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_posts/Development/2024-02-26-secure-iam.md

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 categories:
   - Development
+path: _posts/development
 tags:
   - AWS
   - dev
 title: Secure IAM on AWS with Multi-Account Strategy
 date: 2024-02-26
 github_title: 2024-02-26-secure-iam
-image: /assets/img/posts/Development/separation-by-product.png
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-  folder: assets/img/posts/Development
+  folder: assets/img/posts/development
 ---
 
-![separation-by-product.png](../../assets/img/posts/Development/separation-by-product.png)
+![separation-by-product.png](../../assets/img/posts/development/separation-by-product.png)
 
 2024\. 2. B.S. Graduation Paper, Received Best Paper Award!
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-02-28-01-introducing-k8s.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops, docker]
 title: "01. Introducing Kubernetes"
 date: "2021-02-28"
 github_title: "2021-02-28-01-introducing-k8s"
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-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-01.jpeg
+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-01.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-01.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-01.jpeg) _Overview of Kubernetes Architecture (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-1)_
+![k8s-01.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-01.jpeg) _Overview of Kubernetes Architecture (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-1)_
 
 기존에는 소프트웨어가 커다란 덩어리였지만 최근에는 독립적으로 작동하는 작은 **마이크로서비스**(microservice)로 나뉘고 있다. 이들은 독립적으로 동작하기 때문에, 개발하고 배포하거나 스케일링을 따로 해줄 수 있다는 장점이 있으며, 이 장점은 빠르게 변화하는 소프트웨어의 요구사항을 반영하기에 적합하다.
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-03-07-02-first-steps.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops, docker]
 title: "02. First Steps with Docker and Kubernetes"
 date: "2021-03-07"
 github_title: "2021-03-07-02-first-steps"
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+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-02.jpeg
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+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-02.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-02.jpeg) _Running a container image in Kubernetes (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-2)_
+![k8s-02.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-02.jpeg) _Running a container image in Kubernetes (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-2)_
 
 도커와 쿠버네티스를 사용하여 간단한 애플리케이션을 배포해 보자!
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-03-17-03-pods.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "03. Pods: Running Containers in Kubernetes"
 date: "2021-03-17"
 github_title: "2021-03-17-03-pods"
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-03.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-03.jpeg) _A container shouldn’t run multiple processes. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-3)_
+![k8s-03.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-03.jpeg) _A container shouldn’t run multiple processes. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-3)_
 
 다양한 쿠버네티스 오브젝트 (resources) 를 살펴보는 단원이다. 가장 기본이 되는 Pod 부터 시작한다. 이외의 모든 것들은 pod 를 관리하거나, pod 를 노출하거나, pod 에 의해 사용된다.
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-03-21-04-replication-and-controllers.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "04. Replication and Other Controllers: Deploying Managed Pods"
 date: "2021-03-21"
 github_title: "2021-03-21-04-replication-and-controllers"
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-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-04.jpeg
+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-04.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-04.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-04.jpeg) _ReplicationController recreating pods. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-4)_
+![k8s-04.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-04.jpeg) _ReplicationController recreating pods. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-4)_
 
 3장에서는 pod 를 직접 관리하는 방법에 대해 살펴봤다. 하지만 실무에서는 pod 의 관리가 자동으로 되길 원한다. 이를 위해 ReplicationController 나 Deployment 를 사용한다.
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-04-07-05-services.md

@@ -2,17 +2,18 @@
 share: true
 toc: true
 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "05. Services: Enabling Clients to Discover and Talk to Pods"
 date: "2021-04-07"
 github_title: "2021-04-07-05-services"
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-05.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-05.jpeg) _Using `kubectl exec` to test out a connection to the service by running curl in one of the pods. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-5)_
+![k8s-05.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-05.jpeg) _Using `kubectl exec` to test out a connection to the service by running curl in one of the pods. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-5)_
 
 많은 앱들이 request (요청) 을 받아 서비스를 제공하는 형태인데, 이런 요청을 보내려면 IP 주소를 알아야 한다. 한편 Kubernetes 를 사용하게 되면 pod 의 IP 주소를 알아야 하는데, Kubernetes 의 pod 들은 굉장히 동적이므로 이들의 IP 주소를 알아낼 방법이 필요하다.
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-04-07-06-volumes.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "06. Volumes: Attaching Disk Storage to Containers"
 date: "2021-04-07"
 github_title: "2021-04-07-06-volumes"
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+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-06.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-06.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-06.jpeg) _The complete picture of dynamic provisioning of PersistentVolumes. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-6)_
+![k8s-06.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-06.jpeg) _The complete picture of dynamic provisioning of PersistentVolumes. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-6)_
 
 컨테이너가 재시작되면 기존 작업 내역이 모두 사라지게 될 수 있으므로, 컨테이너의 작업 내역을 저장하고 같은 pod 내의 다른 컨테이너가 함께 사용하는 저장 공간이다.
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-04-18-07-configmaps-and-secrets.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "07. ConfigMaps and Secrets: Configuring Applications"
 date: "2021-04-18"
 github_title: "2021-04-18-07-configmaps-and-secrets"
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-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-07.jpeg
+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-07.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-07.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-07.jpeg) _Combining a ConfigMap and a Secret to run your fortune-https pod (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-7)_
+![k8s-07.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-07.jpeg) _Combining a ConfigMap and a Secret to run your fortune-https pod (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-7)_
 
 거의 대부분의 앱은 설정(configuration)이 필요하다. 개발 서버, 배포 서버의 설정 사항 (접속하려는 DB 서버 주소 등)이 다를 수도 있고, 클라우드 등에 접속하기 위한 access key 가 필요하거나, 데이터를 암호화하는 encryption key 도 설정해야하는 경우가 있다. 이러한 경우에 해당 값들을 도커 이미지 자체에 넣어버리면 보안 상 취약하고, 또 설정 사항을 변경하는 경우 이미지를 다시 빌드해야하는 등 불편함이 따른다.
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-04-18-08-accessing-pod-metadata.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "08. Accessing Pod Metadata and Other Resources from Applications"
 date: "2021-04-18"
 github_title: "2021-04-18-08-accessing-pod-metadata"
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-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-08.jpeg
+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-08.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-08.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-08.jpeg) _Using the files from the default-token Secret to talk to the API server (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-8)_
+![k8s-08.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-08.jpeg) _Using the files from the default-token Secret to talk to the API server (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-8)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-04-30-09-deployments.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "09. Deployments: Updating Applications Declaratively"
 date: "2021-04-30"
 github_title: "2021-04-30-09-deployments"
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
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 ---
 
-![k8s-09.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-09.jpeg) _Rolling update of Deployments (출처: livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-9)_
+![k8s-09.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-09.jpeg) _Rolling update of Deployments (출처: livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-9)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-05-17-10-statefulsets.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 toc: true
 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "10. StatefulSets: Deploying Replicated Stateful Applications"
 date: "2021-05-17"
 github_title: "2021-05-17-10-statefulsets"
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-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-10.jpeg
+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-10.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-10.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-10.jpeg) _A stateful pod may be rescheduled to a different node, but it retains the name, hostname, and storage. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-10)_
+![k8s-10.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-10.jpeg) _A stateful pod may be rescheduled to a different node, but it retains the name, hostname, and storage. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-10)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-05-30-11-k8s-internals.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "11. Understanding Kubernetes Internals"
 date: "2021-05-30"
 github_title: "2021-05-30-11-k8s-internals"
 image:
-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-11.jpeg
+  path: /assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-11.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-11.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-11.jpeg) _The chain of events that unfolds when a Deployment resource is posted to the API server (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-11)_
+![k8s-11.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-11.jpeg) _The chain of events that unfolds when a Deployment resource is posted to the API server (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-11)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-06-06-12-securing-k8s-api-server.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "12. Securing the Kubernetes API Server"
 date: "2021-06-06"
 github_title: "2021-06-06-12-securing-k8s-api-server"
 image:
-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-12.jpeg
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 attachment:
-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-12.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-12.jpeg) _Roles grant permissions, whereas RoleBindings bind Roles to subjects (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-12)_
+![k8s-12.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-12.jpeg) _Roles grant permissions, whereas RoleBindings bind Roles to subjects (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-12)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-06-29-13-securing-nodes-and-network.md

