {i=1}^{n_k} \inf_ {x_ {i-1}^k \leq y \leq x_ {i}^k} f(y) \chi_ {(x_ {i-1}^k, x_i^k]}.$$
-
-그러면 구간 $[a, b]$ 위에서 $L_k \leq f \leq U_k$인 것은 당연하고, 르벡 적분이 가능하므로
-
-$$\int_a^b L_k \,d{x} = L(P_k, f), \quad \int_a^b U_k \,d{x} = U(P_k, f)$$
-
-이 됨을 알 수 있다. 여기서 $P_k \subseteq P_ {k + 1}$ 이 되도록 잡았기 때문에, $L_k$는 증가하는 수열, $U_k$는 감소하는 수열이다.
-
-그러므로
-
-$$L(x) = \lim_ {k \rightarrow\infty} L_k(x), \quad U(x) = \lim_ {k \rightarrow\infty} U_k(x)$$
-
-로 정의했을 때, 극한이 존재함을 알 수 있다. 여기서 $f, L_k, U_k$가 모두 유계인 함수이므로 지배 수렴 정리에 의해
-
-$$\int_a^b L \,d{x} = \lim_ {k \rightarrow\infty} \int_a^b L_k \,d{x} = \lim_ {k \rightarrow\infty} L(P_k, f) = \mathcal{R}\underline{\int_ {a}^{b}} f\,d{x} < \infty,$$
-
-$$\int_a^b U\,d{x} = \lim_ {k \rightarrow\infty} \int_a^b U_k \,d{x} = \lim_ {k \rightarrow\infty} U(P_k, f) = \mathcal{R} \overline{\int_ {a}^{b}} f \,d{x} < \infty$$
-
-이므로 $L, U \in \mathcal{L}^{1}[a, b]$ 이다.
-
-위 사실을 종합하면 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 일 때,
-
-$$\mathcal{R}\underline{\int_ {a}^{b}} f\,d{x} = \mathcal{R}\overline{\int_ {a}^{b}} f\,d{x}$$
-
-이므로
-
-$$\int_a^b (U - L)\,d{x} = 0$$
-
-가 되어 $U = L$ $m$-a.e. on $[a, b]$라는 사실을 알 수 있다. 역으로 이를 거꾸로 읽어보면 $U = L$ $m$-a.e. on $[a, b]$일 때 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 가 되는 것 또한 알 수 있다.
-
-(1) 위 논의에 의해 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 이면 $f = U = L$ a.e. on $[a, b]$ 이다. 따라서 $f$는 measurable.
-
-$$\int_a^b f \,d{x} = \mathcal{R}\int_a^b f\,d{x} < \infty \implies f \in \mathcal{L}^{1}[a, b].$$
-
-(2) 만약 $x \notin \bigcup_ {k=1}^{\infty} P_k$ 라고 가정하면, 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 충분히 큰 $n \in \mathbb{N}$ 을 잡았을 때 적당한 $j_0 \in \mathbb{N}$ 이 존재하여 $x \in (t_ {j_0-1}^n, t_ {j_0}^n)$ 이면서
-
-$$\lvert L_n(x) - L(x) \rvert + \lvert U_n(x) - U(x) \rvert < \epsilon$$
-
-이 되도록 할 수 있다. 그러면 $y \in (t_ {j_0-1}^n, t_ {j_0}^n)$ 일 때
-
-$$\begin{aligned}        \lvert f(x) - f(y) \rvert & \leq M_ {j_0}^n - m_ {j_0}^n = M_ {j_0}^n - U(x) + U(x) - L(x) + L(x) - m_ {j_0}^n \\                          & \leq U(x) - L(x) + \epsilon    \end{aligned}$$
-
-가 됨을 알 수 있다.
-
-위 부등식에 의해 $y \in \lbrace x : U(x) = L(x)\rbrace \setminus\bigcup_ {k=1}^{\infty} P_k$ 이면 $f$가 $y$에서 연속임을 알 수 있게 된다.
-
-따라서, $f$가 연속인 점들의 집합을 $C_f$라 하면
-
-$$\lbrace x : U(x) = L(x)\rbrace \setminus\bigcup_ {k=1}^{\infty} P_k \subseteq C_f \subseteq\lbrace x : U(x) = L(x)\rbrace$$
-
-이 된다. 한편 $\bigcup_ {k=1}^{\infty} P_k$는 measure가 0 이므로, $U = L$ $m$-a.e. 인 것과 $f$가 연속 $m$-a.e. 인 것은 동치이다. 위 논의의 결과를 이용하면 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 인 것과 $f$가 연속 $m$-a.e. 인 것은 동치이다.
-
-아래는 증명의 부산물입니다.
-
-**참고.**
-
-1. $x \notin \bigcup_ {k=1}^\infty P_k$ 이면 $f$가 $x$에서 연속 $\iff f(x) = U(x) = L(x)$ 이다.
-
-2. $L(x) \leq f(x) \leq U(x)$ 이고 measurable function의 극한인 $L(x), U(x)$ 또한 measurable이다.
-
-3. $f$가 유계라는 조건이 있기 때문에 $f \geq 0$ 인 경우만 생각해도 충분하다. $\lvert f \rvert \leq M$ 라고 하면 $f$ 대신 $f + M$ 을 생각하면 되기 때문이다.
-
-이제 리만 적분의 유용한 성질들을 가지고 와서 사용할 수 있습니다.
-
-1. $f \geq 0$ 이고 measurable일 때, $f_n = f\chi_ {[0, n]}$으로 정의한다. 단조 수렴 정리에 의해
-
-	$$\int_0^\infty f \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_0^\infty f_n \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_0^n f \,d{x}$$
-
-	이다. 마지막 적분을 리만 적분으로 계산할 수 있다.
-
-2. 닫힌 유계 구간 $I \subseteq(0, \infty)$ 에 대하여 $f \in \mathcal{R}(I)$ 라 하면 $f \in \mathcal{L}^{1}(I)$ 이다. $f_n = f\chi_ {[0, n]}$ 으로 잡으면 $\lvert f_n \rvert \leq f$ 이므로 지배 수렴 정리를 적용하여
-
-	$$\int_0^\infty f \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_0^\infty f_n \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_0^n f \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \mathcal{R} \int_0^n f \,d{x}$$
-
-	임을 알 수 있다.
-
-마찬가지로 $f_n = f\chi_ {(1/n, 1)}$ 으로 잡은 경우에도 지배 수렴 정리에 의해
-
-$$\int_0^1 f\,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_ {0}^1 f_n \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty}\int_ {1/n}^1 f \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \mathcal{R}\int_ {1/n}^1 f \,d{x}$$
-
-이 된다.

_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-07-31-Lp-functions.md

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-share: true
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-math: true
-categories: [Mathematics, Measure Theory]
-tags: [math, analysis, measure-theory]
-title: "09. $\\mathcal{L}^p$ Functions"
-date: "2023-07-31"
-github_title: "2023-07-31-Lp-functions"
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-  path: /assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory/mt-09.png
-attachment:
-  folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
----
-
-![mt-09.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-09.png){: .w-50}
-
-## Integration on Complex Valued Function
-
-Let $(X, \mathscr{F}, \mu)$ be a measure space, and $E \in \mathscr{F}$.
-
-**정의.**
-
-1. A complex valued function $f = u + iv$, (where $u, v$ are real functions) is measurable if $u$ and $v$ are both measurable.
-
-2. For a complex function $f$,
-
-	$$f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu) \iff  \int_E \left\lvert  f \right\rvert  \,d{\mu} < \infty \iff u, v \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu).$$
-
-3. If $f = u + iv \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$, we define
-
-	$$\int_E f \,d{\mu} = \int_E u \,d{\mu} + i\int_E v \,d{\mu}.$$
-
-**참고.**
-
-1. Linearity also holds for complex valued functions. For $f_1, f_2 \in \mathcal{L}^{1}(\mu)$ and $\alpha \in \mathbb{C}$,
-
-	$$\int_E \left( f_1 + \alpha f_2 \right) \,d{\mu} = \int_E f_1 \,d{\mu} +  \alpha \int_E f_2 \,d{\mu}.$$
-
-2. Choose $c \in \mathbb{C}$ and $\left\lvert  c \right\rvert  = 1$ such that $\displaystyle c \int_E f \,d{\mu} \geq 0$. This is possible since multiplying by $c$ is equivalent to a rotation.
-
-Now set $cf = u + vi$ where $u, v$ are real functions and the integral of $v$ over $E$ is $0$. Then,
-
-$$\begin{aligned}                      \left\lvert  \int_E f \,d{\mu} \right\rvert  & = c \int_E f\,d{\mu} = \int_E u \,d{\mu}              \\                                             & \leq \int_E (u^2+v^2)^{1/2} \,d{\mu}                 \\                                             & = \int_E \left\lvert  cf \right\rvert  \,d{\mu} = \int_E \left\lvert  f \right\rvert  \,d{\mu}.                  \end{aligned}$$
-
-## Functions of Class $\mathcal{L}^{p}$
-
-### $\mathcal{L}^p$ Space
-
-Assume that $(X, \mathscr{F}, \mu)$ is given and $X = E$.
-
-**정의.** ($\mathcal{L}^{p}$) A complex function $f$ is in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$ if $f$ is measurable and $\displaystyle\int_E \left\lvert  f \right\rvert ^p \,d{\mu} < \infty$.
-
-**정의.** ($\mathcal{L}^{p}$-norm) **$\mathcal{L}^{p}$-norm** of $f$ is defined as
-
-$$\left\lVert f \right\rVert_p = \left[\int_E \left\lvert  f \right\rvert ^p \,d{\mu} \right]^{1/p}.$$
-
-### Inequalities
-
-**정리.** (Young Inequality) For $a, b \geq 0$, if $p > 1$ and $1/p + 1/q = 1$, then
-
-$$ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.$$
-
-**증명.** From $1/p + 1/q = 1$, $p - 1 = \frac{1}{q - 1}$. The graph $y = x^{p - 1}$ is equal to the graph of $x = y^{q - 1}$. Sketch the graph on the $xy$-plane and consider the area bounded by $x = 0$, $x = a$, $y = 0$, $y = b$. Then we directly see that
-
-$$\int_0^a x^{p-1} \,d{x} + \int_0^b y^{q-1} \,d{y} \geq ab,$$
-
-with equality when $a^p = b^q$. Evaluating the integral gives the desired inequality.
-
-**참고.** For $\mathscr{F}$-measurable $f, g$ on $X$,
-
-$$\left\lvert  fg \right\rvert  \leq \frac{\left\lvert  f \right\rvert ^p}{p} + \frac{\left\lvert  g \right\rvert ^q}{q} \implies \left\lVert fg \right\rVert_1 \leq \frac{\left\lVert f \right\rVert_p^p}{p} + \frac{\left\lVert g \right\rVert_q^q}{q}$$
-
-by Young inequality. In particular, if $\left\lVert f \right\rVert_p = \left\lVert g \right\rVert_q = 1$, then $\left\lVert fg \right\rVert_1 \leq 1$.
-
-**정리.** (Hölder Inequality) Let $1 < p < \infty$ and $\displaystyle\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. If $f, g$ are measurable,
-
-$$\left\lVert fg \right\rVert_1 \leq \left\lVert f \right\rVert_p \left\lVert g \right\rVert_q.$$
-
-So if $f \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$ and $g \in \mathcal{L}^{q}(\mu)$, then $fg \in \mathcal{L}^{1}(\mu)$.
-
-**증명.** If $\left\lVert f \right\rVert_p = 0$ or $\left\lVert g \right\rVert_q = 0$ then $f = 0$ a.e. or $g = 0$ a.e. So $fg = 0$ a.e. and $\left\lVert fg \right\rVert_1 = 0$.
-
-Now suppose that $\left\lVert f \right\rVert_p > 0$ and $\left\lVert g \right\rVert_q > 0$. By the remark above, the result directly follows from
-
-$$\left\lVert \frac{f}{\left\lVert f \right\rVert_p} \cdot \frac{g}{\left\lVert g \right\rVert_q} \right\rVert_1 \leq 1.$$
-
-**정리.** (Minkowski Inequality) For $1 \leq p < \infty$, if $f, g$ are measurable, then
-
-$$\left\lVert f + g \right\rVert_p \leq \left\lVert f \right\rVert_p + \left\lVert g \right\rVert_p.$$
-
-**증명.** If $f, g \notin \mathcal{L}^{p}$, the right hand side is $\infty$ and we are done. For $p = 1$, the equality is equivalent to the triangle inequality. Also if $\left\lVert f + g \right\rVert_p = 0$, the inequality holds trivially. We suppose that $p > 1$, $f, g \in \mathcal{L}^p$ and $\left\lVert f+g \right\rVert_p > 0$.
-
-Let $q = \frac{p}{p-1}$. Since
-
-$$\begin{aligned}        \left\lvert  f + g \right\rvert ^p & = \left\lvert  f + g \right\rvert \cdot \left\lvert  f + g \right\rvert ^{p - 1}                \\                      & \leq \bigl(\left\lvert  f \right\rvert  + \left\lvert  g \right\rvert \bigr) \left\lvert  f + g \right\rvert ^{p-1},    \end{aligned}$$
-
-we have
-
-$$\begin{aligned}        \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p & \leq \int \left\lvert  f \right\rvert  \cdot \left\lvert  f+g \right\rvert ^{p-1} + \int \left\lvert  g \right\rvert  \cdot \left\lvert  f+g \right\rvert ^{p-1} \\                         & \leq \left( \int \left\lvert  f \right\rvert ^p  \right)^{1/p}\left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^{(p-1)q} \right)^{1/q}      \\                         & \quad + \left( \int \left\lvert  q \right\rvert ^p  \right)^{1/p}\left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^{(p-1)q} \right)^{1/q}   \\                         & = \left( \left\lVert f \right\rVert_p + \left\lVert g \right\rVert_p \right) \left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p \right)^{1/q}.    \end{aligned}$$
-
-Since $\left\lVert f + g \right\rVert_p^p > 0$, we have
-
-$$\begin{aligned}        \left\lVert f + g \right\rVert_p & = \left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p \right)^{1/p}             \\                       & = \left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p \right)^{1 - \frac{1}{q}} \\                       & \leq \left\lVert f \right\rVert_p + \left\lVert g \right\rVert_p.    \end{aligned}$$
-
-**정의.** $f \sim g \iff f = g$ $\mu$-a.e. and define
-
-$$[f] = \left\lbrace g : f \sim g\right\rbrace.$$
-
-We treat $[f]$ as an element in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$, and write $f = [f]$.
-
-**참고.**
-
-1. We write $\left\lVert f \right\rVert_p = 0 \iff f = [0] = 0$ in the sense that $f = 0$ $\mu$-a.e.
-
-2. Now $\lVert \cdot \rVert_p$ is a **norm** in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$ so $d(f, g) = \left\lVert f - g \right\rVert_p$ is a **metric** in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$.
-
-## Completeness of $\mathcal{L}^p$
-
-Now we have a *function space*, so we are interested in its *completeness*.
-
-**정의.** (Convergence in $\mathcal{L}^p$) Let $f, f_n \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$.
-
-1. $f_n \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^p(\mu) \iff \left\lVert f_n-f \right\rVert_p \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$.
-
-2. $\left( f_n \right)_{n=1}^\infty$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$ if and only if
-
-> $\forall \epsilon > 0$, $\exists\,N > 0$ such that $n, m \geq N \implies \left\lVert f_n-f_m \right\rVert_p < \epsilon$.
-
-**도움정리.** Let $\left( g_n \right)$ be a sequence of measurable functions. Then,
-
-$$\left\lVert \sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert  g_n \right\rvert  \right\rVert_p \leq \sum_{n=1}^{\infty} \left\lVert g_n \right\rVert_p.$$
-
-Thus, if $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left\lVert g_n \right\rVert_p < \infty$, then $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert  g_n \right\rvert  < \infty$ $\mu$-a.e. So $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} g_n < \infty$ $\mu$-a.e.
-
-**증명.** By monotone convergence theorem and Minkowski inequality,
-
-$$\begin{aligned}        \left\lVert \sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert  g_n \right\rvert  \right\rVert_p & = \lim_{m \rightarrow\infty} \left\lVert \sum_{n=1}^{m} \left\lvert  g_n \right\rvert  \right\rVert_p \\                                               & \leq \lim_{n \rightarrow\infty} \sum_{n=1}^{m} \left\lVert g_n \right\rVert_p    \\                                               & = \sum_{n=1}^{\infty} \left\lVert g_n \right\rVert_p < \infty.    \end{aligned}$$
-
-Thus $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert  g_n \right\rvert  < \infty$ $\mu$-a.e. and $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} g_n < \infty$ $\mu$-a.e. by absolute convergence.
-
-**정리.** (Fischer) Suppose $\left( f_n \right)$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$. Then there exists $f \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$ such that $f_n \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$.
-
-**증명.** We construct $\left( n_k \right)$ by the following procedure.
-
-$\exists\,n_1 \in \mathbb{N}$ such that $\left\lVert f_m - f_{n_1} \right\rVert_p < \frac{1}{2}$ for all $m \geq n_1$.
-
-$\exists\,n_2 \in \mathbb{N}$ such that $\left\lVert f_m - f_{n_2} \right\rVert_p < \frac{1}{2^2}$ for all $m \geq n_2$.
-
-Then, $\exists\,1 \leq n_1 < n_2 < \cdots < n_k$ such that $\left\lVert f_m - f_{n_k} \right\rVert_p < \frac{1}{2^k}$ for $m \geq n_k$.
-
-Since $\displaystyle\left\lVert f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \right\rVert_p < \frac{1}{2^k}$, we have
-
-$$\sum_{k=1}^{\infty} \left\lVert f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \right\rVert_p < \infty.$$
-
-By the above lemma, $\sum \left\lvert  f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \right\rvert$ and $\sum (f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ are finite. Let $f_{n_0} \equiv 0$. Then as $m \rightarrow\infty$,
-
-$$f_{n_{m+1}} = \sum_{k=0}^{m} \left( f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \right)$$
-
-converges $\mu$-a.e. Take $N \in \mathscr{F}$ with $\mu(N) = 0$ such that $f_{n_k}$ converges on $X \setminus N$. Let
-
-$$f(x) = \begin{cases}        \displaystyle\lim_{k \rightarrow\infty} f_{n_k} (x) & (x \in X \setminus N) \\ 0 & (x\in N)    \end{cases}$$
-
-then $f$ is measurable. Using the convergence,
-
-$$\begin{aligned}        \left\lVert f - f_{n_m} \right\rVert_p & = \left\lVert \sum_{k=m}^{\infty} \left( f_{n_{k+1}} (x) - f_{n_k}(x) \right) \right\rVert_p  \\                             & \leq \left\lVert \sum_{k=m}^{\infty} \left\lvert  f_{n_{k+1}} (x) - f_{n_k}(x) \right\rvert  \right\rVert_p \\                             & \leq \sum_{k=m}^{\infty} \left\lVert f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \right\rVert_p \leq 2^{-m}    \end{aligned}$$
-
-by the choice of $f_{n_k}$. So $f_{n_k} \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$. Also, $f = (f - f_{n_k}) + f_{n_k} \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$.
-
-Let $\epsilon > 0$ be given. Since $\left( f_n \right)$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}$, $\exists\,N \in \mathbb{N}$ such that for all $n, m \geq N$, $\left\lVert f_n - f_m \right\rVert < \frac{\epsilon}{2}$. Note that $n_k \geq k$, so $n_k \geq N$ if $k \geq N$. Choose $N_1 \geq N$ such that for $k \geq N$, $\left\lVert f - f_{n_k} \right\rVert_p < \frac{\epsilon}{2}$. Then for all $k \geq N_1$,
-
-$$\left\lVert f - f_k \right\rVert_p \leq \left\lVert f - f_{n_k} \right\rVert_p + \left\lVert f_{n_k} - f_k \right\rVert_p < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.$$
-
-**참고.** $\mathcal{L}^{p}$ is a complete normed vector space, also known as **Banach space**.
-
-**정리.** $C[a, b]$ is a dense subset of $\mathcal{L}^{p}[a, b]$. That is, for every $f \in \mathcal{L}^{p}[a, b]$ and $\epsilon > 0$, $\exists\,g \in C[a, b]$ such that $\left\lVert f - g \right\rVert_p < \epsilon$.
-
-**증명.** Let $A$ be a closed subset in $[a, b]$, and consider a distance function
-
-$$d(x, A) = \inf_{y\in A} \left\lvert  x - y \right\rvert , \quad x \in [a, b].$$
-
-Since $d(x, A) \leq \left\lvert  x - z \right\rvert  \leq \left\lvert  x - y \right\rvert  + \left\lvert  y - z \right\rvert$ for all $z \in A$, taking infimum over $z \in A$ gives $d(x, A) \leq \left\lvert  x - y \right\rvert  + d(y, A)$. So
-
-$$\left\lvert  d(x, A) - d(y, A) \right\rvert  \leq \left\lvert  x - y \right\rvert ,$$
-
-and $d(x, A)$ is continuous. If $d(x, A) = 0$, $\exists\,x_n \in A$ such that $\left\lvert  x_n - x \right\rvert  \rightarrow d(x, A) = 0$. Since $A$ is closed, $x \in A$. We know that $x \in A \iff d(x, A) = 0$.
-
-Let
-
-$$g_n(x) = \frac{1}{1 + n d(x, A)}.$$
-
-$g_n$ is continuous, $g_n(x) = 1$ if and only if $x \in A$. Also for all $x \in [a, b] \setminus A$, $g_n(x) \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$. By Lebesgue’s dominated convergence theorem,
-
-$$\begin{aligned}        \left\lVert g_n - \chi_A \right\rVert_p^p & = \int_A \left\lvert  g_n - \chi_A \right\rvert ^p \,d{x} + \int_{[a, b]\setminus A} \left\lvert  g_n - \chi_A \right\rvert ^p \,d{x} \\                                & = 0 + \int_{[a, b]\setminus A} \left\lvert  g_n \right\rvert ^p \,d{x} \rightarrow 0    \end{aligned}$$
-
-since $\left\lvert  g_n \right\rvert ^p \leq 1$. We have shown that characteristic functions of closed sets can be approximated by continuous functions in $\mathcal{L}^{p}[a, b]$.
-
-For every $A \in \mathfrak{M}(m)$, $\exists\,F_\text{closed} \subseteq A$ such that $m(A \setminus F) < \epsilon$. Since $\chi_A - \chi_F = \chi_{A \setminus F}$,
-
-$$\begin{aligned}        \int \left\lvert  \chi_A-\chi_F \right\rvert ^p \,d{x} & = \int \left\lvert  \chi_{A\setminus F} \right\rvert ^p \,d{x}             \\                                         & = \int_{A\setminus F} \,d{x} = m(A \setminus F) < \epsilon.    \end{aligned}$$
-
-Therefore, for every $A \in \mathfrak{M}$, $\exists\,g_n \in C[a, b]$ such that $\left\lVert g_n - \chi_A \right\rVert_p \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$. So characteristic functions of any measurable set can be approximated by continuous functions in $\mathcal{L}^{p}[a, b]$.
-
-Next, for any measurable simple function $f = \sum_{k=1}^{m}a_k \chi_{A_k}$, we can find $g_n^k \in C[a, b]$ so that
-
-$$\left\lVert f - \sum_{k=1}^{m} a_k g_n^k \right\rVert_p = \left\lVert \sum_{k=1}^{m}a_k \left( \chi_{A_k} - g_n^k \right) \right\rVert_p \rightarrow 0.$$
-
-Next for $f \in \mathcal{L}^{p}$ and $f \geq 0$, there exist simple functions $f_n \geq 0$ such that $f_n \nearrow f$ in $\mathcal{L}^{p}$. Finally, any $f \in \mathcal{L}^{p}$ can be written as $f = f^+ - f^-$, which completes the proof.
-
-이러한 확장을 몇 번 해보면 굉장히 routine합니다. $\chi_F$ for closed $F$ $\rightarrow$ $\chi_A$ for measurable $A$ $\rightarrow$ measurable simple $f$ $\rightarrow$ $0\leq f \in \mathcal{L}^{p} \rightarrow$ $f \in \mathcal{L}^{p}$ 와 같은 순서로 확장합니다.

