blog/_posts/mathematics/measure-theory/2023-01-23-construction-of-measure.md

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이제 본격적으로 집합을 재보도록 하겠습니다. 우리가 잴 수 있는 집합들부터 시작합니다. $\mathbb{R}^p$에서 논의할 건데, 이제 여기서부터는 $\mathbb{R}$의 구간의 열림/닫힘을 모두 포괄하여 정의합니다. 즉, $\mathbb{R}$의 구간이라고 하면 [a, b], (a, b), [a, b), (a, b] 네 가지 경우를 모두 포함합니다.

Elementary Sets

정의. ($\mathbb{R}^p$의 구간) a _ i, b _ i \in \mathbb{R}, a _ i \leq b _ i 라 하자. $I _ i$가 $\mathbb{R}$의 구간이라고 할 때, $\mathbb{R}^p$의 구간은

\prod _ {i=1}^p I _ i = I _ 1 \times \cdots \times I _ p

와 같이 정의한다.

예를 들어 $\mathbb{R}^2$의 구간이라 하면 직사각형 영역, $\mathbb{R}^3$의 구간이라 하면 직육면체 영역을 떠올릴 수 있습니다. 단, 경계는 포함되지 않을 수도 있습니다.

이러한 구간들을 유한개 모아 합집합하여 얻은 집합을 모아 elementary set이라 합니다.

정의. (Elementary Set) 어떤 집합이 유한개 구간의 합집합으로 표현되면 그 집합을 elementary set이라고 한다. 그리고 $\mathbb{R}^p$의 elementary set의 모임을 $\Sigma$로 표기한다.

임의의 구간은 유계입니다. 따라서 구간의 유한한 합집합도 유계일 것입니다.

참고. 임의의 elementary set은 유계이다.

Elementary set의 모임에서 집합의 연산을 정의할 수 있을 것입니다. 이 때, $\Sigma$가 ring이 된다는 것을 간단하게 확인할 수 있습니다.

명제. $\Sigma$는 ring이다. 하지만 전체 공간인 $\mathbb{R}^p$를 포함하고 있지 않기 때문에 $\sigma$-ring은 아니다.

구간의 길이를 재는 방법은 아주 잘 알고 있습니다. 유한개 구간의 합집합인 elementary set에서도 쉽게 잴 수 있습니다. 이제 길이 함수 m: \Sigma \rightarrow[0, \infty) 을 정의하겠습니다. 아직 measure는 아닙니다.

정의. a _ i, b _ i \in \mathbb{R} 가 구간 $I _ i$의 양 끝점이라 하자. $\mathbb{R}^p$의 구간 I = \displaystyle\prod _ {i=1}^p I _ i 에 대하여,

m(I) = \prod _ {i=1}^p (b _ i - a _ i)

로 정의한다.

정의. $I _ i$가 쌍마다 서로소인 $\mathbb{R}^p$의 구간이라 하자. A = \displaystyle\bigcup _ {i=1}^n I _ i 에 대하여

m(A) = \sum _ {i=1}^n m(I _ i)

로 정의한다.

$\mathbb{R}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3$에서 생각해보면 $m$은 곧 길이, 넓이, 부피와 대응되는 함수임을 알 수 있습니다. 또한 쌍마다 서로소인 구간의 합집합에 대해서는 각 구간의 함숫값을 더한 것으로 정의합니다. 어떤 집합을 겹치지 않게 구간으로 나눌 수 있다면, 집합의 ‘길이’가 각 구간의 ‘길이’ 합이 되는 것은 자연스럽습니다.

그리고 이 정의는 well-defined 입니다. A \in \Sigma 에 대해서 서로소인 유한개 구간의 합집합으로 나타내는 방법이 유일하지 않아도, m 값은 같습니다.

참고. $m$은 \Sigma 위에서 additive이다. 따라서 m : \Sigma \rightarrow[0, \infty) 은 additive set function이다.

여기서 추가로 regularity 조건을 만족했으면 좋겠습니다.