@@ -2,17 +2,18 @@
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 categories: [Development, Kubernetes]
+path: "_posts/development/kubernetes"
 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "13. Securing Cluster Nodes and the Network"
 date: "2021-06-29"
 github_title: "2021-06-29-13-securing-nodes-and-network"
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-  path: /assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-13.jpeg
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-  folder: assets/img/posts/Development/Kubernetes
+  folder: assets/img/posts/development/kubernetes
 ---
 
-![k8s-13.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-13.jpeg) _A pod with hostNetwork: true uses the node's network interfaces instead of its own. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-13)_
+![k8s-13.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-13.jpeg) _A pod with hostNetwork: true uses the node's network interfaces instead of its own. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-13)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-07-11-14-managing-computation-resources.md

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 categories: [Development, Kubernetes]
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 title: "14. Managing Pods' Computational Resources"
 date: "2021-07-11"
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-![k8s-14.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-14.jpeg) _The Scheduler only cares about requests, not actual usage. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-14)_
+![k8s-14.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-14.jpeg) _The Scheduler only cares about requests, not actual usage. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-14)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-07-18-15-autoscaling.md

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 categories: [Development, Kubernetes]
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 title: "15. Automatic Scaling of Pods and Cluster Nodes"
 date: "2021-07-18"
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-![k8s-15.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-15.jpeg) _How the autoscaler obtains metrics and rescales the target deployment (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-15)_
+![k8s-15.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-15.jpeg) _How the autoscaler obtains metrics and rescales the target deployment (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-15)_
 
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_posts/Development/Kubernetes/2021-08-15-16-advanced-scheduling.md

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 title: "16. Advanced Scheduling"
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-![k8s-16.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-16.jpeg) _A pod is only scheduled to a node if it tolerates the node’s taints. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-16)_
+![k8s-16.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-16.jpeg) _A pod is only scheduled to a node if it tolerates the node’s taints. (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-16)_
 
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_posts/Development/Kubernetes/2021-08-15-17-best-practices.md

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 title: "17. Best Practices for Developing Apps"
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-![k8s-17.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-17.jpeg) _Resources in a typical application (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-17)_
+![k8s-17.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-17.jpeg) _Resources in a typical application (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-17)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/Kubernetes/2021-09-04-18-extending-k8s.md

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 categories: [Development, Kubernetes]
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 tags: [kubernetes, sre, devops]
 title: "18. Extending Kubernetes"
 date: "2021-09-04"
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-![k8s-18.jpeg](/assets/img/posts/Development/Kubernetes/k8s-18.jpeg) _API Server Aggregation (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-18)_
+![k8s-18.jpeg](/assets/img/posts/development/kubernetes/k8s-18.jpeg) _API Server Aggregation (출처: https://livebook.manning.com/book/kubernetes-in-action/chapter-18)_
 
 ### 주요 내용
 

_posts/Development/web/2023-06-25-blog-moving.md

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-categories: [Development, Web]
+categories:
-tags: [development, web]
+  - Development
-title: "블로그 이주 이야기"
+  - Web
-date: "2023-06-25"
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+  - development
+  - web
+title: 블로그 이주 이야기
+date: 2023-06-25
+github_title: 2023-06-25-blog-moving
 image:
   path: /assets/img/posts/blog-logo.png
 ---
 
-![blog-logo.png](/assets/img/posts/blog-logo.png) _New blog logo_
+![blog-logo.png](../../../assets/img/posts/blog-logo.png) _New blog logo_
 
 오래 전, Github Pages가 불편하다는 이유로 티스토리로 옮겼었다.
 근데 어쩌다 보니 결국 다시 돌아오게 되었다.
@@ -65,7 +70,7 @@ image:
 
 Obsidian을 Github과 연동하기 위해 [Obsidian Github Publisher](https://github.com/ObsidianPublisher/obsidian-github-publisher) 플러그인을 사용할 수 있다.
 
-![github-publisher.png](/assets/img/posts/github-publisher.png){: .shadow } _플러그인 설정 화면: 어느 폴더에 어떤 이름으로 파일을 업로드할지 설정할 수 있다._
+![github-publisher.png](../../../assets/img/posts/github-publisher.png){: .shadow } _플러그인 설정 화면: 어느 폴더에 어떤 이름으로 파일을 업로드할지 설정할 수 있다._
 
 이 플러그인을 사용하면 Obsidian의 문서 중에서 `share: true` 로 마킹된 문서들을 레포에 저장할 수 있게 된다. 그렇다면 블로그 글을 Obsidian에서 작성하고, 플러그인을 이용해 레포에 push하게 되면, 자동으로 빌드/배포가 이뤄져서 블로그에 반영되는 것을 확인할 수 있을 것이다.
 

_posts/Mathematics/2022-04-08-thoughts-on-studying-math.md

@@ -2,11 +2,15 @@
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-categories: [Mathematics]
+categories:
-tags: [math, study]
+  - Mathematics
-title: "수학 공부에 대한 고찰"
+path: _posts/mathematics
-date: "2022-02-03"
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-github_title: "2022-04-08-thoughts-on-studying-math"
+  - math
+  - study
+title: 수학 공부에 대한 고찰
+date: 2022-02-03
+github_title: 2022-04-08-thoughts-on-studying-math
 ---
 
 과외돌이 수업을 위해 새로운 교재를 골라야 했다. 교재를 고민하던 도중 내가 생각하는 수학 공부 방법을 설명하기에 매우 좋은 예시가 생겨서 이렇게 글로 남기게 되었다.

_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-01-23-construction-of-measure.md