_posts/Mathematics/coq/2023-07-08-rules-of-inference.md

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_posts/Mathematics/measure-theory/2023-07-31-Lp-functions.md

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+  - Mathematics
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+title: 09. $\mathcal{L}^p$ Functions
+date: 2023-07-31
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+
+![mt-09.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-09.png){: .w-50}
+
+## Integration on Complex Valued Function
+
+Let $(X, \mathscr{F}, \mu)$ be a measure space, and $E \in \mathscr{F}$.
+
+**정의.**
+
+1. A complex valued function $f = u + iv$, (where $u, v$ are real functions) is measurable if $u$ and $v$ are both measurable.
+
+2. For a complex function $f$,
+
+	$$f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu) \iff  \int _ E \left\lvert  f \right\rvert  \,d{\mu} < \infty \iff u, v \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu).$$
+
+3. If $f = u + iv \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$, we define
+
+	$$\int _ E f \,d{\mu} = \int _ E u \,d{\mu} + i\int _ E v \,d{\mu}.$$
+
+**참고.**
+
+1. Linearity also holds for complex valued functions. For $f _ 1, f _ 2 \in \mathcal{L}^{1}(\mu)$ and $\alpha \in \mathbb{C}$,
+
+	$$\int _ E \left( f _ 1 + \alpha f _ 2 \right) \,d{\mu} = \int _ E f _ 1 \,d{\mu} +  \alpha \int _ E f _ 2 \,d{\mu}.$$
+
+2. Choose $c \in \mathbb{C}$ and $\left\lvert  c \right\rvert  = 1$ such that $\displaystyle c \int _ E f \,d{\mu} \geq 0$. This is possible since multiplying by $c$ is equivalent to a rotation.
+
+Now set $cf = u + vi$ where $u, v$ are real functions and the integral of $v$ over $E$ is $0$. Then,
+
+$$\begin{aligned}                      \left\lvert  \int _ E f \,d{\mu} \right\rvert  & = c \int _ E f\,d{\mu} = \int _ E u \,d{\mu}              \\                                             & \leq \int _ E (u^2+v^2)^{1/2} \,d{\mu}                 \\                                             & = \int _ E \left\lvert  cf \right\rvert  \,d{\mu} = \int _ E \left\lvert  f \right\rvert  \,d{\mu}.                  \end{aligned}$$
+
+## Functions of Class $\mathcal{L}^{p}$
+
+### $\mathcal{L}^p$ Space
+
+Assume that $(X, \mathscr{F}, \mu)$ is given and $X = E$.
+
+**정의.** ($\mathcal{L}^{p}$) A complex function $f$ is in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$ if $f$ is measurable and $\displaystyle\int _ E \left\lvert  f \right\rvert ^p \,d{\mu} < \infty$.
+
+**정의.** ($\mathcal{L}^{p}$-norm) **$\mathcal{L}^{p}$-norm** of $f$ is defined as
+
+$$\left\lVert f \right\rVert _ p = \left[\int _ E \left\lvert  f \right\rvert ^p \,d{\mu} \right]^{1/p}.$$
+
+### Inequalities
+
+**정리.** (Young Inequality) For $a, b \geq 0$, if $p > 1$ and $1/p + 1/q = 1$, then
+
+$$ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.$$
+
+**증명.** From $1/p + 1/q = 1$, $p - 1 = \frac{1}{q - 1}$. The graph $y = x^{p - 1}$ is equal to the graph of $x = y^{q - 1}$. Sketch the graph on the $xy$-plane and consider the area bounded by $x = 0$, $x = a$, $y = 0$, $y = b$. Then we directly see that
+
+$$\int _ 0^a x^{p-1} \,d{x} + \int _ 0^b y^{q-1} \,d{y} \geq ab,$$
+
+with equality when $a^p = b^q$. Evaluating the integral gives the desired inequality.
+
+**참고.** For $\mathscr{F}$-measurable $f, g$ on $X$,
+
+$$\left\lvert  fg \right\rvert  \leq \frac{\left\lvert  f \right\rvert ^p}{p} + \frac{\left\lvert  g \right\rvert ^q}{q} \implies \left\lVert fg \right\rVert _ 1 \leq \frac{\left\lVert f \right\rVert _ p^p}{p} + \frac{\left\lVert g \right\rVert _ q^q}{q}$$
+
+by Young inequality. In particular, if $\left\lVert f \right\rVert _ p = \left\lVert g \right\rVert _ q = 1$, then $\left\lVert fg \right\rVert _ 1 \leq 1$.
+
+**정리.** (Hölder Inequality) Let $1 < p < \infty$ and $\displaystyle\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. If $f, g$ are measurable,
+
+$$\left\lVert fg \right\rVert _ 1 \leq \left\lVert f \right\rVert _ p \left\lVert g \right\rVert _ q.$$
+
+So if $f \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$ and $g \in \mathcal{L}^{q}(\mu)$, then $fg \in \mathcal{L}^{1}(\mu)$.
+
+**증명.** If $\left\lVert f \right\rVert _ p = 0$ or $\left\lVert g \right\rVert _ q = 0$ then $f = 0$ a.e. or $g = 0$ a.e. So $fg = 0$ a.e. and $\left\lVert fg \right\rVert _ 1 = 0$.
+
+Now suppose that $\left\lVert f \right\rVert _ p > 0$ and $\left\lVert g \right\rVert _ q > 0$. By the remark above, the result directly follows from
+
+$$\left\lVert \frac{f}{\left\lVert f \right\rVert _ p} \cdot \frac{g}{\left\lVert g \right\rVert _ q} \right\rVert _ 1 \leq 1.$$
+
+**정리.** (Minkowski Inequality) For $1 \leq p < \infty$, if $f, g$ are measurable, then
+
+$$\left\lVert f + g \right\rVert _ p \leq \left\lVert f \right\rVert _ p + \left\lVert g \right\rVert _ p.$$
+
+**증명.** If $f, g \notin \mathcal{L}^{p}$, the right hand side is $\infty$ and we are done. For $p = 1$, the equality is equivalent to the triangle inequality. Also if $\left\lVert f + g \right\rVert _ p = 0$, the inequality holds trivially. We suppose that $p > 1$, $f, g \in \mathcal{L}^p$ and $\left\lVert f+g \right\rVert _ p > 0$.
+
+Let $q = \frac{p}{p-1}$. Since
+
+$$\begin{aligned}        \left\lvert  f + g \right\rvert ^p & = \left\lvert  f + g \right\rvert \cdot \left\lvert  f + g \right\rvert ^{p - 1}                \\                      & \leq \bigl(\left\lvert  f \right\rvert  + \left\lvert  g \right\rvert \bigr) \left\lvert  f + g \right\rvert ^{p-1},    \end{aligned}$$
+
+we have
+
+$$\begin{aligned}        \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p & \leq \int \left\lvert  f \right\rvert  \cdot \left\lvert  f+g \right\rvert ^{p-1} + \int \left\lvert  g \right\rvert  \cdot \left\lvert  f+g \right\rvert ^{p-1} \\                         & \leq \left( \int \left\lvert  f \right\rvert ^p  \right)^{1/p}\left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^{(p-1)q} \right)^{1/q}      \\                         & \quad + \left( \int \left\lvert  q \right\rvert ^p  \right)^{1/p}\left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^{(p-1)q} \right)^{1/q}   \\                         & = \left( \left\lVert f \right\rVert _ p + \left\lVert g \right\rVert _ p \right) \left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p \right)^{1/q}.    \end{aligned}$$
+
+Since $\left\lVert f + g \right\rVert _ p^p > 0$, we have
+
+$$\begin{aligned}        \left\lVert f + g \right\rVert _ p & = \left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p \right)^{1/p}             \\                       & = \left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p \right)^{1 - \frac{1}{q}} \\                       & \leq \left\lVert f \right\rVert _ p + \left\lVert g \right\rVert _ p.    \end{aligned}$$
+
+**정의.** $f \sim g \iff f = g$ $\mu$-a.e. and define
+
+$$[f] = \left\lbrace g : f \sim g\right\rbrace.$$
+
+We treat $[f]$ as an element in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$, and write $f = [f]$.
+
+**참고.**
+
+1. We write $\left\lVert f \right\rVert _ p = 0 \iff f = [0] = 0$ in the sense that $f = 0$ $\mu$-a.e.
+
+2. Now $\lVert \cdot \rVert _ p$ is a **norm** in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$ so $d(f, g) = \left\lVert f - g \right\rVert _ p$ is a **metric** in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$.
+
+## Completeness of $\mathcal{L}^p$
+
+Now we have a *function space*, so we are interested in its *completeness*.
+
+**정의.** (Convergence in $\mathcal{L}^p$) Let $f, f _ n \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$.
+
+1. $f _ n \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^p(\mu) \iff \left\lVert f _ n-f \right\rVert _ p \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$.
+
+2. $\left( f _ n \right) _ {n=1}^\infty$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$ if and only if
+
+> $\forall \epsilon > 0$, $\exists\,N > 0$ such that $n, m \geq N \implies \left\lVert f _ n-f _ m \right\rVert _ p < \epsilon$.
+
+**도움정리.** Let $\left( g _ n \right)$ be a sequence of measurable functions. Then,
+
+$$\left\lVert \sum _ {n=1}^{\infty} \left\lvert  g _ n \right\rvert  \right\rVert _ p \leq \sum _ {n=1}^{\infty} \left\lVert g _ n \right\rVert _ p.$$
+
+Thus, if $\displaystyle\sum _ {n=1}^{\infty} \left\lVert g _ n \right\rVert _ p < \infty$, then $\displaystyle\sum _ {n=1}^{\infty} \left\lvert  g _ n \right\rvert  < \infty$ $\mu$-a.e. So $\displaystyle\sum _ {n=1}^{\infty} g _ n < \infty$ $\mu$-a.e.
+
+**증명.** By monotone convergence theorem and Minkowski inequality,
+
+$$\begin{aligned}        \left\lVert \sum _ {n=1}^{\infty} \left\lvert  g _ n \right\rvert  \right\rVert _ p & = \lim _ {m \rightarrow\infty} \left\lVert \sum _ {n=1}^{m} \left\lvert  g _ n \right\rvert  \right\rVert _ p \\                                               & \leq \lim _ {n \rightarrow\infty} \sum _ {n=1}^{m} \left\lVert g _ n \right\rVert _ p    \\                                               & = \sum _ {n=1}^{\infty} \left\lVert g _ n \right\rVert _ p < \infty.    \end{aligned}$$
+
+Thus $\displaystyle\sum _ {n=1}^{\infty} \left\lvert  g _ n \right\rvert  < \infty$ $\mu$-a.e. and $\displaystyle\sum _ {n=1}^{\infty} g _ n < \infty$ $\mu$-a.e. by absolute convergence.
+
+**정리.** (Fischer) Suppose $\left( f _ n \right)$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$. Then there exists $f \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$ such that $f _ n \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$.
+
+**증명.** We construct $\left( n _ k \right)$ by the following procedure.
+
+$\exists\,n _ 1 \in \mathbb{N}$ such that $\left\lVert f _ m - f _ {n _ 1} \right\rVert _ p < \frac{1}{2}$ for all $m \geq n _ 1$.
+
+$\exists\,n _ 2 \in \mathbb{N}$ such that $\left\lVert f _ m - f _ {n _ 2} \right\rVert _ p < \frac{1}{2^2}$ for all $m \geq n _ 2$.
+
+Then, $\exists\,1 \leq n _ 1 < n _ 2 < \cdots < n _ k$ such that $\left\lVert f _ m - f _ {n _ k} \right\rVert _ p < \frac{1}{2^k}$ for $m \geq n _ k$.
+
+Since $\displaystyle\left\lVert f _ {n _ {k+1}} - f _ {n _ k} \right\rVert _ p < \frac{1}{2^k}$, we have
+
+$$\sum _ {k=1}^{\infty} \left\lVert f _ {n _ {k+1}} - f _ {n _ k} \right\rVert _ p < \infty.$$
+
+By the above lemma, $\sum \left\lvert  f _ {n _ {k+1}} - f _ {n _ k} \right\rvert$ and $\sum (f _ {n _ {k+1}} - f _ {n _ k})$ are finite. Let $f _ {n _ 0} \equiv 0$. Then as $m \rightarrow\infty$,
+
+$$f _ {n _ {m+1}} = \sum _ {k=0}^{m} \left( f _ {n _ {k+1}} - f _ {n _ k} \right)$$
+
+converges $\mu$-a.e. Take $N \in \mathscr{F}$ with $\mu(N) = 0$ such that $f _ {n _ k}$ converges on $X \setminus N$. Let
+
+$$f(x) = \begin{cases}        \displaystyle\lim _ {k \rightarrow\infty} f _ {n _ k} (x) & (x \in X \setminus N) \\ 0 & (x\in N)    \end{cases}$$
+
+then $f$ is measurable. Using the convergence,
+
+$$\begin{aligned}        \left\lVert f - f _ {n _ m} \right\rVert _ p & = \left\lVert \sum _ {k=m}^{\infty} \left( f _ {n _ {k+1}} (x) - f _ {n _ k}(x) \right) \right\rVert _ p  \\                             & \leq \left\lVert \sum _ {k=m}^{\infty} \left\lvert  f _ {n _ {k+1}} (x) - f _ {n _ k}(x) \right\rvert  \right\rVert _ p \\                             & \leq \sum _ {k=m}^{\infty} \left\lVert f _ {n _ {k+1}} - f _ {n _ k} \right\rVert _ p \leq 2^{-m}    \end{aligned}$$
+
+by the choice of $f _ {n _ k}$. So $f _ {n _ k} \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$. Also, $f = (f - f _ {n _ k}) + f _ {n _ k} \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$.
+
+Let $\epsilon > 0$ be given. Since $\left( f _ n \right)$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}$, $\exists\,N \in \mathbb{N}$ such that for all $n, m \geq N$, $\left\lVert f _ n - f _ m \right\rVert < \frac{\epsilon}{2}$. Note that $n _ k \geq k$, so $n _ k \geq N$ if $k \geq N$. Choose $N _ 1 \geq N$ such that for $k \geq N$, $\left\lVert f - f _ {n _ k} \right\rVert _ p < \frac{\epsilon}{2}$. Then for all $k \geq N _ 1$,
+
+$$\left\lVert f - f _ k \right\rVert _ p \leq \left\lVert f - f _ {n _ k} \right\rVert _ p + \left\lVert f _ {n _ k} - f _ k \right\rVert _ p < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.$$
+
+**참고.** $\mathcal{L}^{p}$ is a complete normed vector space, also known as **Banach space**.
+
+**정리.** $C[a, b]$ is a dense subset of $\mathcal{L}^{p}[a, b]$. That is, for every $f \in \mathcal{L}^{p}[a, b]$ and $\epsilon > 0$, $\exists\,g \in C[a, b]$ such that $\left\lVert f - g \right\rVert _ p < \epsilon$.
+
+**증명.** Let $A$ be a closed subset in $[a, b]$, and consider a distance function
+
+$$d(x, A) = \inf _ {y\in A} \left\lvert  x - y \right\rvert , \quad x \in [a, b].$$
+
+Since $d(x, A) \leq \left\lvert  x - z \right\rvert  \leq \left\lvert  x - y \right\rvert  + \left\lvert  y - z \right\rvert$ for all $z \in A$, taking infimum over $z \in A$ gives $d(x, A) \leq \left\lvert  x - y \right\rvert  + d(y, A)$. So
+
+$$\left\lvert  d(x, A) - d(y, A) \right\rvert  \leq \left\lvert  x - y \right\rvert ,$$
+
+and $d(x, A)$ is continuous. If $d(x, A) = 0$, $\exists\,x _ n \in A$ such that $\left\lvert  x _ n - x \right\rvert  \rightarrow d(x, A) = 0$. Since $A$ is closed, $x \in A$. We know that $x \in A \iff d(x, A) = 0$.
+
+Let
+
+$$g _ n(x) = \frac{1}{1 + n d(x, A)}.$$
+
+$g _ n$ is continuous, $g _ n(x) = 1$ if and only if $x \in A$. Also for all $x \in [a, b] \setminus A$, $g _ n(x) \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$. By Lebesgue’s dominated convergence theorem,
+
+$$\begin{aligned}        \left\lVert g _ n - \chi _ A \right\rVert _ p^p & = \int _ A \left\lvert  g _ n - \chi _ A \right\rvert ^p \,d{x} + \int _ {[a, b]\setminus A} \left\lvert  g _ n - \chi _ A \right\rvert ^p \,d{x} \\                                & = 0 + \int _ {[a, b]\setminus A} \left\lvert  g _ n \right\rvert ^p \,d{x} \rightarrow 0    \end{aligned}$$
+
+since $\left\lvert  g _ n \right\rvert ^p \leq 1$. We have shown that characteristic functions of closed sets can be approximated by continuous functions in $\mathcal{L}^{p}[a, b]$.
+
+For every $A \in \mathfrak{M}(m)$, $\exists\,F _ \text{closed} \subseteq A$ such that $m(A \setminus F) < \epsilon$. Since $\chi _ A - \chi _ F = \chi _ {A \setminus F}$,
+
+$$\begin{aligned}        \int \left\lvert  \chi _ A-\chi _ F \right\rvert ^p \,d{x} & = \int \left\lvert  \chi _ {A\setminus F} \right\rvert ^p \,d{x}             \\                                         & = \int _ {A\setminus F} \,d{x} = m(A \setminus F) < \epsilon.    \end{aligned}$$
+
+Therefore, for every $A \in \mathfrak{M}$, $\exists\,g _ n \in C[a, b]$ such that $\left\lVert g _ n - \chi _ A \right\rVert _ p \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$. So characteristic functions of any measurable set can be approximated by continuous functions in $\mathcal{L}^{p}[a, b]$.
+
+Next, for any measurable simple function $f = \sum _ {k=1}^{m}a _ k \chi _ {A _ k}$, we can find $g _ n^k \in C[a, b]$ so that
+
+$$\left\lVert f - \sum _ {k=1}^{m} a _ k g _ n^k \right\rVert _ p = \left\lVert \sum _ {k=1}^{m}a _ k \left( \chi _ {A _ k} - g _ n^k \right) \right\rVert _ p \rightarrow 0.$$
+
+Next for $f \in \mathcal{L}^{p}$ and $f \geq 0$, there exist simple functions $f _ n \geq 0$ such that $f _ n \nearrow f$ in $\mathcal{L}^{p}$. Finally, any $f \in \mathcal{L}^{p}$ can be written as $f = f^+ - f^-$, which completes the proof.
+
+이러한 확장을 몇 번 해보면 굉장히 routine합니다. $\chi _ F$ for closed $F$ $\rightarrow$ $\chi _ A$ for measurable $A$ $\rightarrow$ measurable simple $f$ $\rightarrow$ $0\leq f \in \mathcal{L}^{p} \rightarrow$ $f \in \mathcal{L}^{p}$ 와 같은 순서로 확장합니다.