정의. (Regularity) Set function \mu: \Sigma \rightarrow[0, \infty] 가 additive라 하자. 모든 A \in \Sigma 와 \epsilon > 0 에 대하여

닫힌집합 F \in \Sigma, 열린집합 G \in \Sigma 가 존재하여 F \subseteq A \subseteq G 이고 \mu(G) - \epsilon \leq \mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon

이면 $\mu$가 \Sigma 위에서 regular하다고 정의한다.

위에서 정의한 $m$이 regular한 것은 쉽게 확인할 수 있습니다.

이제 set function \mu: \Sigma \rightarrow[0, \infty) 가 finite, regular, additive 하다고 가정합니다.

정의. (Outer Measure) E \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^p) 의 outer measure \mu^\ast: \mathcal{P}(\mathbb{R}^p) \rightarrow[0, \infty] 는

\mu^\ast(E) = \inf \left\lbrace \sum _ {n=1}^\infty \mu(A _ n) : \text{열린집합 } A _ n \in \Sigma \text{ 에 대하여 } E \subseteq\bigcup _ {n=1}^\infty A _ n\right\rbrace.

로 정의한다.

Outer measure라 부르는 이유는 $E$의 바깥에서 길이를 재서 근사하기 때문입니다. Outer measure는 모든 power set에 대해서 정의할 수 있으니, 이를 이용해서 모든 집합을 잴 수 있으면 좋겠습니다. 하지만 measure가 되려면 countably additive 해야하는데, 이 조건이 가장 만족하기 까다로운 조건입니다. 실제로 countably additive 조건이 성립하지 않습니다.

참고.

• \mu^\ast \geq 0 이다.

• E _ 1 \subseteq E _ 2 이면 \mu^\ast(E _ 1) \leq \mu^\ast(E _ 2) 이다. (단조성)

정리.

1. A \in \Sigma 이면 \mu^\ast(A) = \mu(A).¹

2. Countable subadditivity가 성립한다.

   mu^\ast\left( \bigcup _ {n=1}^\infty E _ n \right) \leq \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(E _ n), \quad (\forall E _ n \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^p))$

증명.

(1) A \in \Sigma, \epsilon > 0 라 두자. $\mu$의 regularity를 이용하면, 열린집합 G \in \Sigma 가 존재하여 A \subseteq G 이고

\mu^\ast(A) \leq \mu(G) \leq \mu(A) + \epsilon

이다. $\mu^\ast$의 정의에 의해 열린집합 A _ n \in \Sigma 가 존재하여 A \subseteq\displaystyle\bigcup _ {n=1}^\infty A _ n 이고

\sum _ {n=1}^\infty \mu(A _ n) \leq \mu^\ast(A) + \epsilon

이다. 마찬가지로 regularity에 의해 닫힌집합 F \in \Sigma 가 존재하여 F\subseteq A 이고 \mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon 이다. F \subseteq\mathbb{R}^p 는 유계이고 닫힌집합이므로 compact set이고, finite open cover를 택할 수 있다. 즉, 적당한 N \in \mathbb{N} 에 대하여 F \subseteq\displaystyle\bigcup _ {i=1}^N A _ {i} 가 성립한다.

따라서

\mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon \leq \sum _ {i=1}^N \mu(A _ i) \leq \sum _ {i=1}^n \mu(A _ i) + \epsilon \leq \mu^\ast(A) + 2\epsilon

이제 \epsilon \rightarrow 0 로 두면 \mu(A) = \mu^\ast(A) 를 얻는다.

(2) 부등식의 양변이 모두 \infty 이면 증명할 것이 없으므로, 양변이 모두 유한하다고 가정하여 모든 n\in \mathbb{N} 에 대해 \mu^\ast(E _ n) < \infty 라 하자. \epsilon > 0 로 두고, 각 n \in \mathbb{N} 에 대하여 열린집합 A _ {n, k} \in \Sigma 가 존재하여 E _ n \subseteq\displaystyle\bigcup _ {k=1}^\infty A _ {n, k} 이고 \displaystyle\sum _ {k=1}^\infty \mu(A _ {n,k}) \leq \mu^\ast(E _ n) + 2^{-n}\epsilon 이다.