@@ -1,266 +0,0 @@
----
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-math: true
-categories:
-  - Mathematics
-  - Measure Theory
-tags:
-  - math
-  - analysis
-  - measure-theory
-title: 02. Construction of Measure
-date: 2023-01-23
-github_title: 2023-01-23-construction-of-measure
-image:
-  path: /assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory/mt-02.png
-attachment:
-  folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
----
-
-![mt-02.png](../../../assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-02.png)
-
-이제 본격적으로 집합을 재보도록 하겠습니다. 우리가 잴 수 있는 집합들부터 시작합니다. $\mathbb{R}^p$에서 논의할 건데, 이제 여기서부터는 $\mathbb{R}$의 구간의 열림/닫힘을 모두 포괄하여 정의합니다. 즉, $\mathbb{R}$의 구간이라고 하면 $[a, b], (a, b), [a, b), (a, b]$ 네 가지 경우를 모두 포함합니다.
-
-## Elementary Sets
-
-**정의.** ($\mathbb{R}^p$의 구간) $a_i, b_i \in \mathbb{R}$, $a_i \leq b_i$ 라 하자. $I_i$가 $\mathbb{R}$의 구간이라고 할 때, $\mathbb{R}^p$의 구간은
-
-$$\prod_ {i=1}^p I_i = I_1 \times \cdots \times I_p$$
-
-와 같이 정의한다.
-
-예를 들어 $\mathbb{R}^2$의 구간이라 하면 직사각형 영역, $\mathbb{R}^3$의 구간이라 하면 직육면체 영역을 떠올릴 수 있습니다. 단, 경계는 포함되지 않을 수도 있습니다.
-
-이러한 구간들을 유한개 모아 합집합하여 얻은 집합을 모아 elementary set이라 합니다.
-
-**정의.** (Elementary Set) 어떤 집합이 유한개 구간의 합집합으로 표현되면 그 집합을 **elementary set**이라고 한다. 그리고 $\mathbb{R}^p$의 elementary set의 모임을 $\Sigma$로 표기한다.
-
-임의의 구간은 유계입니다. 따라서 구간의 유한한 합집합도 유계일 것입니다.
-
-**참고.** 임의의 elementary set은 유계이다.
-
-Elementary set의 모임에서 집합의 연산을 정의할 수 있을 것입니다. 이 때, $\Sigma$가 ring이 된다는 것을 간단하게 확인할 수 있습니다.
-
-**명제.** $\Sigma$는 ring이다. 하지만 전체 공간인 $\mathbb{R}^p$를 포함하고 있지 않기 때문에 $\sigma$-ring은 아니다.
-
-구간의 길이를 재는 방법은 아주 잘 알고 있습니다. 유한개 구간의 합집합인 elementary set에서도 쉽게 잴 수 있습니다. 이제 길이 함수 $m: \Sigma \rightarrow[0, \infty)$ 을 정의하겠습니다. 아직 measure는 아닙니다.
-
-**정의.** $a_i, b_i \in \mathbb{R}$ 가 구간 $I_i$의 양 끝점이라 하자. $\mathbb{R}^p$의 구간 $I = \displaystyle\prod_ {i=1}^p I_i$ 에 대하여,
-
-$$m(I) = \prod_ {i=1}^p (b_i - a_i)$$
-
-로 정의한다.
-
-**정의.** $I_i$가 쌍마다 서로소인 $\mathbb{R}^p$의 구간이라 하자. $A = \displaystyle\bigcup_ {i=1}^n I_i$ 에 대하여
-
-$$m(A) = \sum_ {i=1}^n m(I_i)$$
-
-로 정의한다.
-
-$\mathbb{R}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3$에서 생각해보면 $m$은 곧 길이, 넓이, 부피와 대응되는 함수임을 알 수 있습니다. 또한 쌍마다 서로소인 구간의 합집합에 대해서는 각 구간의 함숫값을 더한 것으로 정의합니다. 어떤 집합을 겹치지 않게 구간으로 나눌 수 있다면, 집합의 ‘길이’가 각 구간의 ‘길이’ 합이 되는 것은 자연스럽습니다.
-
-그리고 이 정의는 well-defined 입니다. $A \in \Sigma$ 에 대해서 서로소인 유한개 구간의 합집합으로 나타내는 방법이 유일하지 않아도, $m$ 값은 같습니다.
-
-**참고.** $m$은 $\Sigma$ 위에서 additive이다. 따라서 $m : \Sigma \rightarrow[0, \infty)$ 은 additive set function이다.
-
-여기서 추가로 regularity 조건을 만족했으면 좋겠습니다.
-
-**정의.** (Regularity) Set function $\mu: \Sigma \rightarrow[0, \infty]$ 가 additive라 하자. 모든 $A \in \Sigma$ 와 $\epsilon > 0$ 에 대하여
-
-> 닫힌집합 $F \in \Sigma$, 열린집합 $G \in \Sigma$ 가 존재하여 $F \subseteq A \subseteq G$ 이고 $\mu(G) - \epsilon \leq \mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon$
-
-이면 $\mu$가 $\Sigma$ 위에서 **regular**하다고 정의한다.
-
-위에서 정의한 $m$이 regular한 것은 쉽게 확인할 수 있습니다.
-
-이제 set function $\mu: \Sigma \rightarrow[0, \infty)$ 가 finite, regular, additive 하다고 가정합니다.
-
-**정의.** (Outer Measure) $E \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^p)$ 의 **outer measure** $\mu^\ast: \mathcal{P}(\mathbb{R}^p) \rightarrow[0, \infty]$ 는
-
-$$\mu^\ast(E) = \inf \left\lbrace \sum_ {n=1}^\infty \mu(A_n) : \text{열린집합 } A_n \in \Sigma \text{ 에 대하여 } E \subseteq\bigcup_ {n=1}^\infty A_n\right\rbrace.$$
-
-로 정의한다.
-
-Outer measure라 부르는 이유는 $E$의 바깥에서 길이를 재서 근사하기 때문입니다. Outer measure는 모든 power set에 대해서 정의할 수 있으니, 이를 이용해서 모든 집합을 잴 수 있으면 좋겠습니다. 하지만 measure가 되려면 countably additive 해야하는데, 이 조건이 가장 만족하기 까다로운 조건입니다. 실제로 countably additive 조건이 성립하지 않습니다.
-
-**참고.**
-
-- $\mu^\ast \geq 0$ 이다.
-
-- $E_1 \subseteq E_2$ 이면 $\mu^\ast(E_1) \leq \mu^\ast(E_2)$ 이다. (단조성)
-
-**정리.**
-
-1. $A \in \Sigma$ 이면 $\mu^\ast(A) = \mu(A)$.[^1]
-
-2. Countable subadditivity가 성립한다.
-
-	$$\mu^\ast\left( \bigcup_ {n=1}^\infty E_n \right) \leq \sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(E_n), \quad (\forall E_n \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^p))$$
-
-**증명.**
-
-(1) $A \in \Sigma$, $\epsilon > 0$ 라 두자. $\mu$의 regularity를 이용하면, 열린집합 $G \in \Sigma$ 가 존재하여 $A \subseteq G$ 이고
-
-$$\mu^\ast(A) \leq \mu(G) \leq \mu(A) + \epsilon$$
-
-이다. $\mu^\ast$의 정의에 의해 열린집합 $A_n \in \Sigma$ 가 존재하여 $A \subseteq\displaystyle\bigcup_ {n=1}^\infty A_n$ 이고
-
-$$\sum_ {n=1}^\infty \mu(A_n) \leq \mu^\ast(A) + \epsilon$$
-