_posts/algorithms/boj/2023-11-02-random-ps-1.md

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   - Algorithms
   - BOJ
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   - data-structures

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_posts/development/web/2024-11-17-math-equations-in-markdown.md

@@ -0,0 +1,117 @@
+---
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+title: Math Equations in Markdown
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+---
+
+마크다운에서 수식을 사용하는 것은 **생각보다** 어렵다. 애초에 마크다운은 원래 수식을 지원하지 않는다. 그저 Github, Obsidian 등 다양한 플랫폼이 마크다운의 확장 형태로 수식 입력을 지원하고 있는 상황이다.
+
+이 블로그는 jekyll을 사용하기 때문에 모든 글이 마크다운으로 작성되어 있다. 수학을 좋아하는 나의 특성상 블로그 글에 수식을 입력할 일이 많은데, 어느 날 블로그에서 깨져있거나 잘못된 수식을 발견하고 마크다운에서 수식을 사용하는 것이 그리 간단치 않다는 것을 깨닫게 되었다.
+
+이 글에서는 마크다운에서 수식을 사용할 때 생기는 문제점과 이에 대한 해결책을 정리했다.
+
+## 문법의 충돌
+
+ 마크다운 엔진에 따라 구체적인 내용이 다를 수도 있지만, Kramdown의 경우 문법이 충돌하는 대표적인 예시는 다음과 같다.
+
+**`$$`는 `$`와 같다.** LaTeX 문법에서 `$$`는 *display mode*로, 한 줄 전체에 수식을 크게 출력하고, `$`는 *inline mode*로 텍스트 중간에 수식을 끼워넣을 때 사용한다. 그런데 Kramdown에서 display math를 사용하기 위해서는 `$$`를 반드시 **새로운 줄**에 입력해야 하고, 그렇지 않으면 `$$`가 inline math로 해석된다.
+
+이는 기존 마크다운에서 `$` 기호가 이미 널리 사용되었을 것을 고려하여 이러한 결정을 내린 것으로 보인다. ([Github Issue](https://github.com/gettalong/kramdown/issues/672)) 그렇다고 `$`가 아예 지원이 되지 않는 것은 아니다.
+
+위 차이가 조금 크게 느껴지고, 이외의 내용은 다음과 같다.
+
+- 절댓값 기호 `| ... |`는 마크다운 테이블로 먼저 해석된다.
+- `\{`와 `\}`는 `\\{`, `\\}`로 escape 해줘야 한다.
+- 아래 첨자를 위한 `_`, 또는 기호 `*`를 그냥 사용하면 마크다운의 기울임 표시와 충돌할 수 있다.
+
+![broken-math-equations.png](../../../assets/img/posts/development/web/broken-math-equations.png)
+
+## 해결 방법
+
+### Display Math
+
+우선 이 문제의 경우, 애초에 문서를 작성할 때 조심하는 것이 권장된다. `$$`를 사용한다면 애초에 새로운 줄에 수식을 입력하려는 것이기 때문에 이 수식을 위해 새로운 줄에 `$$`를 입력하면 된다.
+
+만약 이미 작성된 문서를 고치고 싶다면, 다음 정규식을 사용하면 된다.
+
+```
+(^|[^\$])\$\$([^\$]+)\$\$([^\$]|$)
+```
+
+문서에 존재하는 `$$ ... $$` 형태를 잡아줄 것이다. Replace 기능을 적절히 이용하면 `$$` 앞 뒤에 newline character `\n` 을 넣을 수 있다.
+
+개인적으로는 Obsidian의 Markdown Linter 플러그인을 이용하여 `$$`를 사용한 수식 앞 뒤에 newline character를 강제로 넣어주도록 하고 있다. 그렇지만 이미 새로운 줄에 입력하는게 습관이 되었다.
+
+### 절댓값, 중괄호 기호
+
+이 기호들은 키보드에 존재하는 `|`, `{}` 키가 아닌 LaTeX 문법을 사용해서
+
+- 절댓값 기호 `| ... |`는 `\lvert ... \rvert`로,
+- Norm 기호 `|| ... ||` 는 `\lVert ... \rVert`로,
+- 중괄호 `{ ... }`는 `\lbrace \rbrace`로
+
+입력해야 한다. 앞뒤에 `\left`, `\right` 붙이면 크기 조절도 알아서 된다.
+
+그러나 저 기호들을 매번 입력하는 일은 정말 귀찮은 일이다. 따라서 매크로를 사용하는 것이 좋아 보인다. 게다가 매크로를 사용하면 `\{`를 별도로 escaping하지 않아도 사용할 수 있다.
+
+```tex
+\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
+\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
+\newcommand{\braces}[1]{\left\{ #1 \right\}}
+```
+
+### 기울임체 충돌
+
+개인적으로 이 문제가 가장 골치아팠다. 어떤 경우에는 문제가 되지 않다가, 또 어떤 경우에는 문제가 된다. `_`를 사용해도 멀쩡하게 보이는 수식이 있는가 하면, 완전히 깨져버리는 수식도 있다. 조금 찾아보니 나만 이런 문제를 겪은 것이 아니었다.
+
+문제의 원인은 마크다운으로 쓴 글을 html로 변환할 때 `_` 사이에 있는 텍스트가 기울임체로 먼저 해석되고, 수식은 그 이후에 처리되기 때문이었다. 그러다보니 수식 내부의 `_`가 다른 문자열로 치환되어 버리면서 (기울임을 나타내는 html 태그 `<em>`) 수식이 깨지는 현상이 발생한 것이다.
+
+가장 간단한 해결 방법은 `_`를 escaping 하는 것이다. 그러면 마크다운 변환기가 이를 기울임체 표시로 해석하지 않는다. 다만 `\_`와 같이 하게 되면 Obsidian에서는 수식이 제대로 렌더링 되지 않게 되는데, 아마 다른 툴들도 비슷한 문제가 있을 것으로 예상된다.
+
+진짜 해결 방법은 혼자서 삽질을 하다가 알아내게 되었는데, **`_` 앞 뒤로 공백을 추가하면 기울임체로 표시되지 않는다는 사실을 발견**했다. 이 사실이 신기해서 알려진 바가 있는지 찾아봤는데, 이 내용이 마크다운 문법에 실제로 있었다.
+
+> But if you surround an `*` or `_` with spaces, it’ll be treated as a literal asterisk or underscore.
+
+- 출처: John Grubber's original [Markdown syntax description](https://daringfireball.net/projects/markdown/syntax#em)
+- 공식: https://spec.commonmark.org/0.31.2/#emphasis-and-strong-emphasis
+
+그런데 이 문제는 확정적으로 발생하지 않을 수도 있기 때문에, 모든 `_` 앞 뒤로 공백을 추가하면 된다. 어차피 수식은 공백을 무시해 버리기 때문에 수식에는 영향이 없다.[^1]
+
+한편, 이 작업은 매우 귀찮은 일이기 때문에, 자동화된 방법이 필요해 보인다. 수식에서 아래 첨자를 쓸 일은 굉장히 빈번하기 때문에 매번 손수 `_` 앞 뒤에 공백을 추가하기는 힘들다.
+
+이를 위해서는 또 다시 정규식을 사용하면 된다. 내가 직접 만들어 보려고 하다가 결국에는 [StackOverflow에 질문](https://stackoverflow.com/questions/79183172/regex-to-add-spaces-around-all-underscores-in-math-equations?noredirect=1#comment139629564_79183172)하게 되었다.
+
+아무튼 사용할 정규식은 다음과 같다.
+
+```
+(?<=\$\S[^$]*)\s?_\s?(?=[^$]*\S\$)
+```
+
+자세한 설명은 생략한다... 이 정규식이 잡아낸 `_`를 전부 `\s_\s`로 고쳐주면 끝이다.
+
+개인적으로는 Obsidian에서 블로그 repository로 push할 때 text replacement 기능을 이용해서 자동으로 고쳐지도록 세팅해 두었다.[^2]
+
+## 후기
+
+애초에 마크다운에 수식을 쓰려고 하는 것과, jekyll 블로그에 이를 업로드 하려는 생각 자체가 잘못된 것일 수도 있다. 다른 툴을 썼다면 이런 고생을 하지 않아도 됐을지도 모른다. 실제로 digital garden 같은 툴 중에서 수식을 잘 지원하는 경우도 있다.[^3] 하지만 내가 Obsidian을 포기할 수 없었고, 지금 사용하고 있는 chirpy theme이 너무 마음에 들었기 때문에 이 조합을 포기할 수 없었다.
+
+현대 암호학 개론 수업 내용을 정리한 노트에서 깨진 수식이 대량으로 발생해서, 그동안 방치해두고 있었는데 이번에 칼을 뽑아서 **1년 넘게 묵혀둔 문제를 드디어 해결**했다. 앞으로는 이런 문제가 안 생겼으면 좋겠다.
+
+[^1]: 여기까지 23년 7월 26일에 알아낸 내용이다.
+[^2]: 24년 11월 13일에 작업한 내용이다.
+[^3]: Obsidian의 경우 Quartz가 대세인 듯 하다.

_posts/lecture-notes/internet-security/2023-10-04-modular-arithmetic-2.md

@@ -90,7 +90,7 @@ For even better (maybe faster) results, we need the help of elementary number th
 > a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.
 > $$
 
-*Proof*. (Using group theory) The statement can be rewritten as follows. For $a \neq 0$ in $\mathbb{Z}_p$, $a^{p-1} = 1$ in $\mathbb{Z}_p$. Since $\mathbb{Z}_p^*$ is a (multiplicative) group of order $p-1$, the order of $a$ should divide $p-1$. Therefore, $a^{p-1} = 1$ in $\mathbb{Z}_p$.
+*Proof*. (Using group theory) The statement can be rewritten as follows. For $a \neq 0$ in $\mathbb{Z} _ p$, $a^{p-1} = 1$ in $\mathbb{Z} _ p$. Since $\mathbb{Z} _ p^\ast$ is a (multiplicative) group of order $p-1$, the order of $a$ should divide $p-1$. Therefore, $a^{p-1} = 1$ in $\mathbb{Z} _ p$.
 
 Here is an elementary proof not using group theory.
 
@@ -139,23 +139,23 @@ $$
 
 We also often use the **reduced set of residues**.
 
-> **Definition.** The **reduced set of residues** is the set of residues that are relatively prime to $n$. We denote this set as $\mathbb{Z}_n^*$.
+> **Definition.** The **reduced set of residues** is the set of residues that are relatively prime to $n$. We denote this set as $\mathbb{Z} _ n^\ast$.
 >
 > $$
-> \mathbb{Z}_n^* = \left\lbrace a \in \mathbb{Z}_n \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace : \gcd(a, n) = 1 \right\rbrace.
+> \mathbb{Z} _ n^\ast = \left\lbrace a \in \mathbb{Z} _ n \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace : \gcd(a, n) = 1 \right\rbrace.
 > $$
 
 Then by definition, we have the following result.
 
-> **Lemma.** $\left\lvert \mathbb{Z}_n^* \right\lvert = \phi(n)$.
+> **Lemma.** $\left\lvert \mathbb{Z} _ n^\ast \right\lvert = \phi(n)$.
 
