
\prob{
    이차방정식 \(x^2 + bx + c = 0\) 의 근을 판별하고, 다음 부정적분
    \[
        \int \frac{dx}{x^2 + bx + c}
    \]
    을 계산하여라. (Hint. 허근을 가지는 경우 \(\ds x + \frac{b}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{4c - b^2}\tan\theta\) 로 치환한다.)
}

\vspace*{250px}

\prob{
    상수 \(k\)에 대하여, \(\ds \varphi(n) = \int (1 + k\cos)^{-n}\,dx\) 로 정의하자. 다음을 보여라.
    \[
        (n-1)(1-k^2) \varphi(n) = -k\sin x (1 + k\sin x)^{1-n} + (2n-3) \varphi(n-1) - (n-2) \varphi(n-2)
    \]
}

\pagebreak

\prob{
    다음 부정적분을 계산하여라.
    \begin{enumerate}
        \item \(\ds \int \frac{dx}{x^{n+1} (x^n + a)}\) (\(n\)은 자연수)
        \item \(\ds \int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)}\,dx\)
        \item \(\ds \int \frac{dx}{\sin 2x - \sin x}\)
        \item \(\ds \int \sin^9 x \sqrt[5]{\cos^4 x}\,dx\)
        \item \(\ds \int \frac{\sin^5 2x}{\cos^4 2x}\,dx\)
        \item \(\ds \int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x}\,dx\)
        \item \(\ds \int \frac{dx}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}\)
        \item \(\ds \int \frac{x^4 - 1}{x^2 \sqrt{x^4 - x^2 + 1}}\,dx\)
        \item \(\ds \int \sqrt{x + \sqrt{2 + x^2}}\,dx\)
        \item \(\ds \int \frac{xe^{-x}}{(1 - x)^2}\,dx\)
    \end{enumerate}
}

\pagebreak

\prob{
    다음 정적분을 계산하여라.
    \begin{enumerate}
        \item \(\ds \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + (\tan x)^{\sqrt{2}}}\)
        \item \(\ds \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cot x \, dx\)
        \item \(\ds \int_0^\pi (1 + \sqrt[3]{\cos x})\,dx\)
        \item \(\ds \int_0^\pi x \ln x \sin x \,dx\)
        \item \(\ds \int_0^1 \frac{\ln (1 + x)}{1 + x^2} \,dx\)
        \item \(\ds \int_0^1 \tan\inv x \,dx\)
    \end{enumerate}
}

\pagebreak

\prob{
    \(x \neq 0\) 일 때, \(\ds g(x) = \lim_{n\ra\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{kx^2 + 3n}\) 을 계산하고, \(\ds \lim_{x \ra 0} g(x)\) 의 값을 구하여라.
}

\vspace*{230px}

\prob{
    자연수 \(n\)과 양의 실수 \(a\)에 대하여 다음 물음에 답하여라.
    \begin{enumerate}
        \item \(\ds \int_1^{\sqrt[n]{a}} \frac{1}{x}\,dx\) 를 계산하여라.
        \item \(\ds 1 - \frac{1}{\sqrt[n]{a}} \leq \frac{1}{n} \ln a \leq \sqrt[n]{a} - 1\) 임을 보여라.
        \item \(\ds \lim_{n\ra\infty} n (\sqrt[n]{a} - 1)\) 의 값을 구하여라.
    \end{enumerate}
}

\pagebreak

\prob{
    자연수 \(n\)에 대하여 함수 \(f : \R \ra \R\) 의 \(n\)계 도함수를 \(f^{(n)}\)와 같이 표기하자. 단, \(f^{(0)} = f\) 이다.
    \begin{enumerate}
        \item \([fg]^{(n)} = \ds \sum_{r=0}^n {}_n\rm{C}_r f^{(r)}g^{(n-r)}\) 임을 보여라.
        \item \(f(x) = x \cos x\) 일 때, \(f^{(n)}(x)\)를 구하여라.
    \end{enumerate}
}