-이다. 마찬가지로 regularity에 의해 닫힌집합 $F \in \Sigma$ 가 존재하여 $F\subseteq A$ 이고 $\mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon$ 이다. $F \subseteq\mathbb{R}^p$ 는 유계이고 닫힌집합이므로 compact set이고, finite open cover를 택할 수 있다. 즉, 적당한 $N \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $F \subseteq\displaystyle\bigcup_ {i=1}^N A_ {i}$ 가 성립한다.
-
-따라서
-
-$$\mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon \leq \sum_ {i=1}^N \mu(A_i) \leq \sum_ {i=1}^n \mu(A_i) + \epsilon \leq \mu^\ast(A) + 2\epsilon$$
-
-이제 $\epsilon \rightarrow 0$ 로 두면 $\mu(A) = \mu^\ast(A)$ 를 얻는다.
-
-\(2\) 부등식의 양변이 모두 $\infty$ 이면 증명할 것이 없으므로, 양변이 모두 유한하다고 가정하여 모든 $n\in \mathbb{N}$ 에 대해 $\mu^\ast(E_n) < \infty$ 라 하자. $\epsilon > 0$ 로 두고, 각 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 열린집합 $A_ {n, k} \in \Sigma$ 가 존재하여 $E_n \subseteq\displaystyle\bigcup_ {k=1}^\infty A_ {n, k}$ 이고 $\displaystyle\sum_ {k=1}^\infty \mu(A_ {n,k}) \leq \mu^\ast(E_n) + 2^{-n}\epsilon$ 이다.
-
-$\mu^\ast$는 하한(infimum)으로 정의되었기 때문에,
-
-$$\mu^\ast\left( \bigcup_ {n=1}^\infty E_n \right) \leq \sum_ {n=1}^\infty \sum_ {k=1}^\infty \mu(A_ {n,k}) \leq \sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(E_n) + \epsilon$$
-
-가 성립하고, $\epsilon \rightarrow 0$ 로 두면 부등식이 성립함을 알 수 있다.
-
-## $\mu$-measurable Sets
-
-Countably additive 조건이 성립하는 집합들만 모아서 measure를 construct 하려고 합니다. 아래 내용은 이를 위한 사전 준비 작업입니다.
-
-**표기법.** (대칭차집합) $A \mathop{\mathrm{\triangle}}B = (A\setminus B) \cup (B \setminus A)$.
-
-**정의.**
-
-- $d(A, B) = \mu^\ast(A \mathop{\mathrm{\triangle}}B)$ 로 정의한다.
-
-- 집합열 $A_n$에 대하여 $d(A_n, A) \rightarrow 0$ 이면 $A_n \rightarrow A$ 로 정의한다.
-
-**참고.**
-
-- $A, B, C \in \mathbb{R}^p$ 에 대하여 $d(A, B) \leq d(A, C) + d(C, B)$ 이다.
-
-- $A_1, B_2, B_1, B_2 \in \mathbb{R}^p$ 일 때, 다음이 성립한다.
-
-	$$\left.\begin{array}{c}d(A_1 \cup A_2, B_1 \cup B_2) \\d(A_1 \cap A_2, B_1 \cap B_2) \\d(A_1 \setminus A_2, B_1 \setminus B_2)\end{array}\right\rbrace\leq d(A_1, B_1) + d(A_2, B_2).$$
-
-**정의.** (Finitely $\mu$-measurable) 집합 $A_n \in \Sigma$ 이 존재하여 $A_n \rightarrow A$ 이면 $A$가 **finitely $\mu$-measurable**이라 한다. 그리고 finitely $\mu$-measurable한 집합의 모임을 $\mathfrak{M}_F(\mu)$로 표기한다.
-
-위 정의는 $\mu$라는 set function에 의해 $\mu^\ast (A_n \mathop{\mathrm{\triangle}}A) \rightarrow 0$ 이 되는 elementary set $A_n$이 존재한다는 의미입니다.
-
-**정의.** ($\mu$-measurable) $A_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 에 대하여 $A = \displaystyle\bigcup_ {n=1}^\infty A_n$ 이면 $A$가 **$\mu$-measurable**이라 한다. 그리고 $\mu$-measurable한 집합의 모임을 $\mathfrak{M}(\mu)$로 표기한다.
-
-**참고.** $\mu^\ast(A) = d(A, \varnothing) \leq d(A, B) + \mu^\ast(B)$.
-
-**명제.** $\mu^\ast(A)$ 또는 $\mu^\ast(B)$가 유한하면, 다음이 성립한다.
-
-$$\lvert \mu^\ast(A) - \mu^\ast(B) \rvert \leq d(A, B).$$
-
-**따름정리.** $A \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 이면 $\mu^\ast(A) < \infty$ 이다.
-
-**증명.** $A_n \in \Sigma$ 가 존재하여 $A_n \rightarrow A$ 이고, $N \in \mathbb{N}$ 이 존재하여
-
-$$\mu^\ast(A) \leq d(A_N, A) + \mu^\ast(A_N) \leq 1 + \mu^\ast(A_N) < \infty$$
-
-이다.
-
-**따름정리.** $A_n \rightarrow A$ 이고 $A_n, A \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 이면 $\mu^\ast(A_n)\rightarrow\mu^\ast(A) < \infty$ 이다.
-
-**증명.** $\mu^\ast(A)$, $\mu^\ast(A_n)$가 유한하므로, $n \rightarrow\infty$ 일 때 $\lvert \mu^\ast(A_n) - \mu^\ast(A) \rvert \leq d(A_n, A) \rightarrow 0$ 이다.
-
-## Construction of Measure
-
-준비가 끝났으니 measure를 construct 해보겠습니다! $\mathcal{P}(\mathbb{R}^p)$에서는 할 수 없지만 정의역을 $\mathfrak{M}(\mu)$로 조금 좁히면 measure가 된다는 뜻입니다.
-
-**정리.** $\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-algebra 이고 $\mu^\ast$는 $\mathfrak{M}(\mu)$의 measure가 된다.
-
-**증명.** $\mathfrak{M}(\mu)$가 $\sigma$-algebra이고 $\mu^\ast$가 $\mathfrak{M}(\mu)$에서 countably additive임을 보이면 충분하다.
-
-**(Step 0)** *$\mathfrak{M}_F(\mu)$는 ring이다.*
-
-$A, B \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 라 하자. 그러면 $A_n, B_n \in \Sigma$ 이 존재하여 $A_n \rightarrow A$, $B_n \rightarrow B$ 이 된다. 그러면
-
-$$\left.\begin{array}{c}d(A_n \cup B_n, A \cup B) \\ d(A_n \cap B_n, A \cap B) \\ d(A_n \setminus B_n, A \setminus B)\end{array}\right\rbrace\leq d(A_n, A) + d(B_n, B) \rightarrow 0$$
-
-이므로 $A_n \cup B_n \rightarrow A \cup B, A_n \setminus B_n \rightarrow A\setminus B$ 이기 때문에 $\mathfrak{M}_F(\mu)$는 ring이다.
-
-**(Step 1)** *$\mu^\ast$는 $\mathfrak{M}_F(\mu)$ 위에서 additive이다*.
-
-$\Sigma$ 위에서는 $\mu = \mu^\ast$ 이므로, 위 따름정리에 의해
-
-$$\begin{matrix} \mu(A_n) \rightarrow\mu^\ast(A), & \mu(A_n\cup B_n) \rightarrow\mu^\ast(A\cup B), \\ \mu(B_n) \rightarrow\mu^\ast(B), & \mu(A_n\cap B_n) \rightarrow\mu^\ast(A\cap B) \end{matrix}$$
-
-가 성립함을 알 수 있다. 일반적으로 $\mu(A_n) + \mu(B_n) = \mu(A_n \cup B_n) + \mu(A_n \cap B_n)$ 이므로 여기서 $n \rightarrow\infty$ 로 두면
-