-We can also show that $\mathbb{Z}_n^*$ is a multiplicative group.
+We can also show that $\mathbb{Z} _ n^\ast$ is a multiplicative group.
 
-> **Lemma.** $\mathbb{Z}_n^*$ is a multiplicative group.
+> **Lemma.** $\mathbb{Z} _ n^\ast$ is a multiplicative group.
 
-*Proof*. Let $a, b \in \mathbb{Z}_n^{ * }$. We must check if $ab \in \mathbb{Z}_n^{ * }$. Since $\gcd(a, n) = \gcd(b, n) = 1$, $\gcd(ab, n) = 1$. This is because if $d = \gcd(ab, n) > 1$, then a prime factor $p$ of $d$ must divide $a$ or $b$ and also $n$. Then $\gcd(a, n) \geq p$ or $\gcd(b, n) \geq p$, which is a contradiction. Thus $ab \in \mathbb{Z}_n^{ * }$.
+*Proof*. Let $a, b \in \mathbb{Z} _ n^\ast$. We must check if $ab \in \mathbb{Z} _ n^\ast$. Since $\gcd(a, n) = \gcd(b, n) = 1$, $\gcd(ab, n) = 1$. This is because if $d = \gcd(ab, n) > 1$, then a prime factor $p$ of $d$ must divide $a$ or $b$ and also $n$. Then $\gcd(a, n) \geq p$ or $\gcd(b, n) \geq p$, which is a contradiction. Thus $ab \in \mathbb{Z} _ n^\ast$.
 
-Associativity holds trivially, as a subset of $\mathbb{Z}_n$. We also have an identity element $1$, and inverse of $a \in \mathbb{Z}_n^*$ exists since $\gcd(a, n) = 1$.
+Associativity holds trivially, as a subset of $\mathbb{Z} _ n$. We also have an identity element $1$, and inverse of $a \in \mathbb{Z} _ n^\ast$ exists since $\gcd(a, n) = 1$.
 
 Now we can prove Euler's generalization.
 
@@ -167,13 +167,13 @@ Now we can prove Euler's generalization.
 > a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n.
 > $$
 
-*Proof*. Since $\gcd(a, n) = 1$, $a \in \mathbb{Z}_n^{ * }$. Then $a^{\left\lvert \mathbb{Z}_n^{ * } \right\lvert} = 1$ in $\mathbb{Z}_n$. By the above lemma, we have the desired result.
+*Proof*. Since $\gcd(a, n) = 1$, $a \in \mathbb{Z} _ n^\ast$. Then $a^{\left\lvert \mathbb{Z} _ n^\ast \right\lvert} = 1$ in $\mathbb{Z} _ n$. By the above lemma, we have the desired result.
 
-*Proof*. (Elementary) Set $f : \mathbb{Z}_n^* \rightarrow \mathbb{Z}_n^*$ as $x \mapsto ax \bmod n$, then the rest of the reasoning follows similarly as in the proof of Fermat's little theorem.
+*Proof*. (Elementary) Set $f : \mathbb{Z} _ n^\ast \rightarrow \mathbb{Z} _ n^\ast$ as $x \mapsto ax \bmod n$, then the rest of the reasoning follows similarly as in the proof of Fermat's little theorem.
 
 Using the above result, we remark an important result that will be used in RSA.
 
-> **Lemma.** Let $n \in \mathbb{N}$. For $a, b \in \mathbb{Z}$ and $x \in \mathbb{Z}_n^*$, if $a \equiv b \pmod{\phi(n)}$, then $x^a \equiv x^b \pmod n$.
+> **Lemma.** Let $n \in \mathbb{N}$. For $a, b \in \mathbb{Z}$ and $x \in \mathbb{Z} _ n^\ast$, if $a \equiv b \pmod{\phi(n)}$, then $x^a \equiv x^b \pmod n$.
 
 *Proof*. $a = b + k\phi(n)$ for some $k \in \mathbb{Z}$. Then
 
@@ -192,7 +192,7 @@ by Euler's generalization.
 > - $(\mathsf{G3})$ $G$ has an **identity** element $e$ such that $e * a = a * e = a$ for all $a \in G$.
 > - $(\mathsf{G4})$ There is an **inverse** for every element of $G$. For each $a \in G$, there exists $x \in G$ such that $a * x = x * a = e$. We write $x = a^{-1}$ in this case.
 
-$\mathbb{Z}_n$ is an additive group, and $\mathbb{Z}_n^*$ is a multiplicative group.
+$\mathbb{Z} _ n$ is an additive group, and $\mathbb{Z} _ n^\ast$ is a multiplicative group.
 
 ## Chinese Remainder Theorem (CRT)
 

_posts/lecture-notes/internet-security/2023-10-04-rsa-elgamal.md

@@ -138,7 +138,7 @@ So we don't actually need Euler's generalization for proving the correctness of
 
 This is an inverse problem of exponentiation. The inverse of exponentials is logarithms, so we consider the **discrete logarithm of a number modulo $p$**.
 
-Given $y \equiv g^x \pmod p$ for some prime $p$, we want to find $x = \log_g y$. We set $g$ to be a generator of the group $\mathbb{Z}_p$ or $\mathbb{Z}_p^*$, since if $g$ is the generator, a solution always exists.
+Given $y \equiv g^x \pmod p$ for some prime $p$, we want to find $x = \log _ g y$. We set $g$ to be a generator of the group $\mathbb{Z} _ p$ or $\mathbb{Z} _ p^\ast$, since if $g$ is the generator, a solution always exists.
 
 Read more in [discrete logarithm problem (Modern Cryptography)](../../modern-cryptography/2023-10-03-key-exchange/#discrete-logarithm-problem-(dl)).
 
@@ -147,27 +147,27 @@ Read more in [discrete logarithm problem (Modern Cryptography)](../../modern-cry
 This is an encryption scheme built upon the hardness of the DLP.
 
 > 1. Let $p$ be a large prime.
-> 2. Select a generator $g \in \mathbb{Z}_p^*$.
-> 3. Choose a private key $x \in \mathbb{Z}_p^*$.
+> 2. Select a generator $g \in \mathbb{Z} _ p^\ast$.
+> 3. Choose a private key $x \in \mathbb{Z} _ p^\ast$.
 > 4. Compute the public key $y = g^x \pmod p$.
 > 	- $p, g, y$ will be publicly known.
 > 	- $x$ is kept secret.
 
 ### ElGamal Encryption and Decryption
 
-Suppose we encrypt a message $m \in \mathbb{Z}_p^*$.
+Suppose we encrypt a message $m \in \mathbb{Z} _ p^\ast$.
 
-> 1. The sender chooses a random $k \in \mathbb{Z}_p^*$, called *ephemeral key*.
+> 1. The sender chooses a random $k \in \mathbb{Z} _ p^\ast$, called *ephemeral key*.
 > 2. Compute $c _ 1 = g^k \pmod p$ and $c _ 2 = my^k \pmod p$.
 > 3. $c _ 1, c _ 2$ are sent to the receiver.
-> 4. The receiver calculates $c_1^x \equiv g^{xk} \equiv y^k \pmod p$, and find the inverse $y^{-k} \in \mathbb{Z}_p^*$.
+> 4. The receiver calculates $c _ 1^x \equiv g^{xk} \equiv y^k \pmod p$, and find the inverse $y^{-k} \in \mathbb{Z} _ p^\ast$.
 > 5. Then $c _ 2y^{-k} \equiv m \pmod p$, recovering the message.
 
 The attacker will see $g^k$. By the hardness of DLP, the attacker is unable to recover $k$ even if he knows $g$.
 
 #### Ephemeral Key Should Be Distinct
 
-If the same $k$ is used twice, the encryption is not secure. Suppose we encrypt two different messages $m_1, m_2 \in \mathbb{Z} _ p^{ * }$. The attacker will see $(g^k, m_1y^k)$ and $(g^k, m_2 y^k)$. Then since we are in a multiplicative group $\mathbb{Z} _ p^{ * }$, inverses exist. So
+If the same $k$ is used twice, the encryption is not secure. Suppose we encrypt two different messages $m _ 1, m _ 2 \in \mathbb{Z} _ p^\ast$. The attacker will see $(g^k, m _ 1y^k)$ and $(g^k, m _ 2 y^k)$. Then since we are in a multiplicative group $\mathbb{Z} _ p^\ast$, inverses exist. So
 
 $$
 m _ 1y^k \cdot (m _ 2 y^k)^{-1} \equiv m _ 1m _ 2^{-1} \equiv 1 \pmod p

_posts/lecture-notes/internet-security/2023-10-09-public-key-cryptography.md

@@ -15,7 +15,7 @@ date: 2023-10-09
 github_title: 2023-10-09-public-key-cryptography
 ---
 
-In symmetric key cryptography, we have a problem with key sharing and management. More info in the first few paragraphs of [Key Exchange (Modern Cryptography)](../../modern-cryptography/2023-10-03-key-exchange).
+In symmetric key cryptography, we have a problem with key sharing and management. More info in the first few paragraphs of [Key Exchange (Modern Cryptography)](../../modern-cryptography/2023-10-03-key-exchange/).
 
 ## Public Key Cryptography
 
@@ -80,10 +80,10 @@ But a problem still remains. How does one verify that this key is indeed from th
 
 ## Diffie-Hellman Key Exchange
 
-Choose a large prime $p$ and a generator $g$ of $\mathbb{Z}_p^{ * }$. The description of $g$ and $p$ will be known to the public.
+Choose a large prime $p$ and a generator $g$ of $\mathbb{Z} _ p^\ast$. The description of $g$ and $p$ will be known to the public.
 
-> 1. Alice chooses some $x \in \mathbb{Z}_p^{ * }$ and sends $g^x \bmod p$ to Bob.
-> 2. Bob chooses some $y \in \mathbb{Z}_p^{ * }$ and sends $g^y \bmod p$ to Alice.
+> 1. Alice chooses some $x \in \mathbb{Z} _ p^\ast$ and sends $g^x \bmod p$ to Bob.
+> 2. Bob chooses some $y \in \mathbb{Z} _ p^\ast$ and sends $g^y \bmod p$ to Alice.
 > 3. Alice and Bob calculate $g^{xy} \bmod p$ separately.
 > 4. Eve can see $g^x \bmod p$, $g^y \bmod p$ but cannot calculate $g^{xy} \bmod p$.
 

_posts/lecture-notes/modern-cryptography/2023-09-19-symmetric-key-encryption.md

@@ -13,6 +13,8 @@ tags:
 title: 3. Symmetric Key Encryption
 date: 2023-09-19
 github_title: 2023-09-19-symmetric-key-encryption
+attachment:
+  folder: assets/img/posts/lecture-notes/internet-security
 ---
 
 ## CPA Security

_posts/lecture-notes/modern-cryptography/2023-09-26-cca-security-authenticated-encryption.md

@@ -37,9 +37,9 @@ Now we define a stronger notion of security against **chosen ciphertext attacks*
 > 	- *Encryption*: Send $m _ i$ and receive $c' _ i = E(k, m _ i)$.
 > 	- *Decryption*: Send $c _ i$ and receive $m' _ i = D(k, c _ i)$.
 > 	- Note that $\mathcal{A}$ is not allowed to make a decryption query for any $c _ i'$.
-> 3. $\mathcal{A}$ outputs a pair of messages $(m_0^ * , m_1^*)$.
-> 4. The challenger generates $c^* \leftarrow E(k, m_b^*)$ and gives it to $\mathcal{A}$.
-> 5. $\mathcal{A}$ is allowed to keep making queries, but not allowed to make a decryption query for $c^*$.
+> 3. $\mathcal{A}$ outputs a pair of messages $(m _ 0^\ast , m _ 1^\ast)$.
+> 4. The challenger generates $c^\ast \leftarrow E(k, m _ b^\ast)$ and gives it to $\mathcal{A}$.
+> 5. $\mathcal{A}$ is allowed to keep making queries, but not allowed to make a decryption query for $c^\ast$.
 > 6. The adversary computes and outputs a bit $b' \in \left\lbrace 0, 1 \right\rbrace$.
 > 
 > Let $W _ b$ be the event that $\mathcal{A}$ outputs $1$ in experiment $b$. Then the **CCA advantage with respect to $\mathcal{E}$** is defined as
@@ -54,7 +54,7 @@ Now we define a stronger notion of security against **chosen ciphertext attacks*
 
 None of the encryption schemes already seen thus far is CCA secure.
 
-Recall a [CPA secure construction from PRF](../2023-09-19-symmetric-key-encryption/#secure-construction-from-prf). This scheme is not CCA secure. Suppose that the adversary is given $c^* = (r, F(k, r) \oplus m_b)$. Then it can request a decryption for $c' = (r, s')$ for some $s'$ and receive $m' = s' \oplus F(k, r)$. Then $F(k, r) = m' \oplus s'$, so the adversary can successfully recover $m_b$.
+Recall a [CPA secure construction from PRF](../2023-09-19-symmetric-key-encryption/#secure-construction-from-prf). This scheme is not CCA secure. Suppose that the adversary is given $c^\ast = (r, F(k, r) \oplus m _ b)$. Then it can request a decryption for $c' = (r, s')$ for some $s'$ and receive $m' = s' \oplus F(k, r)$. Then $F(k, r) = m' \oplus s'$, so the adversary can successfully recover $m _ b$.
 
 In general, any encryption scheme that allows ciphertexts to be *manipulated* in a controlled way cannot be CCA secure.
 
@@ -68,12 +68,12 @@ An adversary at destination 25 wants to receive the message sent to destination
 
 Suppose we used CBC mode encryption. Then the first block of the ciphertext would contain the IV, the next block would contain $E(k, \mathrm{IV} \oplus m _ 0)$.
 
-The adversary can generate a new ciphertext $c'$ without knowing the actual key. Set the new IV as $\mathrm{IV}' =\mathrm{IV} \oplus m^ *$ where $m^ *$ contains a payload that can change $\texttt{80}$ to $\texttt{25}$. (This can be calculated)
+The adversary can generate a new ciphertext $c'$ without knowing the actual key. Set the new IV as $\mathrm{IV}' =\mathrm{IV} \oplus m^\ast$ where $m^\ast$ contains a payload that can change $\texttt{80}$ to $\texttt{25}$. (This can be calculated)
 
 Then the decryption works as normal,
 
 $$
-D(k, c_0) \oplus \mathrm{IV}' = (m_0 \oplus \mathrm{IV}) \oplus \mathrm{IV}' = m_0 \oplus m^*.
+D(k, c _ 0) \oplus \mathrm{IV}' = (m _ 0 \oplus \mathrm{IV}) \oplus \mathrm{IV}' = m _ 0 \oplus m^\ast.
 $$
 
 The destination of the original message has been changed, even though the adversary had no information of the key.

_posts/lecture-notes/modern-cryptography/2023-10-03-key-exchange.md

@@ -65,12 +65,12 @@ To implement the above protocol, we need two functions $E$ and $F$ that satisfy
 
 Let $p$ be a large prime, and let $q$ be another large prime dividing $p - 1$. We typically use very large random primes, $p$ is about $2048$ bits long, and $q$ is about $256$ bits long.
 
-All arithmetic will be done in $\mathbb{Z}_p$. We also consider $\mathbb{Z} _ p^ *$ , the **unit group** of $\mathbb{Z} _ p$. Since $\mathbb{Z} _ p$ is a field, $\mathbb{Z} _ p^ * = \mathbb{Z} _ p \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$, meaning that $\mathbb{Z} _ p^ *$ has order $p-1$.
+All arithmetic will be done in $\mathbb{Z} _ p$. We also consider $\mathbb{Z} _ p^\ast$ , the **unit group** of $\mathbb{Z} _ p$. Since $\mathbb{Z} _ p$ is a field, $\mathbb{Z} _ p^\ast = \mathbb{Z} _ p \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$, meaning that $\mathbb{Z} _ p^\ast$ has order $p-1$.
 
-Since $q$ is a prime dividing $p - 1$, $\mathbb{Z}_p^*$ has an element $g$ of order $q$.[^1] Let
+Since $q$ is a prime dividing $p - 1$, $\mathbb{Z} _ p^\ast$ has an element $g$ of order $q$.[^1] Let
 
 $$
-G = \left\langle g \right\rangle = \left\lbrace 1, g, g^2, \dots, g^{q-1} \right\rbrace \leq \mathbb{Z}_p^*.
+G = \left\langle g \right\rangle = \left\lbrace 1, g, g^2, \dots, g^{q-1} \right\rbrace \leq \mathbb{Z} _ p^\ast.
 $$
 
 We assume that the description of $p$, $q$ and $g$ are generated at the setup and shared by all parties. Now the actual protocol goes like this.
@@ -100,7 +100,7 @@ We have used $E(x) = g^x$ in the above implementation. This function is called t
 
 We required that $E$ must be a one-way function for the protocol to work. So it must be hard to compute the discrete logarithm function. There are some problems related to the discrete logarithm, which are used as assumptions in the security proof. They are formalized as a security game, as usual.
 
-$G = \left\langle g \right\rangle \leq \mathbb{Z} _ p^{ * }$ will be a *cyclic group* of order $q$ and $g$ is given as a generator. Note that $g$ and $q$ are also given to the adversary.
+$G = \left\langle g \right\rangle \leq \mathbb{Z} _ p^\ast$ will be a *cyclic group* of order $q$ and $g$ is given as a generator. Note that $g$ and $q$ are also given to the adversary.
 
 ### Discrete Logarithm Problem (DL)
 
@@ -241,5 +241,5 @@ It is unknown whether we can get a better gap (than quadratic) using a general s
 
 To get exponential gaps, we need number theory.
 
-[^1]: By Cauchy's theorem, or use the fact that $\mathbb{Z}_p^*$ is commutative. Finite commutative groups have a subgroup of every order that divides the order of the group.
+[^1]: By Cauchy's theorem, or use the fact that $\mathbb{Z} _ p^\ast$ is commutative. Finite commutative groups have a subgroup of every order that divides the order of the group.
 [^2]: R. Impagliazzo and S. Rudich. Limits on the provable consequences of one-way permutations. In Proceedings of the Symposium on Theory of Computing (STOC), pages 44–61, 1989.