$\mu^\ast$는 하한(infimum)으로 정의되었기 때문에,

\mu^\ast\left( \bigcup _ {n=1}^\infty E _ n \right) \leq \sum _ {n=1}^\infty \sum _ {k=1}^\infty \mu(A _ {n,k}) \leq \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(E _ n) + \epsilon

가 성립하고, \epsilon \rightarrow 0 로 두면 부등식이 성립함을 알 수 있다.

$\mu$-measurable Sets

Countably additive 조건이 성립하는 집합들만 모아서 measure를 construct 하려고 합니다. 아래 내용은 이를 위한 사전 준비 작업입니다.

표기법. (대칭차집합) A \mathop{\mathrm{\triangle}}B = (A\setminus B) \cup (B \setminus A).

정의.

• d(A, B) = \mu^\ast(A \mathop{\mathrm{\triangle}}B) 로 정의한다.

• 집합열 $A _ n$에 대하여 d(A _ n, A) \rightarrow 0 이면 A _ n \rightarrow A 로 정의한다.

참고.

• A, B, C \in \mathbb{R}^p 에 대하여 d(A, B) \leq d(A, C) + d(C, B) 이다.

• A _ 1, B _ 2, B _ 1, B _ 2 \in \mathbb{R}^p 일 때, 다음이 성립한다.

  eft.\begin{array}{c}d(A _ 1 \cup A _ 2, B _ 1 \cup B _ 2) \\d(A _ 1 \cap A _ 2, B _ 1 \cap B _ 2) \\d(A _ 1 \setminus A _ 2, B _ 1 \setminus B _ 2)\end{array}\right\rbrace\leq d(A _ 1, B _ 1) + d(A _ 2, B _ 2).$$

정의. (Finitely $\mu$-measurable) 집합 A _ n \in \Sigma 이 존재하여 A _ n \rightarrow A 이면 $A$가 finitely $\mu$-measurable이라 한다. 그리고 finitely $\mu$-measurable한 집합의 모임을 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$로 표기한다.

위 정의는 $\mu$라는 set function에 의해 \mu^\ast (A _ n \mathop{\mathrm{\triangle}}A) \rightarrow 0 이 되는 elementary set $A _ n$이 존재한다는 의미입니다.

정의. ($\mu$-measurable) A _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 에 대하여 A = \displaystyle\bigcup _ {n=1}^\infty A _ n 이면 $A$가 $\mu$-measurable이라 한다. 그리고 $\mu$-measurable한 집합의 모임을 $\mathfrak{M}(\mu)$로 표기한다.

참고. \mu^\ast(A) = d(A, \varnothing) \leq d(A, B) + \mu^\ast(B).

명제. \mu^\ast(A) 또는 $\mu^\ast(B)$가 유한하면, 다음이 성립한다.

\lvert \mu^\ast(A) - \mu^\ast(B) \rvert \leq d(A, B).

따름정리. A \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 이면 \mu^\ast(A) < \infty 이다.

증명. A _ n \in \Sigma 가 존재하여 A _ n \rightarrow A 이고, N \in \mathbb{N} 이 존재하여

\mu^\ast(A) \leq d(A _ N, A) + \mu^\ast(A _ N) \leq 1 + \mu^\ast(A _ N) < \infty

이다.

따름정리. A _ n \rightarrow A 이고 A _ n, A \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 이면 \mu^\ast(A _ n)\rightarrow\mu^\ast(A) < \infty 이다.

증명. \mu^\ast(A), $\mu^\ast(A _ n)$가 유한하므로, n \rightarrow\infty 일 때 \lvert \mu^\ast(A _ n) - \mu^\ast(A) \rvert \leq d(A _ n, A) \rightarrow 0 이다.

Construction of Measure

준비가 끝났으니 measure를 construct 해보겠습니다! $\mathcal{P}(\mathbb{R}^p)$에서는 할 수 없지만 정의역을 $\mathfrak{M}(\mu)$로 조금 좁히면 measure가 된다는 뜻입니다.