-$$\mu^\ast(A) + \mu^\ast(B) = \mu^\ast(A\cup B) + \mu^\ast(A \cap B)$$
-
-를 얻는다. $A \cap B = \varnothing$ 라는 조건이 추가되면 $\mu^\ast$가 additive임을 알 수 있다.
-
-**(Step 2)** *$\mathfrak{M}_F(\mu) = \lbrace A \in \mathfrak{M}(\mu) : \mu^\ast(A) < \infty\rbrace$.*[^2]
-
-**Claim**. 쌍마다 서로소인 $\mathfrak{M}_F(\mu)$의 원소들을 잡아 이들의 합집합으로 $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ 를 표현할 수 있다.
-
-**증명.** $A_n' \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 에 대하여 $A = \bigcup A_n'$ 로 두자.
-
-> $A_1 = A_1'$, $n \geq 2$ 이면 $A_n = A_n' \setminus(A_1'\cup \cdots \cup A_ {n-1}')$
-
-와 같이 정의하면 $A_n$이 쌍마다 서로소이고 $A_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 임을 알 수 있다.
-
-위 사실을 이용하여 $A_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 에 대하여 $A = \displaystyle\bigcup_ {n=1}^\infty A_n$ 으로 두자.
-
-1. Countable subadditivity에 의해 $\displaystyle\mu^\ast(A) \leq \sum_ {n=1}^{\infty} \mu^\ast (A_n)$ 가 성립한다.
-
-2. Step 1에 의해 $\displaystyle\bigcup_ {n=1}^k A_n \subseteq A$, $\displaystyle\sum_ {n=1}^{k} \mu^\ast(A_n) \leq \mu^\ast(A)$ 이다. $k \rightarrow\infty$ 로 두면 $\displaystyle\mu^\ast(A) \geq \sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(A_n)$ 임을 알 수 있다.
-
-따라서 $\displaystyle\mu^\ast(A) = \sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(A_n)$ 이다.[^3] [^4]
-
-이제 $B_n =\displaystyle\bigcup_ {k=1}^n A_k$ 로 두자. $\mu^\ast(A) < \infty$ 를 가정하면 $\displaystyle\sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(A_n)$의 수렴성에 의해
-
-$$\displaystyle d(A, B_n) = \mu^\ast\left( \bigcup_ {k=n+1}^\infty A_k \right) = \sum_ {k=n+1}^{\infty} \mu^\ast(A_i) \rightarrow 0 \text{ as } n \rightarrow\infty$$
-
-임을 알 수 있다.
-
-$B_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 이므로 $C_n \in \Sigma$ 를 잡아 각 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $d(B_n, C_n)$를 임의로 작게 만들 수 있다. 그러면 $d(A, C_n) \leq d(A, B_n) + d(B_n, C_n)$ 이므로 충분히 큰 $n$에 대하여 $d(A, C_n)$도 임의로 작게 만들 수 있다. 따라서 $C_n \rightarrow A$ 임을 알 수 있고 $A \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 라는 결론을 내릴 수 있다.
-
-**(Step 3)** *$\mu^\ast$는 $\mathfrak{M}(\mu)$ 위에서 countably additive이다.*
-
-$A_n \in \mathfrak{M}(\mu)$ 가 $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ 의 분할이라 하자. 적당한 $m \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\mu^\ast(A_m) = \infty$ 이면
-
-$$\mu^\ast\left( \bigcup_ {n=1}^\infty A_n \right) \geq \mu^\ast(A_m) = \infty = \sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(A_n)$$
-
-이므로 countable additivity가 성립한다.
-
-이제 모든 $n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\mu^\ast(A_n) < \infty$ 이면, Step 2에 의해 $A_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 이고
-
-$$\mu^\ast(A) = \mu^\ast\left( \bigcup_ {n=1}^\infty A_n \right) = \sum_ {n=1}^\infty \mu^\ast(A_n)$$
-
-가 성립한다.
-
-**(Step 4)** *$\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-ring이다.*
-
-$A_n \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이면 $B_ {n, k} \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 가 존재하여 $\displaystyle A_n = \bigcup_k B_ {n,k}$ 이다. 그러면
-
-$$\bigcup_n A_n = \bigcup_ {n, k} B_ {n, k} \in \mathfrak{M}(\mu)$$
-
-이다.
-
-$A, B \in \mathfrak{M}(\mu)$ 라 하면 $A_n, B_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 에 대해 $\displaystyle A = \bigcup A_n$, $\displaystyle B = \bigcup B_n$ 이므로,
-
-$$A \setminus B = \bigcup_ {n=1}^\infty \left( A_n \setminus B \right) = \bigcup_ {n=1}^\infty (A_n\setminus(A_n\cap B))$$
-
-임을 알 수 있다. 그러므로 $A_n \cap B \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 인 것만 보이면 충분하다. 정의에 의해
-
-$$A_n \cap B = \bigcup_ {k=1}^\infty (A_n \cap B_k) \in \mathfrak{M}(\mu)$$
-
-이고 $\mu^\ast(A_n \cap B) \leq \mu^\ast(A_n) < \infty$ 이므로 $A_n\cap B \in \mathfrak{M}_F(\mu)$ 이다. 따라서 $A \setminus B$ 가 $\mathfrak{M}_F(\mu)$의 원소들의 countable 합집합으로 표현되므로 $A\setminus B \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다.
-
-따라서 $\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-ring이고 $\sigma$-algebra이다.
-
----
-
-이제 $\Sigma$ 위의 $\mu$ 정의를 $\mathfrak{M}(\mu)$ ($\sigma$-algebra)로 확장하여 $\mathfrak{M}(\mu)$ 위에서는 $\mu = \mu^\ast$ 로 정의합니다. $\Sigma$ 위에서 $\mu = m$ 일 때, 이와 같이 확장한 $\mathfrak{M}(m)$ 위의 $m$을 **Lebesgue measure** on $\mathbb{R}^p$라 합니다. 그리고 $A \in \mathfrak{M}(m)$ 를 Lebesgue measurable set이라 합니다.
-
-[^1]: $A$가 open이 아니면 자명하지 않은 명제입니다.
-[^2]: $A$가 $\mu$-measurable인데 $\mu^\ast(A) < \infty$이면 $A$는 finitely $\mu$-measurable이다.
-[^3]: $A$가 countable union of sets in $\mathfrak{M}_F(\mu)$이므로 $\mu^\ast$도 각 set의 $\mu^\ast$의 합이 된다.
-[^4]: 아직 증명이 끝나지 않았습니다. $A_n$은 $\mathfrak{M}(\mu)$의 원소가 아니라 $\mathfrak{M}_F(\mu)$의 원소입니다.