_posts/lecture-notes/modern-cryptography/2023-10-19-public-key-encryption.md

@@ -14,9 +14,9 @@ title: 9. Public Key Encryption
 date: 2023-10-19
 github_title: 2023-10-19-public-key-encryption
 image:
-  path: assets/img/posts/Lecture Notes/Modern Cryptography/mc-09-ss-pke.png
+  path: assets/img/posts/lecture-notes/modern-cryptography/mc-09-ss-pke.png
 attachment:
-  folder: assets/img/posts/Lecture Notes/Modern Cryptography
+  folder: assets/img/posts/lecture-notes/modern-cryptography
 ---
 
 In symmetric encryption, we assumed that the two parties had a shared key in advance. If the two parties do not have a shared key, **public-key encryption** can be used to encrypt messages.
@@ -45,7 +45,7 @@ Public key $pk$ will be publicized. After Alice obtains $pk$, she can use it to
 
 The following notion of security is only for an eavesdropping adversary.
 
-![mc-09-ss-pke.png](../../../assets/img/posts/Lecture%20Notes/Modern%20Cryptography/mc-09-ss-pke.png)
+![mc-09-ss-pke.png](../../../assets/img/posts/lecture-notes/modern-cryptography/mc-09-ss-pke.png)
 
 > **Definition.** Let $\mc{E} = (G, E, D)$ be a public key encryption scheme defined over $(\mc{M}, \mc{C})$. For an adversary $\mc{A}$, we define two experiments.
 >
@@ -151,9 +151,9 @@ We also define CCA security for public key encryption, which models a wide spect
 > 	- *Encryption*: Send $(m _ {i _ ,0}, m _ {i, 1})$ and receive $c' _ i \la E(pk, m _ {i, b})$.
 > 	- *Decryption*: Send $c _ i$ and receive $m' _ i \la D(sk, c _ i)$.
 > 	- Note that $\mc{A}$ is not allowed to make a decryption query for any $c _ i'$.
-> 3. $\mc{A}$ outputs a pair of messages $(m_0^ * , m_1^*)$.
-> 4. The challenger generates $c^* \la E(pk, m_b^*)$ and gives it to $\mc{A}$.
-> 5. $\mc{A}$ is allowed to keep making queries, but not allowed to make a decryption query for $c^*$.
+> 3. $\mc{A}$ outputs a pair of messages $(m _ 0^\ast , m _ 1^\ast)$.
+> 4. The challenger generates $c^\ast \la E(pk, m _ b^\ast)$ and gives it to $\mc{A}$.
+> 5. $\mc{A}$ is allowed to keep making queries, but not allowed to make a decryption query for $c^\ast$.
 > 6. The adversary computes and outputs a bit $b' \in \left\lbrace 0, 1 \right\rbrace$.
 >
 > Let $W _ b$ be the event that $\mc{A}$ outputs $1$ in experiment $b$. Then the **CCA advantage with respect to $\mc{E}$** is defined as

_posts/lecture-notes/modern-cryptography/2023-10-26-digital-signatures.md

@@ -25,7 +25,7 @@ attachment:
 >
 > - A probabilistic algorithm $G$ outputs a pair $(pk, sk)$, where $sk$ is called a secret **signing key**, and $pk$ is a public **verification key**.
 > - Given $sk$ and a message $m$, a probabilistic algorithm $S$ outputs a **signature** $\sigma \la S(sk, m)$.
-> - $V$ is a deterministic algorithm that outputs either $\texttt{{accept}}$ or $\texttt{reject}$ for $V(pk, m, \sigma)$.
+> - $V$ is a deterministic algorithm that outputs either $\texttt{accept}$ or $\texttt{reject}$ for $V(pk, m, \sigma)$.
 
 The correctness property requires that all signatures generated by $S$ is always accepted by $V$. For all $(pk, sk) \la G$ and $m \in \mc{M}$,
 
@@ -239,7 +239,7 @@ Schnorr's scheme was protected by a patent, so NIST opted for a ad-hoc signature
 
 How would you trust public keys? We introduce **digital certificates** for this.
 
-Read in [public key infrastructure (Internet Security)](../../internet-security/2023-10-16-pki).
+Read in [public key infrastructure (Internet Security)](../../internet-security/2023-10-16-pki/).
 
 [^1]: A Graduate Course in Applied Cryptography
 [^2]: By using the [Fiat-Shamir transform](../2023-11-07-sigma-protocols/#the-fiat-shamir-transform).

_posts/mathematics/2025-08-22-group-structure-of-z-2n-z-star.md

@@ -0,0 +1,146 @@
+---
+share: true
+toc: true
+math: true
+categories:
+  - Mathematics
+path: _posts/mathematics
+tags:
+  - math
+  - cryptography
+title: Group Structure of $(\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z})^*$
+date: 2025-08-22
+github_title: 2025-08-22-group-structure-of-z-2n-z-star
+---
+
+To compute the rotation automorphism homomorphically, we use the fact that $(\Z/2^n\Z)^* \simeq \span{-1, 5}$. I couldn't find a clear proof of this result online, so I just accepted the fact although it wasn't very satisfying.
+
+After more than a year, I got a chance to revisit the rotation automorphism and I figured that I should clear things up once and for all. So I decided to compile a proof, drawn from many sources.
+
+## Theorem
+
+> **Theorem 1.** $(\Z/2^n \Z)^*$ is the direct product of a cyclic group of order $2$ and cyclic group of order $2^{n-2}$, for all $n \geq 2$.
+
+The above theorem is from Corollary 20 (2) of Section 9.5 in Abstract Algebra, 3rd Edition, Dummit and Foote.
+
+> **Theorem 2.** $(\Z/2^n\Z)^* \simeq \span{-1, 5}$ for $n \geq 3$.
+
+## Observations
+
+### Order of $5$ Modulo $2^n$
+
+> **Proposition.** $5^{2^{n-3}} \equiv 1 + 2^{n-1} \pmod {2^n}$ for $n \geq 3$.
+
+*Proof*. This is an easy proof with induction. Omitted.
+
+> **Lemma.** $5$ has order $2^{n-2}$ in $(\Z/2^n \Z)^*$, for $n \geq 2$.
+
+*Proof*. We will use strong induction. For $n = 2, 3$, the lemma can be checked by direct computation. Now assume that the order of $5$ is $2^{k-2}$ in $(\Z/2^k\Z)^*$, for all $3 \leq k \leq n$.
+
+Let $r$ be the order of $5$ modulo $2^{n+1}$. Then $2^{n-2} \mid r$. This is from the fact that
+
+$$
+5^r \equiv 1 \pmod {2^{n+1}} \implies 5^r \equiv 1 \pmod {2^n}.
+$$
+
+Therefore $r$ must be a multiple of $2^{n-2}$. (order of $5$ modulo $2^n$) But from the above proposition, $5^{2^{n-2}} \equiv 1 + 2^n \pmod {2^{n+1}}$, so $r \neq 2^{n-2}$. The next candidate of $r$ is $2^{n-1}$ since it should be a multiple of $2^{n-2}$. Observe that
+
+$$
+5^{2^{n-1}} = \paren{5^{2^{n-2}}}^2 = (1 + 2^{n})^2 \equiv 1 \pmod {2^{n+1}},
+$$
+
+completing the proof.
+
+### Group is Not Cyclic
+
+> **Proposition.** Let $G = \span{x}$ be a cyclic group of finite order $n < \infty$. For each divisor $a$ of $n$, there exists a unique subgroup of $G$ with order $a$.
+
+*Proof*. Since $a \mid n$, set $d = n /a$. Then $\span{x^d}$ is a subgroup of order $a$, showing existence.
+
+For uniqueness, suppose $H \neq \span{x^d}$ is another subgroup of $G$ with order $a$. Since subgroups of cyclic groups are also cyclic, $H = \span{x^k}$ where $k$ is the smallest positive integer with $x^k \in H$. Then from
+
+$$
+\frac{n}{d} = a = \abs{H} = \frac{n}{\gcd(n, k)},
+$$
+
+$d = \gcd(n, k)$. So $k$ is a multiple of $d$, resulting in $x^k \in \span{x^d}$. Therefore, $H \leq \span{x^d}$, but the two groups have the same order, so $H = \span{x^d}$.
+
+> **Lemma.** $(\Z/2^n \Z)^*$ is not cyclic for any $n \geq 3$.
+
+*Proof*. $(\Z/2^n\Z)^*$ has two distinct subgroups of order $2$. For $n \geq 3$,
+
+$$
+(2^n - 1)^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod {2^n}
+$$
+
+and
+
+$$
+(2^{n-1}-1)^2 = 2^{2n-2} - 2^n + 1 \equiv 1 \pmod {2^n}.
+$$
+
+Both $2^n-1$ and $2^{n-1} - 1$ have order $2$ modulo $2^n$ and they are distinct since $n \geq 3$. By the above proposition, $(\Z/2^n\Z)^*$ cannot be cyclic.
+
+## Proof of Theorem 1
+
+*Proof*. $(\Z/2^n\Z)^*$ is a finitely generated abelian group, so the fundamental theorem of finitely generated abelian groups applies here. We know that group has order $2^{n-1}$, and from the above results,
+
+- $(\Z/2^n \Z)^*$ has an element of order $2^{n-2}$,
+- $(\Z/2^n \Z)^*$ is not cyclic for $n \geq 3$.
+
+Thus, for $n \geq 3$, the only possible case is $(\Z/2^n\Z)^* \simeq \Z _ 2 \times \Z_{2^{n-2}}$. As for $n = 2$, $(\Z/4\Z)^* \simeq \Z_2 \times \Z_1$ is pretty obvious.
+
+*Note*. I'm still looking for an elementary proof that doesn't use the fundamental theorem. This sort of feels like nuking a mosquito.
+
+## More Observations
+
+> **Lemma.** Suppose that $H$ and $K$ are normal subgroups of $G$ and $H \cap K = \braces{1}$. Then $HK \simeq H \times K$.
+
+*Proof*. Construct an isomorphism $\varphi : H \times K \ra HK$ such that $(h, k) \mapsto hk$.
+
+Since $H, K \unlhd G$, observe that $hkh\inv k \inv \in K \cap H = \braces{1}$ and $hk = kh$. Therefore,
+
+$$
+\varphi(h, k) \cdot \varphi(h',k') = hkh'k' = hh' kk' = \varphi\paren{(h, k)\cdot (h', k')}
+$$
+
+and $\varphi$ is a homomorphism.
+
+Next, if $\varphi(h, k) = hk = 1$, we have $h = k\inv \in H\cap K = \braces{1}$. Then $h = k = 1$, showing that $\ker \varphi$ is trivial and $\varphi$ is injective.
+
+Surjectivity of $\varphi$ is trivial. $\varphi$ is an isomorphism and $HK \simeq H \times K$.
+
+> **Proposition.** As subgroups of $(\Z/2^n\Z)^*$, $\span{-1} \cap \span{5} = \braces{1}$ for $n \geq 3$.
+
+*Proof*. It suffices to show that $-1 \notin \span{{5}}$. Suppose that $-1 \in \span{5}$. Since $\span{5}$ is cyclic, it has a unique element of order $2$. Since $5$ has order $2^{n-2}$, it must be the case that $-1 \equiv 5^{2^{n-3}} \pmod {2^n}$.
+
+Then we have
+
+$$
+-1 \equiv 5^{2^{n-3}} \equiv 1 + 2^{n-1} \pmod {2^n},
+$$
+
+which gives $2^{n-1} + 2 \equiv 0 \pmod {2^n}$. But for $n \geq 3$, this is impossible since $0 < 2^{n-1} + 2 < 2^n$. Contradiction.
+
+*Note*. If $-1 \in \span{5}$, then maybe $5$ would have generated the whole group. But the group isn't cyclic, so we have a contradiction?
+
+## Proof of Theorem 2
+
+*Proof*. Since we are dealing with commutative groups, all subgroups are normal. We have $\span{-1}, \span{5} \unlhd (\Z/2^n\Z)^*$ and $\span{-1} \cap \span{5} = \braces{1}$. Therefore,
+
+$$
+(\Z/2^n\Z)^* \simeq \Z_2 \times \Z_{2^{n-2}} = \span{-1} \times \span{5} \simeq \span{-1}\span{5}.
+$$
+
+This means that we can uniquely write all elements of $(\Z/2^n\Z)^*$ as $(-1)^a 5^b$ for ${} 0 \leq a < 2 {}$, $0 \leq b < 2^{n-2}$. From commutativity, this exactly equals the subgroup generated by $-1$ and $5$, which is $\span{-1, 5}$. This concludes the proof.
+
+## Notes
+
+The theorem wasn't so trivial after all, but I'm still happy to have resolved a long overdue task.
+
+## References
+
+- My notes taken from abstract algebra class
+- <https://math.stackexchange.com/q/459815>
+- <https://math.stackexchange.com/q/3881641>
+- <https://math.stackexchange.com/a/4910312/329909>

_posts/mathematics/measure-theory/2023-01-11-algebra-of-sets.md

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-title: "01. Algebra of Sets"
-date: "2023-01-11"
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+title: 01. Algebra of Sets
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-![mt-01.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-01.png)
+![mt-01.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-01.png)
 
 르벡 적분을 공부하기 위해서는 먼저 집합의 ‘길이’ 개념을 공부해야 합니다. 그리고 집합의 ‘길이’ 개념을 확립하기 위해서는 집합 간의 연산과 이에 대한 구조가 필요합니다.
 