\vspace*{250px}

\prob{
    \(\pi^e\)와 \(e^{\pi}\)의 대소를 비교하여라.
}

\pagebreak

\prob{
    자연수 \(n\)에 대하여 \(x \geq 0\) 일 때, \(e^{x} > \dfrac{x^n}{n!}\) 임을 보이고,
    \[
        \lim_{x \ra \infty} \int_0^x t^n e^{-t}\,dt
    \]
    의 값을 구하여라.
}

\vspace*{230px}

\prob{
    구간 \([0, 1]\)에서 정의된 미분 가능한 함수 \(f\)가 \(f(f(x)) = x\), \(f(0) = 1\)을 만족할 때,
    \[
        \int_0^1 [x - f(x)]^{2024}\,dx
    \]
    의 값을 구하여라.
}

\pagebreak

\prob{
    구간 \(I\)에서 아래로 볼록인 미분 가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여, 다음을 보여라.
    \begin{center}
        임의의 \(a, b \in I\) 에 대하여 \(\ds f\paren{\frac{a+b}{2}} \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx \leq \frac{f(a) + f(b)}{2}\) 이다.
    \end{center}
}

\vspace*{250px}

\prob{
    \(\cos 3x\)를 \(\cos x\)로 나타내고, 이를 이용하여 \(\cos 20^\circ\)는 무리수임을 보여라.
}

\pagebreak

\prob{
    \(0 \leq x \leq \pi\) 에서 \(\sin (\cos x) < \cos (\sin x)\) 임을 보여라.
}

\vspace*{230px}

\prob{
    정수 \(k\)에 대하여 \(\alpha \neq k\pi\) 일 때, 다음 극한을 계산하여라.
    \[
        \lim_{n \ra \infty} \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2^2} \cdots \cos \frac{\alpha}{2^n}
    \]
}

\pagebreak

\prob{
    다음 물음에 답하여라.
    \begin{enumerate}
        \item \(\ds a_1 = \frac{1}{2}\) 이고, \(\ds a_{n+1} = \sqrt{\frac{1 + a_n}{2}}\) 일 때, \(\ds \lim_{n\ra \infty} 4^n(1-a_n)\) 의 값을 구하여라.
        \item \(a_1 = 1\) 이고, \(\ds a_{n+1} = \frac{\sqrt{a_n^2 + 1} - 1}{a_n}\) 일 때, \(\ds \lim_{n\ra\infty} 2^n a_n\) 의 값을 구하여라.
    \end{enumerate}
}

\vspace*{240px}

\prob{
    자연수 \(n\)에 대하여 반지름의 길이가 \(1/n\)인 원들을 반지름의 길이가 \(1\)인 원에 외접시킬 때, 외접하는 원의 최대 개수를 \(a_n\)이라 하자. \(\ds \lim_{n\ra\infty} \frac{a_n}{n}\) 의 값을 구하여라.
}

\pagebreak

\prob{
    함수 \(\ds f(x) = e^x - \frac{e}{6}x^3\) 에 대하여 다음 물음에 답하여라.
    \begin{enumerate}
        \item 함수 \(f'(x)\)는 실수 전체에서 증가하는 함수임을 보여라.
        \item 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + f'(x)) \geq f(x)\) 임을 보여라.
    \end{enumerate}
}

\vspace*{230px}

\prob{
    \(\abs{x} \leq 1\) 에서 정의된 함수 \(f(x) = 1 - 2\abs{x}\) 에 대하여 \(f^2 = f \circ f\), \(f^{n+1} = f^n \circ f\) (\(n \geq 2\)인 자연수) 라고 정의하자. 다음 값을 구하여라.
    \[
        \int_{-1}^1 f^{2024}(x)\,dx
    \]
}

\pagebreak

\prob{
    다음 부등식을 보여라.
    \[
        \frac{1}{3} < \int_0^1 x^{(\sin x + \cos x)^2}\,dx < \frac{1}{2}
    \]
}

\vspace*{250px}

\prob{
    다음을 계산하여라.
    \[
        \lim_{t \ra \infty} \int_0^t \frac{dx}{(1 + x^2)(1 + \sqrt{1 + x^2})}
    \]
}