_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-03-25-convergence-theorems.md

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-math: true
-categories: [Mathematics, Measure Theory]
-tags: [math, analysis, measure-theory]
-title: "06. Convergence Theorems"
-date: "2023-03-25"
-github_title: "2023-03-25-convergence-theorems"
-image:
-  path: /assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory/mt-06.png
-attachment:
-  folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
----
-
-르벡 적분 이론에서 굉장히 자주 사용되는 수렴 정리에 대해 다루겠습니다. 이 정리들을 사용하면 굉장히 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다.
-
-## Monotone Convergence Theorem
-
-먼저 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem, MCT)입니다. 이 정리에서는 $f_n \geq 0$ 인 것이 매우 중요합니다.
-
-![mt-06.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-06.png)
-
-**정리.** (단조 수렴 정리) $f_n: X \rightarrow[0, \infty]$ 가 measurable이고 모든 $x \in X$ 에 대하여 $f_n(x) \leq f_ {n+1}(x)$ 라 하자.
-
-$$\lim_ {n\rightarrow\infty} f_n(x) = \sup_ {n} f_n(x) = f(x)$$
-
-로 두면,
-
-$$\int f \,d{\mu} = \lim_ {n\rightarrow\infty} \int f_n \,d{\mu} = \sup_ {n \in \mathbb{N}} \int f_n \,d{\mu}$$
-
-이다.
-
-**증명.**
-
-($\geq$) $f_n(x) \leq f(x)$ 이므로 단조성을 이용하면 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\displaystyle\int f_n \,d{\mu} \leq \displaystyle\int f \,d{\mu}$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.
-
-$$\sup_n \int f_n \,d{\mu} \leq \int f \,d{\mu}.$$
-
-($\leq$) 실수 $c \in (0, 1)$ 를 잡자. 마지막에 $c \nearrow 1$ 로 둘 것이다. 이제 measurable simple function $s$가 $0 \leq s \leq f$ 라 하자. 그러면 모든 $x \in X$ 에 대하여 $c \cdot s(x) < f(x)$ 일 것이다.
-
-이제
-
-$$E_n = \lbrace x \in X : f_n(x) \geq cs(x)\rbrace$$
-
-으로 두면, $f_n(x) - cs(x)$ 가 measurable function이므로 $E_n$ 또한 measurable이다. 여기서 $f_n$이 증가하므로 $E_n\subseteq E_ {n+1} \subseteq\cdots$ 임을 알 수 있고 $f_n \rightarrow f$ 이므로 $\bigcup_ {n=1}^\infty E_n = X$ 이다.
-
-충분히 큰 $N \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $n \geq N$ 일 때, 모든 $x$에 대하여 $f(x) \geq f_n(x) > cs(x)$ 가 되게 할 수 있다. 그리고 $f_n \geq f_n \chi_ {E_n} \geq cs \chi_ {E_n}$ 이므로
-
-$$\tag{\(\star\)}    \int f_n \,d{\mu} \geq \int f_n \chi_ {E_n} \,d{\mu} \geq c\int s \chi_ {E_n} \,d{\mu},$$
-
-이고 여기서 $s, \chi_ {E_n}$는 simple function이다. 그러므로 $s = \sum_ {k=0}^m y_k \chi_ {A_k}$ 라고 적으면
-
-$$s\chi_ {E_n} = \sum_ {k=0}^m y_k \chi_ {A_k\cap E_n} \implies \int s \chi_ {E_n} \,d{\mu} = \sum_ {k=0}^m y_k \mu(A_k\cap E_n)$$
-
-이다. $n\rightarrow\infty$ 일 때 $A_k\cap E_n \nearrow A_k$ 이므로, continuity of measure를 사용해 $\mu(A_k \cap E_n) \nearrow \mu(A_k)$ 를 얻고
-
-$$\lim_ {n\rightarrow\infty} \int s \chi_ {E_n}\,d{\mu} = \int s \,d{\mu}$$
-
-임도 알 수 있다. 이제 ($\star$)를 이용하면
-
-$$\lim_ {n\rightarrow\infty} \int f_n \,d{\mu} \geq c\int s \,d{\mu}$$
-
-이므로, $c \nearrow 1$ 로 두고 $0\leq s\leq f$ 에 대하여 $\sup$을 취하면
-
-$$\lim_ {n\rightarrow\infty} \int f_n \,d{\mu} \geq \sup_ {0\leq s\leq f} \int s \,d{\mu} = \int f \,d{\mu}$$
-
-가 되어 원하는 결과를 얻는다.
-
-**참고.** 만약 부등식 $0 \leq f_n \leq f_ {n+1}$ 이 정의역 전체가 아닌 정의역의 부분집합 $E$에서만 성립한다고 하면, 다음과 같이 생각할 수 있다.
-
-$$0 \leq f_n \chi_E \leq f_ {n+1} \chi_E \nearrow f \chi_E.$$
-
-그러므로 단조 수렴 정리가 $E$에서도 성립함을 알 수 있다.
-
-> $E$에서 $0\leq f_n \leq f_ {n+1} \nearrow f$ 이면 $\displaystyle\lim_ {n\rightarrow\infty} \int_E f_n \,d{\mu} = \int_E f \,d{\mu}$.
-
-**참고.** 함수열 $f_n$이 증가하는 경우에만 정리가 성립합니다. 감소하는 경우에는 반례로 함수 $f_n = \chi_ {[n, \infty)}$ 를 생각할 수 있습니다. 그러면 $n \rightarrow\infty$ 일 때 $\chi_ {[n, \infty)} \searrow 0$ 입니다.
-
-그러면 Lebesgue measure $m$에 대하여
-
-$$\infty = \int \chi_ {[n, \infty)} \,d{m} \neq \int 0 \,d{m} = 0$$
-
-이 되어 단조 수렴 정리가 성립하지 않음을 확인할 수 있습니다.
-
----
-
-지난 번에 $f \geq 0$ 가 measurable이면 증가하는 measurable simple 함수열 $s_n$이 존재함을 보였고, 이 $s_n$에 대하여 적분값을 계산하여
-
-$$\int_E s_n \,d{\mu} = \sum_ {i=1}^{n2^n} \frac{i - 1}{2^n}\mu\left( \left\lbrace x \in E : \frac{i-1}{2^n} \leq f(x) \leq \frac{i}{2^n}\right\rbrace \right) + n\mu(\lbrace x \in E : f(x)\geq n\rbrace)$$
-
-라는 결과까지 얻었습니다. 그런데 여기서
-
-$$f(x) = \displaystyle\lim_ {n\rightarrow\infty} s_n(x)$$
-
-이기 때문에, 단조 수렴 정리에 의해
-
-$$\int_E f \,d{\mu} = \lim_ {n\rightarrow\infty} \int_E s_n \,d{\mu}$$
-
-가 성립하여 기대했던 결과를 얻었습니다. 지난 번 설명한 것처럼, 이는 곧 르벡 적분은 치역을 잘게 잘라 넓이를 계산한 것으로 이해할 수 있다는 의미가 됩니다.
-
----
-
-다음은 단조 수렴 정리를 활용하여 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있는 예제입니다.
-
-**참고.** Measurable function $f, g \geq 0$ 과 $\alpha, \beta \in [0, \infty)$ 에 대하여 다음이 성립한다.
-
-$$\int_E \left( \alpha f + \beta g \right) \,d{\mu} = \alpha \int_E f \,d{\mu} + \beta \int_E g\,d{\mu}.$$
-
-**증명.** Measurable function은 measurable simple function으로 근사할 수 있고, $f, g \geq 0$ 이므로 단조증가하도록 잡을 수 있다. 그러므로 measurable simple function $f_n$, $g_n$에 대하여 $0 \leq f_n \leq f_ {n+1} \nearrow f$, $0 \leq g_n \leq g_ {n+1} \nearrow g$ 으로 잡는다.
-
-그러면 $\alpha f_n + \beta g_n \nearrow \alpha f + \beta g$ 이고 $\alpha f_n + \beta g_n$ 은 단조증가하는 measurable simple 함수열이다. 따라서 단조 수렴 정리에 의해
-
-$$\int_E \left( \alpha f_n + \beta g_n \right) \,d{\mu} = \alpha \int_E f_n \,d{\mu} + \beta \int_E g_n \,d{\mu} \rightarrow\alpha \int_E f \,d{\mu} + \beta \int_E g\,d{\mu}$$