_posts/mathematics/measure-theory/2023-01-23-construction-of-measure.md

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+title: 02. Construction of Measure
+date: 2023-01-23
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+
+![mt-02.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-02.png)
+
+이제 본격적으로 집합을 재보도록 하겠습니다. 우리가 잴 수 있는 집합들부터 시작합니다. $\mathbb{R}^p$에서 논의할 건데, 이제 여기서부터는 $\mathbb{R}$의 구간의 열림/닫힘을 모두 포괄하여 정의합니다. 즉, $\mathbb{R}$의 구간이라고 하면 $[a, b], (a, b), [a, b), (a, b]$ 네 가지 경우를 모두 포함합니다.
+
+## Elementary Sets
+
+**정의.** ($\mathbb{R}^p$의 구간) $a _ i, b _ i \in \mathbb{R}$, $a _ i \leq b _ i$ 라 하자. $I _ i$가 $\mathbb{R}$의 구간이라고 할 때, $\mathbb{R}^p$의 구간은
+
+$$\prod _ {i=1}^p I _ i = I _ 1 \times \cdots \times I _ p$$
+
+와 같이 정의한다.
+
+예를 들어 $\mathbb{R}^2$의 구간이라 하면 직사각형 영역, $\mathbb{R}^3$의 구간이라 하면 직육면체 영역을 떠올릴 수 있습니다. 단, 경계는 포함되지 않을 수도 있습니다.
+
+이러한 구간들을 유한개 모아 합집합하여 얻은 집합을 모아 elementary set이라 합니다.
+
+**정의.** (Elementary Set) 어떤 집합이 유한개 구간의 합집합으로 표현되면 그 집합을 **elementary set**이라고 한다. 그리고 $\mathbb{R}^p$의 elementary set의 모임을 $\Sigma$로 표기한다.
+
+임의의 구간은 유계입니다. 따라서 구간의 유한한 합집합도 유계일 것입니다.
+
+**참고.** 임의의 elementary set은 유계이다.
+
+Elementary set의 모임에서 집합의 연산을 정의할 수 있을 것입니다. 이 때, $\Sigma$가 ring이 된다는 것을 간단하게 확인할 수 있습니다.
+
+**명제.** $\Sigma$는 ring이다. 하지만 전체 공간인 $\mathbb{R}^p$를 포함하고 있지 않기 때문에 $\sigma$-ring은 아니다.
+
+구간의 길이를 재는 방법은 아주 잘 알고 있습니다. 유한개 구간의 합집합인 elementary set에서도 쉽게 잴 수 있습니다. 이제 길이 함수 $m: \Sigma \rightarrow[0, \infty)$ 을 정의하겠습니다. 아직 measure는 아닙니다.
+
+**정의.** $a _ i, b _ i \in \mathbb{R}$ 가 구간 $I _ i$의 양 끝점이라 하자. $\mathbb{R}^p$의 구간 $I = \displaystyle\prod _ {i=1}^p I _ i$ 에 대하여,
+
+$$m(I) = \prod _ {i=1}^p (b _ i - a _ i)$$
+
+로 정의한다.
+
+**정의.** $I _ i$가 쌍마다 서로소인 $\mathbb{R}^p$의 구간이라 하자. $A = \displaystyle\bigcup _ {i=1}^n I _ i$ 에 대하여
+
+$$m(A) = \sum _ {i=1}^n m(I _ i)$$
+
+로 정의한다.
+
+$\mathbb{R}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3$에서 생각해보면 $m$은 곧 길이, 넓이, 부피와 대응되는 함수임을 알 수 있습니다. 또한 쌍마다 서로소인 구간의 합집합에 대해서는 각 구간의 함숫값을 더한 것으로 정의합니다. 어떤 집합을 겹치지 않게 구간으로 나눌 수 있다면, 집합의 ‘길이’가 각 구간의 ‘길이’ 합이 되는 것은 자연스럽습니다.
+
+그리고 이 정의는 well-defined 입니다. $A \in \Sigma$ 에 대해서 서로소인 유한개 구간의 합집합으로 나타내는 방법이 유일하지 않아도, $m$ 값은 같습니다.
+
+**참고.** $m$은 $\Sigma$ 위에서 additive이다. 따라서 $m : \Sigma \rightarrow[0, \infty)$ 은 additive set function이다.
+
+여기서 추가로 regularity 조건을 만족했으면 좋겠습니다.
+
+**정의.** (Regularity) Set function $\mu: \Sigma \rightarrow[0, \infty]$ 가 additive라 하자. 모든 $A \in \Sigma$ 와 $\epsilon > 0$ 에 대하여
+
+> 닫힌집합 $F \in \Sigma$, 열린집합 $G \in \Sigma$ 가 존재하여 $F \subseteq A \subseteq G$ 이고 $\mu(G) - \epsilon \leq \mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon$
+
+이면 $\mu$가 $\Sigma$ 위에서 **regular**하다고 정의한다.
+
+위에서 정의한 $m$이 regular한 것은 쉽게 확인할 수 있습니다.
+
+이제 set function $\mu: \Sigma \rightarrow[0, \infty)$ 가 finite, regular, additive 하다고 가정합니다.
+
+**정의.** (Outer Measure) $E \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^p)$ 의 **outer measure** $\mu^\ast: \mathcal{P}(\mathbb{R}^p) \rightarrow[0, \infty]$ 는
+
+$$\mu^\ast(E) = \inf \left\lbrace \sum _ {n=1}^\infty \mu(A _ n) : \text{열린집합 } A _ n \in \Sigma \text{ 에 대하여 } E \subseteq\bigcup _ {n=1}^\infty A _ n\right\rbrace.$$
+
+로 정의한다.
+
+Outer measure라 부르는 이유는 $E$의 바깥에서 길이를 재서 근사하기 때문입니다. Outer measure는 모든 power set에 대해서 정의할 수 있으니, 이를 이용해서 모든 집합을 잴 수 있으면 좋겠습니다. 하지만 measure가 되려면 countably additive 해야하는데, 이 조건이 가장 만족하기 까다로운 조건입니다. 실제로 countably additive 조건이 성립하지 않습니다.
+
+**참고.**
+
+- $\mu^\ast \geq 0$ 이다.
+
+- $E _ 1 \subseteq E _ 2$ 이면 $\mu^\ast(E _ 1) \leq \mu^\ast(E _ 2)$ 이다. (단조성)
+
+**정리.**
+
+1. $A \in \Sigma$ 이면 $\mu^\ast(A) = \mu(A)$.[^1]
+
+2. Countable subadditivity가 성립한다.
+
+	$$\mu^\ast\left( \bigcup _ {n=1}^\infty E _ n \right) \leq \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(E _ n), \quad (\forall E _ n \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^p))$$
+
+**증명.**
+
+(1) $A \in \Sigma$, $\epsilon > 0$ 라 두자. $\mu$의 regularity를 이용하면, 열린집합 $G \in \Sigma$ 가 존재하여 $A \subseteq G$ 이고
+
+$$\mu^\ast(A) \leq \mu(G) \leq \mu(A) + \epsilon$$
+
+이다. $\mu^\ast$의 정의에 의해 열린집합 $A _ n \in \Sigma$ 가 존재하여 $A \subseteq\displaystyle\bigcup _ {n=1}^\infty A _ n$ 이고
+
+$$\sum _ {n=1}^\infty \mu(A _ n) \leq \mu^\ast(A) + \epsilon$$
+
+이다. 마찬가지로 regularity에 의해 닫힌집합 $F \in \Sigma$ 가 존재하여 $F\subseteq A$ 이고 $\mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon$ 이다. $F \subseteq\mathbb{R}^p$ 는 유계이고 닫힌집합이므로 compact set이고, finite open cover를 택할 수 있다. 즉, 적당한 $N \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $F \subseteq\displaystyle\bigcup _ {i=1}^N A _ {i}$ 가 성립한다.
+
+따라서
+
+$$\mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon \leq \sum _ {i=1}^N \mu(A _ i) \leq \sum _ {i=1}^n \mu(A _ i) + \epsilon \leq \mu^\ast(A) + 2\epsilon$$
+
+이제 $\epsilon \rightarrow 0$ 로 두면 $\mu(A) = \mu^\ast(A)$ 를 얻는다.
+
+\(2\) 부등식의 양변이 모두 $\infty$ 이면 증명할 것이 없으므로, 양변이 모두 유한하다고 가정하여 모든 $n\in \mathbb{N}$ 에 대해 $\mu^\ast(E _ n) < \infty$ 라 하자. $\epsilon > 0$ 로 두고, 각 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 열린집합 $A _ {n, k} \in \Sigma$ 가 존재하여 $E _ n \subseteq\displaystyle\bigcup _ {k=1}^\infty A _ {n, k}$ 이고 $\displaystyle\sum _ {k=1}^\infty \mu(A _ {n,k}) \leq \mu^\ast(E _ n) + 2^{-n}\epsilon$ 이다.
+
+$\mu^\ast$는 하한(infimum)으로 정의되었기 때문에,
+
+$$\mu^\ast\left( \bigcup _ {n=1}^\infty E _ n \right) \leq \sum _ {n=1}^\infty \sum _ {k=1}^\infty \mu(A _ {n,k}) \leq \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(E _ n) + \epsilon$$
+
+가 성립하고, $\epsilon \rightarrow 0$ 로 두면 부등식이 성립함을 알 수 있다.
+
+## $\mu$-measurable Sets
+
+Countably additive 조건이 성립하는 집합들만 모아서 measure를 construct 하려고 합니다. 아래 내용은 이를 위한 사전 준비 작업입니다.
+
+**표기법.** (대칭차집합) $A \mathop{\mathrm{\triangle}}B = (A\setminus B) \cup (B \setminus A)$.
+
+**정의.**
+
+- $d(A, B) = \mu^\ast(A \mathop{\mathrm{\triangle}}B)$ 로 정의한다.
+
+- 집합열 $A _ n$에 대하여 $d(A _ n, A) \rightarrow 0$ 이면 $A _ n \rightarrow A$ 로 정의한다.
+
+**참고.**
+
+- $A, B, C \in \mathbb{R}^p$ 에 대하여 $d(A, B) \leq d(A, C) + d(C, B)$ 이다.
+
+- $A _ 1, B _ 2, B _ 1, B _ 2 \in \mathbb{R}^p$ 일 때, 다음이 성립한다.
+
+	$$\left.\begin{array}{c}d(A _ 1 \cup A _ 2, B _ 1 \cup B _ 2) \\d(A _ 1 \cap A _ 2, B _ 1 \cap B _ 2) \\d(A _ 1 \setminus A _ 2, B _ 1 \setminus B _ 2)\end{array}\right\rbrace\leq d(A _ 1, B _ 1) + d(A _ 2, B _ 2).$$
+
+**정의.** (Finitely $\mu$-measurable) 집합 $A _ n \in \Sigma$ 이 존재하여 $A _ n \rightarrow A$ 이면 $A$가 **finitely $\mu$-measurable**이라 한다. 그리고 finitely $\mu$-measurable한 집합의 모임을 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$로 표기한다.
+
+위 정의는 $\mu$라는 set function에 의해 $\mu^\ast (A _ n \mathop{\mathrm{\triangle}}A) \rightarrow 0$ 이 되는 elementary set $A _ n$이 존재한다는 의미입니다.
+
+**정의.** ($\mu$-measurable) $A _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대하여 $A = \displaystyle\bigcup _ {n=1}^\infty A _ n$ 이면 $A$가 **$\mu$-measurable**이라 한다. 그리고 $\mu$-measurable한 집합의 모임을 $\mathfrak{M}(\mu)$로 표기한다.
+
+**참고.** $\mu^\ast(A) = d(A, \varnothing) \leq d(A, B) + \mu^\ast(B)$.
+
+**명제.** $\mu^\ast(A)$ 또는 $\mu^\ast(B)$가 유한하면, 다음이 성립한다.
+
+$$\lvert \mu^\ast(A) - \mu^\ast(B) \rvert \leq d(A, B).$$
+
+**따름정리.** $A \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이면 $\mu^\ast(A) < \infty$ 이다.
+
+**증명.** $A _ n \in \Sigma$ 가 존재하여 $A _ n \rightarrow A$ 이고, $N \in \mathbb{N}$ 이 존재하여
+
+$$\mu^\ast(A) \leq d(A _ N, A) + \mu^\ast(A _ N) \leq 1 + \mu^\ast(A _ N) < \infty$$
+
+이다.
+
+**따름정리.** $A _ n \rightarrow A$ 이고 $A _ n, A \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이면 $\mu^\ast(A _ n)\rightarrow\mu^\ast(A) < \infty$ 이다.
+
+**증명.** $\mu^\ast(A)$, $\mu^\ast(A _ n)$가 유한하므로, $n \rightarrow\infty$ 일 때 $\lvert \mu^\ast(A _ n) - \mu^\ast(A) \rvert \leq d(A _ n, A) \rightarrow 0$ 이다.
+
+## Construction of Measure
+
+준비가 끝났으니 measure를 construct 해보겠습니다! $\mathcal{P}(\mathbb{R}^p)$에서는 할 수 없지만 정의역을 $\mathfrak{M}(\mu)$로 조금 좁히면 measure가 된다는 뜻입니다.
+
+**정리.** $\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-algebra 이고 $\mu^\ast$는 $\mathfrak{M}(\mu)$의 measure가 된다.
+
+**증명.** $\mathfrak{M}(\mu)$가 $\sigma$-algebra이고 $\mu^\ast$가 $\mathfrak{M}(\mu)$에서 countably additive임을 보이면 충분하다.
+
+**(Step 0)** *$\mathfrak{M} _ F(\mu)$는 ring이다.*
+
+$A, B \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 라 하자. 그러면 $A _ n, B _ n \in \Sigma$ 이 존재하여 $A _ n \rightarrow A$, $B _ n \rightarrow B$ 이 된다. 그러면
+
+$$\left.\begin{array}{c}d(A _ n \cup B _ n, A \cup B) \\ d(A _ n \cap B _ n, A \cap B) \\ d(A _ n \setminus B _ n, A \setminus B)\end{array}\right\rbrace\leq d(A _ n, A) + d(B _ n, B) \rightarrow 0$$
+
+이므로 $A _ n \cup B _ n \rightarrow A \cup B, A _ n \setminus B _ n \rightarrow A\setminus B$ 이기 때문에 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$는 ring이다.
+
+**(Step 1)** *$\mu^\ast$는 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$ 위에서 additive이다*.
+
+$\Sigma$ 위에서는 $\mu = \mu^\ast$ 이므로, 위 따름정리에 의해
+
+$$\begin{matrix} \mu(A _ n) \rightarrow\mu^\ast(A), & \mu(A _ n\cup B _ n) \rightarrow\mu^\ast(A\cup B), \\ \mu(B _ n) \rightarrow\mu^\ast(B), & \mu(A _ n\cap B _ n) \rightarrow\mu^\ast(A\cap B) \end{matrix}$$
+
+가 성립함을 알 수 있다. 일반적으로 $\mu(A _ n) + \mu(B _ n) = \mu(A _ n \cup B _ n) + \mu(A _ n \cap B _ n)$ 이므로 여기서 $n \rightarrow\infty$ 로 두면
+
+$$\mu^\ast(A) + \mu^\ast(B) = \mu^\ast(A\cup B) + \mu^\ast(A \cap B)$$
+
+를 얻는다. $A \cap B = \varnothing$ 라는 조건이 추가되면 $\mu^\ast$가 additive임을 알 수 있다.
+
+**(Step 2)** *$\mathfrak{M} _ F(\mu) = \lbrace A \in \mathfrak{M}(\mu) : \mu^\ast(A) < \infty\rbrace$.*[^2]
+
+**Claim**. 쌍마다 서로소인 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$의 원소들을 잡아 이들의 합집합으로 $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ 를 표현할 수 있다.
+
+**증명.** $A _ n' \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대하여 $A = \bigcup A _ n'$ 로 두자.
+
+> $A _ 1 = A _ 1'$, $n \geq 2$ 이면 $A _ n = A _ n' \setminus(A _ 1'\cup \cdots \cup A _ {n-1}')$
+
+와 같이 정의하면 $A _ n$이 쌍마다 서로소이고 $A _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 임을 알 수 있다.
+
+위 사실을 이용하여 $A _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대하여 $A = \displaystyle\bigcup _ {n=1}^\infty A _ n$ 으로 두자.
+
+1. Countable subadditivity에 의해 $\displaystyle\mu^\ast(A) \leq \sum _ {n=1}^{\infty} \mu^\ast (A _ n)$ 가 성립한다.
+
+2. Step 1에 의해 $\displaystyle\bigcup _ {n=1}^k A _ n \subseteq A$, $\displaystyle\sum _ {n=1}^{k} \mu^\ast(A _ n) \leq \mu^\ast(A)$ 이다. $k \rightarrow\infty$ 로 두면 $\displaystyle\mu^\ast(A) \geq \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n)$ 임을 알 수 있다.
+
+따라서 $\displaystyle\mu^\ast(A) = \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n)$ 이다.[^3] [^4]
+
+이제 $B _ n =\displaystyle\bigcup _ {k=1}^n A _ k$ 로 두자. $\mu^\ast(A) < \infty$ 를 가정하면 $\displaystyle\sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n)$의 수렴성에 의해
+
+$$\displaystyle d(A, B _ n) = \mu^\ast\left( \bigcup _ {k=n+1}^\infty A _ k \right) = \sum _ {k=n+1}^{\infty} \mu^\ast(A _ i) \rightarrow 0 \text{ as } n \rightarrow\infty$$
+
+임을 알 수 있다.
+
+$B _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이므로 $C _ n \in \Sigma$ 를 잡아 각 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $d(B _ n, C _ n)$를 임의로 작게 만들 수 있다. 그러면 $d(A, C _ n) \leq d(A, B _ n) + d(B _ n, C _ n)$ 이므로 충분히 큰 $n$에 대하여 $d(A, C _ n)$도 임의로 작게 만들 수 있다. 따라서 $C _ n \rightarrow A$ 임을 알 수 있고 $A \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 라는 결론을 내릴 수 있다.
+
+**(Step 3)** *$\mu^\ast$는 $\mathfrak{M}(\mu)$ 위에서 countably additive이다.*
+
+$A _ n \in \mathfrak{M}(\mu)$ 가 $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ 의 분할이라 하자. 적당한 $m \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\mu^\ast(A _ m) = \infty$ 이면
+
+$$\mu^\ast\left( \bigcup _ {n=1}^\infty A _ n \right) \geq \mu^\ast(A _ m) = \infty = \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n)$$
+
+이므로 countable additivity가 성립한다.
+
+이제 모든 $n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\mu^\ast(A _ n) < \infty$ 이면, Step 2에 의해 $A _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이고
+
+$$\mu^\ast(A) = \mu^\ast\left( \bigcup _ {n=1}^\infty A _ n \right) = \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n)$$
+
+가 성립한다.
+
+**(Step 4)** *$\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-ring이다.*
+
+$A _ n \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이면 $B _ {n, k} \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 가 존재하여 $\displaystyle A _ n = \bigcup _ k B _ {n,k}$ 이다. 그러면
+
+$$\bigcup _ n A _ n = \bigcup _ {n, k} B _ {n, k} \in \mathfrak{M}(\mu)$$
+
+이다.
+
+$A, B \in \mathfrak{M}(\mu)$ 라 하면 $A _ n, B _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대해 $\displaystyle A = \bigcup A _ n$, $\displaystyle B = \bigcup B _ n$ 이므로,
+
+$$A \setminus B = \bigcup _ {n=1}^\infty \left( A _ n \setminus B \right) = \bigcup _ {n=1}^\infty (A _ n\setminus(A _ n\cap B))$$
+
+임을 알 수 있다. 그러므로 $A _ n \cap B \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 인 것만 보이면 충분하다. 정의에 의해
+
+$$A _ n \cap B = \bigcup _ {k=1}^\infty (A _ n \cap B _ k) \in \mathfrak{M}(\mu)$$
+
+이고 $\mu^\ast(A _ n \cap B) \leq \mu^\ast(A _ n) < \infty$ 이므로 $A _ n\cap B \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이다. 따라서 $A \setminus B$ 가 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$의 원소들의 countable 합집합으로 표현되므로 $A\setminus B \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다.
+
+따라서 $\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-ring이고 $\sigma$-algebra이다.
+
+---
+
+이제 $\Sigma$ 위의 $\mu$ 정의를 $\mathfrak{M}(\mu)$ ($\sigma$-algebra)로 확장하여 $\mathfrak{M}(\mu)$ 위에서는 $\mu = \mu^\ast$ 로 정의합니다. $\Sigma$ 위에서 $\mu = m$ 일 때, 이와 같이 확장한 $\mathfrak{M}(m)$ 위의 $m$을 **Lebesgue measure** on $\mathbb{R}^p$라 합니다. 그리고 $A \in \mathfrak{M}(m)$ 를 Lebesgue measurable set이라 합니다.
+
+[^1]: $A$가 open이 아니면 자명하지 않은 명제입니다.
+[^2]: $A$가 $\mu$-measurable인데 $\mu^\ast(A) < \infty$이면 $A$는 finitely $\mu$-measurable이다.
+[^3]: $A$가 countable union of sets in $\mathfrak{M} _ F(\mu)$이므로 $\mu^\ast$도 각 set의 $\mu^\ast$의 합이 된다.
+[^4]: 아직 증명이 끝나지 않았습니다. $A _ n$은 $\mathfrak{M}(\mu)$의 원소가 아니라 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$의 원소입니다.

_posts/mathematics/measure-theory/2023-01-24-measure-spaces.md

@@ -2,22 +2,28 @@
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-tags: [math, analysis, measure-theory]
-title: "03. Measure Spaces"
-date: "2023-01-24"
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+title: 03. Measure Spaces
+date: 2023-01-24
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-  folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
+  folder: assets/img/posts/mathematics/measure-theory
 ---
 
 ## Remarks on Construction of Measure
 
 Construction of measure 증명에서 추가로 참고할 내용입니다.
 
-![mt-03.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-03.png)
+![mt-03.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-03.png)
 
 **명제.** $A$가 열린집합이면 $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다. 또한 $A^C \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이므로, $F$가 닫힌집합이면 $F \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다.
 

_posts/mathematics/measure-theory/2023-02-06-measurable-functions.md

@@ -2,15 +2,21 @@
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-title: "04. Measurable Functions"
-date: "2023-02-06"
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+title: 04. Measurable Functions
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+github_title: 2023-02-06-measurable-functions
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+  folder: assets/img/posts/mathematics/measure-theory
 ---
 
 Lebesgue integral을 공부하기 전 마지막 준비입니다. Lebesgue integral은 다음과 같이 표기합니다.
@@ -155,7 +161,7 @@ $$s(x) = \sum_ {i=1}^{n} c_i \chi_ {E_i}(x).$$
 
 여기서 $E _ i$에 measurable 조건이 추가되면, 정의에 의해 $\chi _ {E _ i}$도 measurable function입니다. 따라서 모든 measurable simple function을 measurable $\chi _ {E _ i}$의 linear combination으로 표현할 수 있습니다.
 