정리. $\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-algebra 이고 $\mu^\ast$는 $\mathfrak{M}(\mu)$의 measure가 된다.

증명. $\mathfrak{M}(\mu)$가 $\sigma$-algebra이고 $\mu^\ast$가 $\mathfrak{M}(\mu)$에서 countably additive임을 보이면 충분하다.

(Step 0) $\mathfrak{M} _ F(\mu)$는 ring이다.

A, B \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 라 하자. 그러면 A _ n, B _ n \in \Sigma 이 존재하여 A _ n \rightarrow A, B _ n \rightarrow B 이 된다. 그러면

\left.\begin{array}{c}d(A _ n \cup B _ n, A \cup B) \\ d(A _ n \cap B _ n, A \cap B) \\ d(A _ n \setminus B _ n, A \setminus B)\end{array}\right\rbrace\leq d(A _ n, A) + d(B _ n, B) \rightarrow 0

이므로 A _ n \cup B _ n \rightarrow A \cup B, A _ n \setminus B _ n \rightarrow A\setminus B 이기 때문에 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$는 ring이다.

(Step 1) $\mu^\ast$는 \mathfrak{M} _ F(\mu) 위에서 additive이다.

\Sigma 위에서는 \mu = \mu^\ast 이므로, 위 따름정리에 의해

\begin{matrix} \mu(A _ n) \rightarrow\mu^\ast(A), & \mu(A _ n\cup B _ n) \rightarrow\mu^\ast(A\cup B), \\ \mu(B _ n) \rightarrow\mu^\ast(B), & \mu(A _ n\cap B _ n) \rightarrow\mu^\ast(A\cap B) \end{matrix}

가 성립함을 알 수 있다. 일반적으로 \mu(A _ n) + \mu(B _ n) = \mu(A _ n \cup B _ n) + \mu(A _ n \cap B _ n) 이므로 여기서 n \rightarrow\infty 로 두면

\mu^\ast(A) + \mu^\ast(B) = \mu^\ast(A\cup B) + \mu^\ast(A \cap B)

를 얻는다. A \cap B = \varnothing 라는 조건이 추가되면 $\mu^\ast$가 additive임을 알 수 있다.

(Step 2) \mathfrak{M} _ F(\mu) = \lbrace A \in \mathfrak{M}(\mu) : \mu^\ast(A) < \infty\rbrace.²

Claim. 쌍마다 서로소인 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$의 원소들을 잡아 이들의 합집합으로 A \in \mathfrak{M}(\mu) 를 표현할 수 있다.

증명. A _ n' \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 에 대하여 A = \bigcup A _ n' 로 두자.

A _ 1 = A _ 1', n \geq 2 이면 A _ n = A _ n' \setminus(A _ 1'\cup \cdots \cup A _ {n-1}')

와 같이 정의하면 $A _ n$이 쌍마다 서로소이고 A _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 임을 알 수 있다.

위 사실을 이용하여 A _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 에 대하여 A = \displaystyle\bigcup _ {n=1}^\infty A _ n 으로 두자.

1. Countable subadditivity에 의해 \displaystyle\mu^\ast(A) \leq \sum _ {n=1}^{\infty} \mu^\ast (A _ n) 가 성립한다.

2. Step 1에 의해 \displaystyle\bigcup _ {n=1}^k A _ n \subseteq A, \displaystyle\sum _ {n=1}^{k} \mu^\ast(A _ n) \leq \mu^\ast(A) 이다. k \rightarrow\infty 로 두면 \displaystyle\mu^\ast(A) \geq \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n) 임을 알 수 있다.

따라서 \displaystyle\mu^\ast(A) = \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n) 이다.^{3 4}

이제 B _ n =\displaystyle\bigcup _ {k=1}^n A _ k 로 두자. \mu^\ast(A) < \infty 를 가정하면 $\displaystyle\sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n)$의 수렴성에 의해

\displaystyle d(A, B _ n) = \mu^\ast\left( \bigcup _ {k=n+1}^\infty A _ k \right) = \sum _ {k=n+1}^{\infty} \mu^\ast(A _ i) \rightarrow 0 \text{ as } n \rightarrow\infty

임을 알 수 있다.