-
-이다.
-
-이와 비슷한 방법을 급수에도 적용할 수 있습니다.
-
-**정리.** Measurable function $f_n: X \rightarrow[0, \infty]$ 에 대하여 $\sum_ {n=1}^\infty f_n$는 measurable이고, 단조 수렴 정리에 의해 다음이 성립한다.
-
-$$\int_E \sum_ {n=1}^\infty f_n \,d{\mu} = \sum_ {n=1}^\infty \int_E f_n \,d{\mu}.$$
-
-**증명.** $\sum_ {n=1}^\infty f_n$는 measurable function의 극한이므로 measurable이다. 무한급수를 부분합의 극한으로 생각하면 $f_n \geq 0$ 이므로 부분합이 증가함을 알 수 있다. 따라서 단조 수렴 정리를 적용하여 결론을 얻는다.
-
-## Fatou's Lemma
-
-단조 수렴 정리와 동치인 수렴 정리를 하나 더 소개합니다. Fatou's lemma로 알려져 있습니다.
-
-**정리.** (Fatou) $f_n \geq 0$ 가 measurable이고 $E$가 measurable이라 하자. 다음이 성립한다.
-
-$$\int_E \liminf_ {n\rightarrow\infty} f_n \,d{\mu} \leq \liminf_ {n\rightarrow\infty} \int_E f_n \,d{\mu}.$$
-
-**증명.** $g_n = \displaystyle\inf_ {k \geq n} f_k$ 으로 두면 $\displaystyle\lim_ {n \rightarrow\infty} g_n = \liminf_ {n\rightarrow\infty} f_n$ 이다. $g_n$이 증가함은 쉽게 확인할 수 있으며 $g_n \geq 0$ 이다. $g_n$의 정의로부터 모든 $k \geq n$ 에 대하여 $g_n \leq f_k$ 이므로,
-
-$$\int_E g_n \,d{\mu} \leq \inf_ {k\geq n} \int_E f_k \,d{\mu}$$
-
-이다. 여기서 $n \rightarrow\infty$ 로 두면
-
-$$\int_E \liminf_ {n\rightarrow\infty} f_n \,d{\mu} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_E g_n \,d{\mu} \leq \lim_ {n \rightarrow\infty} \inf_ {k \geq n}\int_E f_k \,d{\mu} = \liminf_ {n \rightarrow\infty} \int_E f_n \,d{\mu}$$
-
-이 된다. 여기서 첫 번째 등호는 단조 수렴 정리에 의해 성립한다.
-
-**참고.** 위 증명에서는 단조 수렴 정리를 활용했습니다. 반대로 이 정리를 가정하면 단조 수렴 정리를 증명할 수 있기도 합니다. 따라서 이 둘은 동치입니다. 증명은 생략합니다.
-
-**참고.** 왠지 위와 비슷한 결론이 $\limsup$에 대해서도 성립해야 할 것 같습니다. 구체적으로,
-
-$$\int_E \limsup_ {n \rightarrow\infty} f_n \,d{\mu} \geq \limsup_ {n \rightarrow\infty} \int_E f_n \,d{\mu}$$
-
-일 것 같습니다. 안타깝게도 이는 성립하지 않습니다. 반례로 앞서 소개한 $\chi_ {[n, \infty)}$를 한 번 더 가져올 수 있습니다. 좌변을 계산해 보면 0이지만, 우변을 계산해 보면 $\infty$입니다. 나중에 소개하겠지만, $\lvert f_n \rvert \leq g$ 를 만족하는 함수 $g \in \mathcal{L}^{1}$ 가 존재해야 위 부등식이 성립합니다.
-
-## Properties of the Lebesgue Integral
-
-르벡 적분의 몇 가지 성질을 소개하고 마칩니다.
-
-1. $f$가 measurable이고 $E$에서 bounded이며 $\mu(E) < \infty$ 일 때, 적당한 실수 $M > 0$ 에 대하여 $\lvert f \rvert \leq M$ 이므로
-
-	$$\int_E \lvert f \rvert \,d{\mu} \leq \int_E M \,d{\mu} = M\mu(E) < \infty$$
-
-	임을 알 수 있습니다. 그러므로 $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 입니다. $E$의 measure가 finite라는 가정 하에, bounded function은 모두 르벡 적분 가능합니다.
-
-2. $f, g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 이고 $E$에서 $f \leq g$ 일 때, 단조성이 성립함을 보이려고 합니다. 앞에서는 $0 \leq f \leq g$ 인 경우에만 단조성을 증명했었는데, 이를 확장하여 함수가 음의 값을 가지는 경우에도 증명하고 싶습니다. 그러므로 양수인 부분과 음수인 부분을 나누어 고려하여 다음과 같이 적을 수 있습니다.
-
-	$$\chi_E (x) f^+(x) \leq \chi_E(x) g^+(x), \qquad \chi_E(x) g^-(x) \leq \chi_E (x) f^-(x)$$
-
-	이로부터
-
-	$$\int_E f^+ \,d{\mu} \leq \int_E g^+ \,d{\mu} < \infty, \qquad \int_E g^- \,d{\mu} \leq \int_E f^- \,d{\mu} < \infty$$
-
-	를 얻습니다. 따라서
-
-	$$\int_E f\,d{\mu} \leq \int_E g \,d{\mu}$$
-
-	가 성립하고, 함수가 음의 값을 가지는 경우에도 단조성이 성립함을 알 수 있습니다.
-
-3. $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$, $c \in \mathbb{R}$ 라 하면 $cf \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 입니다. 왜냐하면
-
-	$$\int_E \lvert c \rvert\lvert f \rvert \,d{\mu} = \lvert c \rvert \int_E \lvert f \rvert\,d{\mu} < \infty$$
-
-	이기 때문입니다. 적분이 가능하니 실제 적분값을 계산할 때 선형성이 성립했으면 좋겠습니다. 앞에서는 음이 아닌 실수에 대해서만 증명했었는데, 이도 마찬가지로 확장하려 합니다. $c < 0$ 인 경우만 보이면 됩니다. 이 때, $(cf)^+ = -cf^-$, $(cf)^- = -cf^+$ 이므로, 다음이 성립합니다.
-
-	$$\int_E cf \,d{\mu} = \int_E (cf)^+ - \int_E (cf)^- \,d{\mu} = -c \int_E f^- \,d{\mu} - (-c) \int_E f^+ \,d{\mu} = c\int_E f\,d{\mu}.$$
-
-4. Measurable function $f$에 대하여 $E$에서 $a \leq f(x) \leq b$ 이고 $\mu(E) < \infty$ 일 때 다음이 성립합니다.
-
-	$$\int_E a \chi_E \,d{\mu} \leq \int_E f\chi_E \,d{\mu} \leq \int_E b \chi_E \,d{\mu} \implies a \mu(E) \leq \int_E f \,d{\mu} \leq b \mu(E).$$
-
-	$f$가 르벡 적분 가능하다는 사실은 $f$가 bounded라는 사실을 이용합니다.
-
-5. $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 와 measurable set $A \subseteq E$ 가 주어지는 경우, $f$는 $E$의 부분집합인 $A$ 위에서도 르벡 적분 가능합니다. 이는 다음 부등식에서 확인할 수 있습니다.
-
-	$$\int_A \lvert f \rvert \,d{\mu} \leq \int_E \lvert f \rvert\,d{\mu} < \infty.$$
-
-6. 만약 measure가 0인 집합에서 적분을 하면 어떻게 될까요? $\mu(E) = 0$ 라 하고, measurable function $f$를 적분해 보겠습니다. 여기서 $\min\lbrace \lvert f \rvert, n\rbrace\chi_E$ 도 measurable이며 $n \rightarrow\infty$ 일 때 $\min\lbrace \lvert f \rvert, n\rbrace\chi_E \nearrow \lvert f \rvert\chi_E$ 임을 이용합니다. 마지막으로 단조 수렴 정리를 적용하면
-
-	$$\begin{aligned}                    \int_E \lvert f \rvert \,d{\mu} &= \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_E \min\lbrace \lvert f \rvert, n\rbrace \,d{\mu} \\                    &\leq \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_E n \,d{\mu} = \lim_ {n \rightarrow\infty} n\mu(E) = 0                  \end{aligned}$$
-
-	임을 얻습니다. 따라서 $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 이고, $\displaystyle\int_E f \,d{\mu} = 0$ 가 되어 적분값이 0임을 알 수 있습니다. 즉, measure가 0인 집합 위에서 적분하면 그 결과는 0이 됩니다.[^1]
-
-[^1]: 편의상 $0\cdot\infty = 0$ 으로 정의했기 때문에 $f \equiv \infty$ 인 경우에도 성립합니다.