-![mt-04.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-04.png)
+![mt-04.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-04.png)
 
 아래 정리는 simple function이 Lebesgue integral의 building block이 되는 이유를 잘 드러냅니다. 모든 함수는 simple function으로 근사할 수 있습니다.
 

_posts/mathematics/measure-theory/2023-02-13-lebesgue-integration.md

@@ -2,15 +2,21 @@
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-title: "05. Lebesgue Integration"
-date: "2023-02-13"
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+title: 05. Lebesgue Integration
+date: 2023-02-13
+github_title: 2023-02-13-lebesgue-integration
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+  folder: assets/img/posts/mathematics/measure-theory
 ---
 
 ## Lebesgue Integration
@@ -121,7 +127,7 @@ $$\int f \,d{\mu} = \sup\left\lbrace \int h \,d{\mu}: 0\leq h \leq f, h \text{ m
 
 $f$보다 작은 measurable simple function의 적분값 중 상한을 택하겠다는 의미입니다. $f$보다 작은 measurable simple function으로 $f$를 근사한다고도 이해할 수 있습니다. 또한 $f$가 simple function이면 Step 2의 정의와 일치하는 것을 알 수 있습니다.
 
-![mt-05.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-05.png)
+![mt-05.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-05.png)
 
 $f \geq 0$ 가 measurable이면 증가하는 measurable simple 함수열 $s _ n$이 존재함을 지난 번에 보였습니다. 이 $s _ n$에 대하여 적분값을 계산해보면
 

_posts/mathematics/measure-theory/2023-03-25-convergence-theorems.md

@@ -0,0 +1,206 @@
+---
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+categories:
+  - Mathematics
+  - Measure Theory
+path: _posts/mathematics/measure-theory
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+  - math
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+title: 06. Convergence Theorems
+date: 2023-03-25
+github_title: 2023-03-25-convergence-theorems
+image:
+  path: /assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-06.png
+attachment:
+  folder: assets/img/posts/mathematics/measure-theory
+---
+
+르벡 적분 이론에서 굉장히 자주 사용되는 수렴 정리에 대해 다루겠습니다. 이 정리들을 사용하면 굉장히 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다.
+
+## Monotone Convergence Theorem
+
+먼저 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem, MCT)입니다. 이 정리에서는 $f _ n \geq 0$ 인 것이 매우 중요합니다.
+
+![mt-06.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-06.png)
+
+**정리.** (단조 수렴 정리) $f _ n: X \rightarrow[0, \infty]$ 가 measurable이고 모든 $x \in X$ 에 대하여 $f _ n(x) \leq f _ {n+1}(x)$ 라 하자.
+
+$$\lim _ {n\rightarrow\infty} f _ n(x) = \sup _ {n} f _ n(x) = f(x)$$
+
+로 두면,
+
+$$\int f \,d{\mu} = \lim _ {n\rightarrow\infty} \int f _ n \,d{\mu} = \sup _ {n \in \mathbb{N}} \int f _ n \,d{\mu}$$
+
+이다.
+
+**증명.**
+
+($\geq$) $f _ n(x) \leq f(x)$ 이므로 단조성을 이용하면 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\displaystyle\int f _ n \,d{\mu} \leq \displaystyle\int f \,d{\mu}$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.
+
+$$\sup _ n \int f _ n \,d{\mu} \leq \int f \,d{\mu}.$$
+
+($\leq$) 실수 $c \in (0, 1)$ 를 잡자. 마지막에 $c \nearrow 1$ 로 둘 것이다. 이제 measurable simple function $s$가 $0 \leq s \leq f$ 라 하자. 그러면 모든 $x \in X$ 에 대하여 $c \cdot s(x) < f(x)$ 일 것이다.
+
+이제
+
+$$E _ n = \lbrace x \in X : f _ n(x) \geq cs(x)\rbrace$$
+
+으로 두면, $f _ n(x) - cs(x)$ 가 measurable function이므로 $E _ n$ 또한 measurable이다. 여기서 $f _ n$이 증가하므로 $E _ n\subseteq E _ {n+1} \subseteq\cdots$ 임을 알 수 있고 $f _ n \rightarrow f$ 이므로 $\bigcup _ {n=1}^\infty E _ n = X$ 이다.
+
+충분히 큰 $N \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $n \geq N$ 일 때, 모든 $x$에 대하여 $f(x) \geq f _ n(x) > cs(x)$ 가 되게 할 수 있다. 그리고 $f _ n \geq f _ n \chi _ {E _ n} \geq cs \chi _ {E _ n}$ 이므로
+
+$$\tag{\(\star\)}    \int f _ n \,d{\mu} \geq \int f _ n \chi _ {E _ n} \,d{\mu} \geq c\int s \chi _ {E _ n} \,d{\mu},$$
+
+이고 여기서 $s, \chi _ {E _ n}$는 simple function이다. 그러므로 $s = \sum _ {k=0}^m y _ k \chi _ {A _ k}$ 라고 적으면
+
+$$s\chi _ {E _ n} = \sum _ {k=0}^m y _ k \chi _ {A _ k\cap E _ n} \implies \int s \chi _ {E _ n} \,d{\mu} = \sum _ {k=0}^m y _ k \mu(A _ k\cap E _ n)$$
+
+이다. $n\rightarrow\infty$ 일 때 $A _ k\cap E _ n \nearrow A _ k$ 이므로, continuity of measure를 사용해 $\mu(A _ k \cap E _ n) \nearrow \mu(A _ k)$ 를 얻고
+
+$$\lim _ {n\rightarrow\infty} \int s \chi _ {E _ n}\,d{\mu} = \int s \,d{\mu}$$
+
+임도 알 수 있다. 이제 ($\star$)를 이용하면
+
+$$\lim _ {n\rightarrow\infty} \int f _ n \,d{\mu} \geq c\int s \,d{\mu}$$
+
+이므로, $c \nearrow 1$ 로 두고 $0\leq s\leq f$ 에 대하여 $\sup$을 취하면
+
+$$\lim _ {n\rightarrow\infty} \int f _ n \,d{\mu} \geq \sup _ {0\leq s\leq f} \int s \,d{\mu} = \int f \,d{\mu}$$
+
+가 되어 원하는 결과를 얻는다.
+
+**참고.** 만약 부등식 $0 \leq f _ n \leq f _ {n+1}$ 이 정의역 전체가 아닌 정의역의 부분집합 $E$에서만 성립한다고 하면, 다음과 같이 생각할 수 있다.
+
+$$0 \leq f _ n \chi _ E \leq f _ {n+1} \chi _ E \nearrow f \chi _ E.$$
+
+그러므로 단조 수렴 정리가 $E$에서도 성립함을 알 수 있다.
+
+> $E$에서 $0\leq f _ n \leq f _ {n+1} \nearrow f$ 이면 $\displaystyle\lim _ {n\rightarrow\infty} \int _ E f _ n \,d{\mu} = \int _ E f \,d{\mu}$.
+
+**참고.** 함수열 $f _ n$이 증가하는 경우에만 정리가 성립합니다. 감소하는 경우에는 반례로 함수 $f _ n = \chi _ {[n, \infty)}$ 를 생각할 수 있습니다. 그러면 $n \rightarrow\infty$ 일 때 $\chi _ {[n, \infty)} \searrow 0$ 입니다.
+
+그러면 Lebesgue measure $m$에 대하여
+
+$$\infty = \int \chi _ {[n, \infty)} \,d{m} \neq \int 0 \,d{m} = 0$$
+
+이 되어 단조 수렴 정리가 성립하지 않음을 확인할 수 있습니다.
+
+---
+
+지난 번에 $f \geq 0$ 가 measurable이면 증가하는 measurable simple 함수열 $s _ n$이 존재함을 보였고, 이 $s _ n$에 대하여 적분값을 계산하여
+
+$$\int _ E s _ n \,d{\mu} = \sum _ {i=1}^{n2^n} \frac{i - 1}{2^n}\mu\left( \left\lbrace x \in E : \frac{i-1}{2^n} \leq f(x) \leq \frac{i}{2^n}\right\rbrace \right) + n\mu(\lbrace x \in E : f(x)\geq n\rbrace)$$
+
+라는 결과까지 얻었습니다. 그런데 여기서
+
+$$f(x) = \displaystyle\lim _ {n\rightarrow\infty} s _ n(x)$$
+
+이기 때문에, 단조 수렴 정리에 의해
+
+$$\int _ E f \,d{\mu} = \lim _ {n\rightarrow\infty} \int _ E s _ n \,d{\mu}$$
+
+가 성립하여 기대했던 결과를 얻었습니다. 지난 번 설명한 것처럼, 이는 곧 르벡 적분은 치역을 잘게 잘라 넓이를 계산한 것으로 이해할 수 있다는 의미가 됩니다.
+
+---
+
+다음은 단조 수렴 정리를 활용하여 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있는 예제입니다.
+
+**참고.** Measurable function $f, g \geq 0$ 과 $\alpha, \beta \in [0, \infty)$ 에 대하여 다음이 성립한다.
+
+$$\int _ E \left( \alpha f + \beta g \right) \,d{\mu} = \alpha \int _ E f \,d{\mu} + \beta \int _ E g\,d{\mu}.$$
+
+**증명.** Measurable function은 measurable simple function으로 근사할 수 있고, $f, g \geq 0$ 이므로 단조증가하도록 잡을 수 있다. 그러므로 measurable simple function $f _ n$, $g _ n$에 대하여 $0 \leq f _ n \leq f _ {n+1} \nearrow f$, $0 \leq g _ n \leq g _ {n+1} \nearrow g$ 으로 잡는다.
+
+그러면 $\alpha f _ n + \beta g _ n \nearrow \alpha f + \beta g$ 이고 $\alpha f _ n + \beta g _ n$ 은 단조증가하는 measurable simple 함수열이다. 따라서 단조 수렴 정리에 의해
+
+$$\int _ E \left( \alpha f _ n + \beta g _ n \right) \,d{\mu} = \alpha \int _ E f _ n \,d{\mu} + \beta \int _ E g _ n \,d{\mu} \rightarrow\alpha \int _ E f \,d{\mu} + \beta \int _ E g\,d{\mu}$$
+
+이다.
+
+이와 비슷한 방법을 급수에도 적용할 수 있습니다.
+
+**정리.** Measurable function $f _ n: X \rightarrow[0, \infty]$ 에 대하여 $\sum _ {n=1}^\infty f _ n$는 measurable이고, 단조 수렴 정리에 의해 다음이 성립한다.
+
+$$\int _ E \sum _ {n=1}^\infty f _ n \,d{\mu} = \sum _ {n=1}^\infty \int _ E f _ n \,d{\mu}.$$
+
+**증명.** $\sum _ {n=1}^\infty f _ n$는 measurable function의 극한이므로 measurable이다. 무한급수를 부분합의 극한으로 생각하면 $f _ n \geq 0$ 이므로 부분합이 증가함을 알 수 있다. 따라서 단조 수렴 정리를 적용하여 결론을 얻는다.
+
+## Fatou's Lemma
+
+단조 수렴 정리와 동치인 수렴 정리를 하나 더 소개합니다. Fatou's lemma로 알려져 있습니다.
+
+**정리.** (Fatou) $f _ n \geq 0$ 가 measurable이고 $E$가 measurable이라 하자. 다음이 성립한다.
+
+$$\int _ E \liminf _ {n\rightarrow\infty} f _ n \,d{\mu} \leq \liminf _ {n\rightarrow\infty} \int _ E f _ n \,d{\mu}.$$
+
+**증명.** $g _ n = \displaystyle\inf _ {k \geq n} f _ k$ 으로 두면 $\displaystyle\lim _ {n \rightarrow\infty} g _ n = \liminf _ {n\rightarrow\infty} f _ n$ 이다. $g _ n$이 증가함은 쉽게 확인할 수 있으며 $g _ n \geq 0$ 이다. $g _ n$의 정의로부터 모든 $k \geq n$ 에 대하여 $g _ n \leq f _ k$ 이므로,
+
+$$\int _ E g _ n \,d{\mu} \leq \inf _ {k\geq n} \int _ E f _ k \,d{\mu}$$
+
+이다. 여기서 $n \rightarrow\infty$ 로 두면
+
+$$\int _ E \liminf _ {n\rightarrow\infty} f _ n \,d{\mu} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ E g _ n \,d{\mu} \leq \lim _ {n \rightarrow\infty} \inf _ {k \geq n}\int _ E f _ k \,d{\mu} = \liminf _ {n \rightarrow\infty} \int _ E f _ n \,d{\mu}$$
+
+이 된다. 여기서 첫 번째 등호는 단조 수렴 정리에 의해 성립한다.
+
+**참고.** 위 증명에서는 단조 수렴 정리를 활용했습니다. 반대로 이 정리를 가정하면 단조 수렴 정리를 증명할 수 있기도 합니다. 따라서 이 둘은 동치입니다. 증명은 생략합니다.
+
+**참고.** 왠지 위와 비슷한 결론이 $\limsup$에 대해서도 성립해야 할 것 같습니다. 구체적으로,
+
+$$\int _ E \limsup _ {n \rightarrow\infty} f _ n \,d{\mu} \geq \limsup _ {n \rightarrow\infty} \int _ E f _ n \,d{\mu}$$
+
+일 것 같습니다. 안타깝게도 이는 성립하지 않습니다. 반례로 앞서 소개한 $\chi _ {[n, \infty)}$를 한 번 더 가져올 수 있습니다. 좌변을 계산해 보면 0이지만, 우변을 계산해 보면 $\infty$입니다. 나중에 소개하겠지만, $\lvert f _ n \rvert \leq g$ 를 만족하는 함수 $g \in \mathcal{L}^{1}$ 가 존재해야 위 부등식이 성립합니다.
+
+## Properties of the Lebesgue Integral
+
+르벡 적분의 몇 가지 성질을 소개하고 마칩니다.
+
+1. $f$가 measurable이고 $E$에서 bounded이며 $\mu(E) < \infty$ 일 때, 적당한 실수 $M > 0$ 에 대하여 $\lvert f \rvert \leq M$ 이므로
+
+	$$\int _ E \lvert f \rvert \,d{\mu} \leq \int _ E M \,d{\mu} = M\mu(E) < \infty$$
+
+	임을 알 수 있습니다. 그러므로 $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 입니다. $E$의 measure가 finite라는 가정 하에, bounded function은 모두 르벡 적분 가능합니다.
+
+2. $f, g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 이고 $E$에서 $f \leq g$ 일 때, 단조성이 성립함을 보이려고 합니다. 앞에서는 $0 \leq f \leq g$ 인 경우에만 단조성을 증명했었는데, 이를 확장하여 함수가 음의 값을 가지는 경우에도 증명하고 싶습니다. 그러므로 양수인 부분과 음수인 부분을 나누어 고려하여 다음과 같이 적을 수 있습니다.
+
+	$$\chi _ E (x) f^+(x) \leq \chi _ E(x) g^+(x), \qquad \chi _ E(x) g^-(x) \leq \chi _ E (x) f^-(x)$$
+
+	이로부터
+
+	$$\int _ E f^+ \,d{\mu} \leq \int _ E g^+ \,d{\mu} < \infty, \qquad \int _ E g^- \,d{\mu} \leq \int _ E f^- \,d{\mu} < \infty$$
+
+	를 얻습니다. 따라서
+
+	$$\int _ E f\,d{\mu} \leq \int _ E g \,d{\mu}$$
+
+	가 성립하고, 함수가 음의 값을 가지는 경우에도 단조성이 성립함을 알 수 있습니다.
+
+3. $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$, $c \in \mathbb{R}$ 라 하면 $cf \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 입니다. 왜냐하면
+
+	$$\int _ E \lvert c \rvert\lvert f \rvert \,d{\mu} = \lvert c \rvert \int _ E \lvert f \rvert\,d{\mu} < \infty$$
+
+	이기 때문입니다. 적분이 가능하니 실제 적분값을 계산할 때 선형성이 성립했으면 좋겠습니다. 앞에서는 음이 아닌 실수에 대해서만 증명했었는데, 이도 마찬가지로 확장하려 합니다. $c < 0$ 인 경우만 보이면 됩니다. 이 때, $(cf)^+ = -cf^-$, $(cf)^- = -cf^+$ 이므로, 다음이 성립합니다.
+
+	$$\int _ E cf \,d{\mu} = \int _ E (cf)^+ - \int _ E (cf)^- \,d{\mu} = -c \int _ E f^- \,d{\mu} - (-c) \int _ E f^+ \,d{\mu} = c\int _ E f\,d{\mu}.$$
+
+4. Measurable function $f$에 대하여 $E$에서 $a \leq f(x) \leq b$ 이고 $\mu(E) < \infty$ 일 때 다음이 성립합니다.
+
+	$$\int _ E a \chi _ E \,d{\mu} \leq \int _ E f\chi _ E \,d{\mu} \leq \int _ E b \chi _ E \,d{\mu} \implies a \mu(E) \leq \int _ E f \,d{\mu} \leq b \mu(E).$$
+
+	$f$가 르벡 적분 가능하다는 사실은 $f$가 bounded라는 사실을 이용합니다.
+
+5. $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 와 measurable set $A \subseteq E$ 가 주어지는 경우, $f$는 $E$의 부분집합인 $A$ 위에서도 르벡 적분 가능합니다. 이는 다음 부등식에서 확인할 수 있습니다.
+
+	$$\int _ A \lvert f \rvert \,d{\mu} \leq \int _ E \lvert f \rvert\,d{\mu} < \infty.$$
+
+6. 만약 measure가 0인 집합에서 적분을 하면 어떻게 될까요? $\mu(E) = 0$ 라 하고, measurable function $f$를 적분해 보겠습니다. 여기서 $\min\lbrace \lvert f \rvert, n\rbrace\chi _ E$ 도 measurable이며 $n \rightarrow\infty$ 일 때 $\min\lbrace \lvert f \rvert, n\rbrace\chi _ E \nearrow \lvert f \rvert\chi _ E$ 임을 이용합니다. 마지막으로 단조 수렴 정리를 적용하면
+
+	$$\begin{aligned}                    \int _ E \lvert f \rvert \,d{\mu} &= \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ E \min\lbrace \lvert f \rvert, n\rbrace \,d{\mu} \\                    &\leq \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ E n \,d{\mu} = \lim _ {n \rightarrow\infty} n\mu(E) = 0                  \end{aligned}$$
+
+	임을 얻습니다. 따라서 $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 이고, $\displaystyle\int _ E f \,d{\mu} = 0$ 가 되어 적분값이 0임을 알 수 있습니다. 즉, measure가 0인 집합 위에서 적분하면 그 결과는 0이 됩니다.[^1]
+
+[^1]: 편의상 $0\cdot\infty = 0$ 으로 정의했기 때문에 $f \equiv \infty$ 인 경우에도 성립합니다.