B _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 이므로 C _ n \in \Sigma 를 잡아 각 n \in \mathbb{N} 에 대하여 $d(B _ n, C _ n)$를 임의로 작게 만들 수 있다. 그러면 d(A, C _ n) \leq d(A, B _ n) + d(B _ n, C _ n) 이므로 충분히 큰 $n$에 대하여 $d(A, C _ n)$도 임의로 작게 만들 수 있다. 따라서 C _ n \rightarrow A 임을 알 수 있고 A \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 라는 결론을 내릴 수 있다.

(Step 3) $\mu^\ast$는 \mathfrak{M}(\mu) 위에서 countably additive이다.

A _ n \in \mathfrak{M}(\mu) 가 A \in \mathfrak{M}(\mu) 의 분할이라 하자. 적당한 m \in \mathbb{N} 에 대하여 \mu^\ast(A _ m) = \infty 이면

\mu^\ast\left( \bigcup _ {n=1}^\infty A _ n \right) \geq \mu^\ast(A _ m) = \infty = \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n)

이므로 countable additivity가 성립한다.

이제 모든 n\in \mathbb{N} 에 대하여 \mu^\ast(A _ n) < \infty 이면, Step 2에 의해 A _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 이고

\mu^\ast(A) = \mu^\ast\left( \bigcup _ {n=1}^\infty A _ n \right) = \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n)

가 성립한다.

(Step 4) $\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-ring이다.

A _ n \in \mathfrak{M}(\mu) 이면 B _ {n, k} \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 가 존재하여 \displaystyle A _ n = \bigcup _ k B _ {n,k} 이다. 그러면

\bigcup _ n A _ n = \bigcup _ {n, k} B _ {n, k} \in \mathfrak{M}(\mu)

이다.

A, B \in \mathfrak{M}(\mu) 라 하면 A _ n, B _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 에 대해 \displaystyle A = \bigcup A _ n, \displaystyle B = \bigcup B _ n 이므로,

A \setminus B = \bigcup _ {n=1}^\infty \left( A _ n \setminus B \right) = \bigcup _ {n=1}^\infty (A _ n\setminus(A _ n\cap B))

임을 알 수 있다. 그러므로 A _ n \cap B \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 인 것만 보이면 충분하다. 정의에 의해

A _ n \cap B = \bigcup _ {k=1}^\infty (A _ n \cap B _ k) \in \mathfrak{M}(\mu)

이고 \mu^\ast(A _ n \cap B) \leq \mu^\ast(A _ n) < \infty 이므로 A _ n\cap B \in \mathfrak{M} _ F(\mu) 이다. 따라서 A \setminus B 가 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$의 원소들의 countable 합집합으로 표현되므로 A\setminus B \in \mathfrak{M}(\mu) 이다.

따라서 $\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-ring이고 $\sigma$-algebra이다.

---

이제 \Sigma 위의 \mu 정의를 \mathfrak{M}(\mu) ($\sigma$-algebra)로 확장하여 \mathfrak{M}(\mu) 위에서는 \mu = \mu^\ast 로 정의합니다. \Sigma 위에서 \mu = m 일 때, 이와 같이 확장한 \mathfrak{M}(m) 위의 $m$을 Lebesgue measure on $\mathbb{R}^p$라 합니다. 그리고 A \in \mathfrak{M}(m) 를 Lebesgue measurable set이라 합니다.

---

1. $A$가 open이 아니면 자명하지 않은 명제입니다. ↩︎

2. $A$가 $\mu$-measurable인데 $\mu^\ast(A) < \infty$이면 $A$는 finitely $\mu$-measurable이다. ↩︎

3. $A$가 countable union of sets in $\mathfrak{M} _ F(\mu)$이므로 $\mu^\ast$도 각 set의 $\mu^\ast$의 합이 된다. ↩︎

4. 아직 증명이 끝나지 않았습니다. $A _ n$은 $\mathfrak{M}(\mu)$의 원소가 아니라 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$의 원소입니다. ↩︎