_posts/mathematics/measure-theory/2023-04-07-dominated-convergence-theorem.md

@@ -2,15 +2,21 @@
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-categories: [Mathematics, Measure Theory]
-tags: [math, analysis, measure-theory]
-title: "07. Dominated Convergence Theorem"
-date: "2023-04-07"
-github_title: "2023-04-07-dominated-convergence-theorem"
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+  - Mathematics
+  - Measure Theory
+path: _posts/mathematics/measure-theory
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+  - math
+  - analysis
+  - measure-theory
+title: 07. Dominated Convergence Theorem
+date: 2023-04-07
+github_title: 2023-04-07-dominated-convergence-theorem
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-  folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
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 ---
 
 ## Almost Everywhere
@@ -149,7 +155,7 @@ $$[f] = \lbrace g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu) : f \sim g\rbrace.$$
 
 마지막 수렴정리를 소개하고 수렴정리와 관련된 내용을 마칩니다. 지배 수렴 정리(dominated convergence theorem, DCT)로 불립니다.
 
-![mt-07.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-07.png)
+![mt-07.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-07.png)
 
 **정리.** (지배 수렴 정리) Measurable set $E$와 measurable function $f$에 대하여, $\lbrace f _ n\rbrace$이 measurable function의 함수열이라 하자. $E$의 거의 모든 점 위에서 극한 $f(x) = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow\infty} f _ n(x)$ 가 $\overline{\mathbb{R}}$에 존재하고 (점별 수렴) $\lvert f _ n \rvert \leq g \quad \mu$-a.e. on $E$ ($\forall n \geq 1$) 를 만족하는 $g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 가 존재하면,
 

_posts/mathematics/measure-theory/2023-06-20-comparison-with-riemann-integral.md

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+  - Mathematics
+  - Measure Theory
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+  - math
+  - analysis
+  - measure-theory
+title: 08. Comparison with the Riemann Integral
+date: 2023-06-20
+github_title: 2023-06-20-comparison-with-riemann-integral
+image:
+  path: /assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-08.png
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+---
+
+![mt-08.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-08.png)
+
+## Comparison with the Riemann Integral
+
+먼저 혼동을 막기 위해 Lebesgue measure $m$에 대하여 르벡 적분을
+
+$$\int _ {[a, b]} f \,d{m} = \int _ {[a, b]} f \,d{x} = \int _ a^b f \,d{x}$$
+
+와 같이 표기하고, 리만 적분은
+
+$$\mathcal{R}\int _ a^b f\,d{x}$$
+
+로 표기하겠습니다.
+
+**정리.** $a, b \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $a < b$ 이고 함수 $f$가 유계라고 하자.
+
+1. $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 이면 $f \in \mathcal{L}^{1}[a, b]$ 이고 $\displaystyle\int _ a^b f\,d{x} = \mathcal{R}\int _ a^b f \,d{x}$ 이다.
+
+2. $f \in \mathcal{R}[a, b]$ $\iff$ $f$가 연속 $m$-a.e. on $[a, b]$.
+
+쉽게 풀어서 적어보면, (1)은 $f$가 $[a, b]$에서 리만 적분 가능하면 르벡 적분 또한 가능하며, 적분 값이 같다는 의미입니다. 즉 르벡 적분이 리만 적분보다 더 강력하다는 것을 알 수 있습니다.
+
+또한 (2)는 리만 적분 가능성에 대한 동치 조건을 알려줍니다. Almost everywhere라는 조건이 붙었기 때문에, $\mathcal{L}^1$의 equivalence class를 고려하면 사실상 연속함수에 대해서만 리만 적분이 가능하다는 뜻이 됩니다.
+
+**증명.** $k \in \mathbb{N}$ 에 대하여 구간 $[a, b]$의 분할 $P _ k = \lbrace a = x _ 0^k < x _ 1^k < \cdots < x _ {n _ k}^k = b\rbrace$ 를 잡는다. 단 $P _ k \subseteq P _ {k+1}$ (refinement) 이고 $\lvert x _ {i}^k - x _ {i-1}^k \rvert < \frac{1}{k}$ 이 되도록 한다.
+
+그러면 리만 적분의 정의로부터
+
+$$\lim _ {k \rightarrow\infty} L(P _ k, f) = \mathcal{R}\underline{\int _ {a}^{b}} f\,d{x}, \quad \lim _ {k \rightarrow\infty} U(P _ k, f) = \mathcal{R} \overline{\int _ {a}^{b}} f \,d{x}$$
+
+임을 알 수 있다.
+
+이제 measurable simple function $U _ k, L _ k$를 다음과 같이 잡는다.
+
+$$U _ k = \sum _ {i=1}^{n _ k} \sup _ {x _ {i-1}^k \leq y \leq x _ {i}^k} f(y) \chi _ {(x _ {i-1}^k, x _ i^k]}, \quad L _ k = \sum _ {i=1}^{n _ k} \inf _ {x _ {i-1}^k \leq y \leq x _ {i}^k} f(y) \chi _ {(x _ {i-1}^k, x _ i^k]}.$$
+
+그러면 구간 $[a, b]$ 위에서 $L _ k \leq f \leq U _ k$인 것은 당연하고, 르벡 적분이 가능하므로
+
+$$\int _ a^b L _ k \,d{x} = L(P _ k, f), \quad \int _ a^b U _ k \,d{x} = U(P _ k, f)$$
+
+이 됨을 알 수 있다. 여기서 $P _ k \subseteq P _ {k + 1}$ 이 되도록 잡았기 때문에, $L _ k$는 증가하는 수열, $U _ k$는 감소하는 수열이다.
+
+그러므로
+
+$$L(x) = \lim _ {k \rightarrow\infty} L _ k(x), \quad U(x) = \lim _ {k \rightarrow\infty} U _ k(x)$$
+
+로 정의했을 때, 극한이 존재함을 알 수 있다. 여기서 $f, L _ k, U _ k$가 모두 유계인 함수이므로 지배 수렴 정리에 의해
+
+$$\int _ a^b L \,d{x} = \lim _ {k \rightarrow\infty} \int _ a^b L _ k \,d{x} = \lim _ {k \rightarrow\infty} L(P _ k, f) = \mathcal{R}\underline{\int _ {a}^{b}} f\,d{x} < \infty,$$
+
+$$\int _ a^b U\,d{x} = \lim _ {k \rightarrow\infty} \int _ a^b U _ k \,d{x} = \lim _ {k \rightarrow\infty} U(P _ k, f) = \mathcal{R} \overline{\int _ {a}^{b}} f \,d{x} < \infty$$
+
+이므로 $L, U \in \mathcal{L}^{1}[a, b]$ 이다.
+
+위 사실을 종합하면 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 일 때,
+
+$$\mathcal{R}\underline{\int _ {a}^{b}} f\,d{x} = \mathcal{R}\overline{\int _ {a}^{b}} f\,d{x}$$
+
+이므로
+
+$$\int _ a^b (U - L)\,d{x} = 0$$
+
+가 되어 $U = L$ $m$-a.e. on $[a, b]$라는 사실을 알 수 있다. 역으로 이를 거꾸로 읽어보면 $U = L$ $m$-a.e. on $[a, b]$일 때 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 가 되는 것 또한 알 수 있다.
+
+(1) 위 논의에 의해 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 이면 $f = U = L$ a.e. on $[a, b]$ 이다. 따라서 $f$는 measurable.
+
+$$\int _ a^b f \,d{x} = \mathcal{R}\int _ a^b f\,d{x} < \infty \implies f \in \mathcal{L}^{1}[a, b].$$
+
+(2) 만약 $x \notin \bigcup _ {k=1}^{\infty} P _ k$ 라고 가정하면, 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 충분히 큰 $n \in \mathbb{N}$ 을 잡았을 때 적당한 $j _ 0 \in \mathbb{N}$ 이 존재하여 $x \in (t _ {j _ 0-1}^n, t _ {j _ 0}^n)$ 이면서
+
+$$\lvert L _ n(x) - L(x) \rvert + \lvert U _ n(x) - U(x) \rvert < \epsilon$$
+
+이 되도록 할 수 있다. 그러면 $y \in (t _ {j _ 0-1}^n, t _ {j _ 0}^n)$ 일 때
+
+$$\begin{aligned}        \lvert f(x) - f(y) \rvert & \leq M _ {j _ 0}^n - m _ {j _ 0}^n = M _ {j _ 0}^n - U(x) + U(x) - L(x) + L(x) - m _ {j _ 0}^n \\                          & \leq U(x) - L(x) + \epsilon    \end{aligned}$$
+
+가 됨을 알 수 있다.
+
+위 부등식에 의해 $y \in \lbrace x : U(x) = L(x)\rbrace \setminus\bigcup _ {k=1}^{\infty} P _ k$ 이면 $f$가 $y$에서 연속임을 알 수 있게 된다.
+
+따라서, $f$가 연속인 점들의 집합을 $C _ f$라 하면
+
+$$\lbrace x : U(x) = L(x)\rbrace \setminus\bigcup _ {k=1}^{\infty} P _ k \subseteq C _ f \subseteq\lbrace x : U(x) = L(x)\rbrace$$
+
+이 된다. 한편 $\bigcup _ {k=1}^{\infty} P _ k$는 measure가 0 이므로, $U = L$ $m$-a.e. 인 것과 $f$가 연속 $m$-a.e. 인 것은 동치이다. 위 논의의 결과를 이용하면 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 인 것과 $f$가 연속 $m$-a.e. 인 것은 동치이다.
+
+아래는 증명의 부산물입니다.
+
+**참고.**
+
+1. $x \notin \bigcup _ {k=1}^\infty P _ k$ 이면 $f$가 $x$에서 연속 $\iff f(x) = U(x) = L(x)$ 이다.
+
+2. $L(x) \leq f(x) \leq U(x)$ 이고 measurable function의 극한인 $L(x), U(x)$ 또한 measurable이다.
+
+3. $f$가 유계라는 조건이 있기 때문에 $f \geq 0$ 인 경우만 생각해도 충분하다. $\lvert f \rvert \leq M$ 라고 하면 $f$ 대신 $f + M$ 을 생각하면 되기 때문이다.
+
+이제 리만 적분의 유용한 성질들을 가지고 와서 사용할 수 있습니다.
+
+1. $f \geq 0$ 이고 measurable일 때, $f _ n = f\chi _ {[0, n]}$으로 정의한다. 단조 수렴 정리에 의해
+
+	$$\int _ 0^\infty f \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ 0^\infty f _ n \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ 0^n f \,d{x}$$
+
+	이다. 마지막 적분을 리만 적분으로 계산할 수 있다.
+
+2. 닫힌 유계 구간 $I \subseteq(0, \infty)$ 에 대하여 $f \in \mathcal{R}(I)$ 라 하면 $f \in \mathcal{L}^{1}(I)$ 이다. $f _ n = f\chi _ {[0, n]}$ 으로 잡으면 $\lvert f _ n \rvert \leq f$ 이므로 지배 수렴 정리를 적용하여
+
+	$$\int _ 0^\infty f \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ 0^\infty f _ n \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ 0^n f \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \mathcal{R} \int _ 0^n f \,d{x}$$
+
+	임을 알 수 있다.
+
+마찬가지로 $f _ n = f\chi _ {(1/n, 1)}$ 으로 잡은 경우에도 지배 수렴 정리에 의해
+
+$$\int _ 0^1 f\,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ {0}^1 f _ n \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty}\int _ {1/n}^1 f \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \mathcal{R}\int _ {1/n}^1 f \,d{x}$$
+
+이 된다.

_tabs/about.md

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-{: .prompt-tip }
+# Sungchan Yi
+
+- Last updated: 2025-11-20
+- Email: [calofmijuck at snu dot ac dot kr](mailto:calofmijuck@snu.ac.kr)
+
+**Research Interests**: computer architecture, hardware-software co-design, cryptography, formal verification
+
+## Education
+
+**Seoul National University** (Sept. 2024 ~ Present)
+
+- M.S. Candidate in Computer Science and Engineering at [Architecture and Code Optimization Lab](https://arc.snu.ac.kr)
+- **Advisor**: Professor Jae W. Lee
+- GPA: 4.18/4.3
+
+**Seoul National University** (Mar. 2017 ~ Feb. 2024)
+
+- B.S. in Computer Science and Engineering, Minor in Mathematical Sciences
+- GPA: 3.96/4.3 (Summa Cum Laude)
+
+## Research Experience
+
+[**Architecture and Code Optimization Lab**](https://arc.snu.ac.kr), *M.S. Candidate* (Mar. 2024 ~ Present)
+
+- Leading **Software Defined Manycores** project
+
+[**Cryptography & Privacy Lab**](https://crypto.snu.ac.kr), *Undergraduate Research Assistant* (Jan. 2024 ~ Feb. 2024)
+
+- Implemented generalized BFV scheme with bootstrapping based on CKKS bootstrapping techniques
+- Analyzed automorphism group of the plaintext space and determined their effects on ciphertext
+
+[**Software Foundations Lab**](https://sf.snu.ac.kr), *Undergraduate Research Assistant* (Jul. 2023 ~ Oct. 2023)
+
+- Implemented stack variable merging optimization that reduces memory allocation calls and tried to prove its correctness with Rocq theorem prover
+
+[**Architecture and Code Optimization Lab**](https://arc.snu.ac.kr), *Undergraduate Research Assistant* (Jan. 2023 ~ Mar. 2023)
+
+- Implemented a parametrized experiment framework to automate training and evaluation of various CNN models with different activation functions and their knowledge distillation based ReLUifications
+- Quantified benefits of ReLUification on sparsity-aware NPU for Samsung mobile SoC in terms of memory footprint and computation reduction
+
+## Work Experience
+
+[**Scatterlab**](https://scatterlab.co.kr), *Software Reliability / Security Engineer* (Nov. 2020 ~ Sept. 2022)
+
+- Spring Boot (Java) Backend, Docker/Kubernetes, AWS Cloud Security and Operations
+- Led cloud security project, co-worked with AWS to completely rebuild and secure the cloud infrastructure
+- Led software reliability team, cut server operation costs with spot instances and container orchestration
+
+[**Logpresso**](https://logpresso.com/en), *Big Data Platform Engineer* (Jul. 2019 ~ Oct. 2020)
+
+- Implemented loggers, parsers, and query commands that collect and analyze data from various sources, applied software-level optimizations to improve performance
+- Optimized distributed security operation system from pull to push architecture to reduce latency
+
+## Publications
+
+- **Sungchan Yi**, Keun Soo Lim, Hoyeon Jo, Sungjun Jung, Minwoo Kwak, Dongoh Kim, Luigi Cussigh, Seong Hoon Seo, Jinkyu Jeong, Jae W. Lee, "Software-Defined Manycores via Hardware-Managed Preemptive Coroutine Scheduling", _International Symposium on Computer Architecture (ISCA)_, 2026. (Submitted)
+- **[ACCV'24]** Soosung Kim, Yeonhong Park, Hyunseung Lee, **Sungchan Yi**, and Jae W. Lee, "ReLUifying Smooth Functions: Low-Cost Knowledge Distillation to Obtain High-Performance ReLU Networks", _Asian Conference on Computer Vision (ACCV)_, Hanoi, Vietnam, December 2024. ([PDF](https://arc.snu.ac.kr/pubs/ACCV24_ReLU.pdf))
+- **Sungchan Yi**, "Secure IAM on AWS with Multi-Account Strategy", _Undergraduate Thesis_, December 2023. **Outstanding Undergraduate Thesis Award.** ([PDF](https://arxiv.org/pdf/2501.02203))
+
+## Honors & Awards
+
+**Outstanding Undergraduate Thesis Award**
+
+- Title: Secure IAM on AWS using Multi-Account Strategy
+
+**Top Prize in Hacking and Defense Contest 2021**
+
+- Awarded by Korea Internet & Security Agency (KISA)
+- Topic: Design and Operation of Secure Cloud Architectures
+
+**Kwanjeong Educational Foundation Scholarship**
+
+- Full tuition and fees for 2 years of undergraduate studies
+
+## Extracurricular Activities
+
+**Web Administrator of Architecture and Code Optimization Lab**
+
+- Responsible for maintaining the web infrastructure: website, cloud, accounts, wiki, etc.
+- Installation of convenient tools such as shared password manager and schedule notification system
+
+**Seoul National University College of Engineering Honor Society** (Mar. 2022 ~ Aug. 2023)
+
+- SNU Tomorrow’s Edge Membership (STEM)
+- **Web Administrator**: reduced cloud infrastructure costs by 50% and installed shared storage
+
+**Guardian**, Seoul National University Security Club (2018 ~ Present)
+
+- Former president of the club in 2019
+- Taught basic Linux, x86 assembly, and C programming to new members
+- Created 30 linux/x86 assembly wargame challenges for members to practice
+
+## Technical Skills & Interests
+
+- **Programming Languages**: C/C++, Java, Python, Golang, Coq
+- **Architectural Simulators**: gem5
+- **DevOps**: Docker, Kubernetes, AWS
+- System/cloud security, cryptography
+- Compilers and formal verification
+- Mathematics in general, especially algebra and analysis
+
+## Language Proficiency
+
+Fluent in **English** and native in **Korean**
+
+- **IBT TOEFL**: 113 (Reading: 30, Listening: 30, Speaking: 26, Writing: 27)

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