_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-06-20-comparison-with-riemann-integral.md

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-math: true
-categories: [Mathematics, Measure Theory]
-tags: [math, analysis, measure-theory]
-title: "08. Comparison with the Riemann Integral"
-date: "2023-06-20"
-github_title: "2023-06-20-comparison-with-riemann-integral"
-image:
-  path: /assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory/mt-08.png
-attachment:
-  folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
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-
-![mt-08.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-08.png)
-
-## Comparison with the Riemann Integral
-
-먼저 혼동을 막기 위해 Lebesgue measure $m$에 대하여 르벡 적분을
-
-$$\int_ {[a, b]} f \,d{m} = \int_ {[a, b]} f \,d{x} = \int_a^b f \,d{x}$$
-
-와 같이 표기하고, 리만 적분은
-
-$$\mathcal{R}\int_a^b f\,d{x}$$
-
-로 표기하겠습니다.
-
-**정리.** $a, b \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $a < b$ 이고 함수 $f$가 유계라고 하자.
-
-1. $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 이면 $f \in \mathcal{L}^{1}[a, b]$ 이고 $\displaystyle\int_a^b f\,d{x} = \mathcal{R}\int_a^b f \,d{x}$ 이다.
-
-2. $f \in \mathcal{R}[a, b]$ $\iff$ $f$가 연속 $m$-a.e. on $[a, b]$.
-
-쉽게 풀어서 적어보면, (1)은 $f$가 $[a, b]$에서 리만 적분 가능하면 르벡 적분 또한 가능하며, 적분 값이 같다는 의미입니다. 즉 르벡 적분이 리만 적분보다 더 강력하다는 것을 알 수 있습니다.
-
-또한 (2)는 리만 적분 가능성에 대한 동치 조건을 알려줍니다. Almost everywhere라는 조건이 붙었기 때문에, $\mathcal{L}^1$의 equivalence class를 고려하면 사실상 연속함수에 대해서만 리만 적분이 가능하다는 뜻이 됩니다.
-
-**증명.** $k \in \mathbb{N}$ 에 대하여 구간 $[a, b]$의 분할 $P_k = \lbrace a = x_0^k < x_1^k < \cdots < x_ {n_k}^k = b\rbrace$ 를 잡는다. 단 $P_k \subseteq P_ {k+1}$ (refinement) 이고 $\lvert x_ {i}^k - x_ {i-1}^k \rvert < \frac{1}{k}$ 이 되도록 한다.
-
-그러면 리만 적분의 정의로부터
-
-$$\lim_ {k \rightarrow\infty} L(P_k, f) = \mathcal{R}\underline{\int_ {a}^{b}} f\,d{x}, \quad \lim_ {k \rightarrow\infty} U(P_k, f) = \mathcal{R} \overline{\int_ {a}^{b}} f \,d{x}$$
-
-임을 알 수 있다.
-
-이제 measurable simple function $U_k, L_k$를 다음과 같이 잡는다.
-
-$$U_k = \sum_ {i=1}^{n_k} \sup_ {x_ {i-1}^k \leq y \leq x_ {i}^k} f(y) \chi_ {(x_ {i-1}^k, x_i^k]}, \quad L_k = \sum_ {i=1}^{n_k} \inf_ {x_ {i-1}^k \leq y \leq x_ {i}^k} f(y) \chi_ {(x_ {i-1}^k, x_i^k]}.$$
-
-그러면 구간 $[a, b]$ 위에서 $L_k \leq f \leq U_k$인 것은 당연하고, 르벡 적분이 가능하므로
-
-$$\int_a^b L_k \,d{x} = L(P_k, f), \quad \int_a^b U_k \,d{x} = U(P_k, f)$$
-
-이 됨을 알 수 있다. 여기서 $P_k \subseteq P_ {k + 1}$ 이 되도록 잡았기 때문에, $L_k$는 증가하는 수열, $U_k$는 감소하는 수열이다.
-
-그러므로
-
-$$L(x) = \lim_ {k \rightarrow\infty} L_k(x), \quad U(x) = \lim_ {k \rightarrow\infty} U_k(x)$$
-
-로 정의했을 때, 극한이 존재함을 알 수 있다. 여기서 $f, L_k, U_k$가 모두 유계인 함수이므로 지배 수렴 정리에 의해
-
-$$\int_a^b L \,d{x} = \lim_ {k \rightarrow\infty} \int_a^b L_k \,d{x} = \lim_ {k \rightarrow\infty} L(P_k, f) = \mathcal{R}\underline{\int_ {a}^{b}} f\,d{x} < \infty,$$
-
-$$\int_a^b U\,d{x} = \lim_ {k \rightarrow\infty} \int_a^b U_k \,d{x} = \lim_ {k \rightarrow\infty} U(P_k, f) = \mathcal{R} \overline{\int_ {a}^{b}} f \,d{x} < \infty$$
-
-이므로 $L, U \in \mathcal{L}^{1}[a, b]$ 이다.
-
-위 사실을 종합하면 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 일 때,
-
-$$\mathcal{R}\underline{\int_ {a}^{b}} f\,d{x} = \mathcal{R}\overline{\int_ {a}^{b}} f\,d{x}$$
-
-이므로
-
-$$\int_a^b (U - L)\,d{x} = 0$$
-
-가 되어 $U = L$ $m$-a.e. on $[a, b]$라는 사실을 알 수 있다. 역으로 이를 거꾸로 읽어보면 $U = L$ $m$-a.e. on $[a, b]$일 때 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 가 되는 것 또한 알 수 있다.
-
-(1) 위 논의에 의해 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 이면 $f = U = L$ a.e. on $[a, b]$ 이다. 따라서 $f$는 measurable.
-
-$$\int_a^b f \,d{x} = \mathcal{R}\int_a^b f\,d{x} < \infty \implies f \in \mathcal{L}^{1}[a, b].$$
-
-(2) 만약 $x \notin \bigcup_ {k=1}^{\infty} P_k$ 라고 가정하면, 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 충분히 큰 $n \in \mathbb{N}$ 을 잡았을 때 적당한 $j_0 \in \mathbb{N}$ 이 존재하여 $x \in (t_ {j_0-1}^n, t_ {j_0}^n)$ 이면서
-
-$$\lvert L_n(x) - L(x) \rvert + \lvert U_n(x) - U(x) \rvert < \epsilon$$
-
-이 되도록 할 수 있다. 그러면 $y \in (t_ {j_0-1}^n, t_ {j_0}^n)$ 일 때
-
-$$\begin{aligned}        \lvert f(x) - f(y) \rvert & \leq M_ {j_0}^n - m_ {j_0}^n = M_ {j_0}^n - U(x) + U(x) - L(x) + L(x) - m_ {j_0}^n \\                          & \leq U(x) - L(x) + \epsilon    \end{aligned}$$
-
-가 됨을 알 수 있다.
-
-위 부등식에 의해 $y \in \lbrace x : U(x) = L(x)\rbrace \setminus\bigcup_ {k=1}^{\infty} P_k$ 이면 $f$가 $y$에서 연속임을 알 수 있게 된다.
-
-따라서, $f$가 연속인 점들의 집합을 $C_f$라 하면
-
-$$\lbrace x : U(x) = L(x)\rbrace \setminus\bigcup_ {k=1}^{\infty} P_k \subseteq C_f \subseteq\lbrace x : U(x) = L(x)\rbrace$$
-
-이 된다. 한편 $\bigcup_ {k=1}^{\infty} P_k$는 measure가 0 이므로, $U = L$ $m$-a.e. 인 것과 $f$가 연속 $m$-a.e. 인 것은 동치이다. 위 논의의 결과를 이용하면 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 인 것과 $f$가 연속 $m$-a.e. 인 것은 동치이다.
-
-아래는 증명의 부산물입니다.
-
-**참고.**
-
-1. $x \notin \bigcup_ {k=1}^\infty P_k$ 이면 $f$가 $x$에서 연속 $\iff f(x) = U(x) = L(x)$ 이다.
-
-2. $L(x) \leq f(x) \leq U(x)$ 이고 measurable function의 극한인 $L(x), U(x)$ 또한 measurable이다.
-
-3. $f$가 유계라는 조건이 있기 때문에 $f \geq 0$ 인 경우만 생각해도 충분하다. $\lvert f \rvert \leq M$ 라고 하면 $f$ 대신 $f + M$ 을 생각하면 되기 때문이다.
-
-이제 리만 적분의 유용한 성질들을 가지고 와서 사용할 수 있습니다.
-
-1. $f \geq 0$ 이고 measurable일 때, $f_n = f\chi_ {[0, n]}$으로 정의한다. 단조 수렴 정리에 의해
-
-	$$\int_0^\infty f \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_0^\infty f_n \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_0^n f \,d{x}$$
-
-	이다. 마지막 적분을 리만 적분으로 계산할 수 있다.
-
-2. 닫힌 유계 구간 $I \subseteq(0, \infty)$ 에 대하여 $f \in \mathcal{R}(I)$ 라 하면 $f \in \mathcal{L}^{1}(I)$ 이다. $f_n = f\chi_ {[0, n]}$ 으로 잡으면 $\lvert f_n \rvert \leq f$ 이므로 지배 수렴 정리를 적용하여
-
-	$$\int_0^\infty f \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_0^\infty f_n \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_0^n f \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \mathcal{R} \int_0^n f \,d{x}$$
-
-	임을 알 수 있다.
-
-마찬가지로 $f_n = f\chi_ {(1/n, 1)}$ 으로 잡은 경우에도 지배 수렴 정리에 의해
-
-$$\int_0^1 f\,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \int_ {0}^1 f_n \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty}\int_ {1/n}^1 f \,d{x} = \lim_ {n \rightarrow\infty} \mathcal{R}\int_ {1/n}^1 f \,d{x}$$
-
-이 된다.

_posts/Mathematics/Measure Theory/2023-07-31-Lp-functions.md

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-categories: [Mathematics, Measure Theory]
-tags: [math, analysis, measure-theory]
-title: "09. $\\mathcal{L}^p$ Functions"
-date: "2023-07-31"
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-
-![mt-09.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-09.png){: .w-50}
-
-## Integration on Complex Valued Function
-
-Let $(X, \mathscr{F}, \mu)$ be a measure space, and $E \in \mathscr{F}$.
-
-**정의.**
-
-1. A complex valued function $f = u + iv$, (where $u, v$ are real functions) is measurable if $u$ and $v$ are both measurable.
-
-2. For a complex function $f$,
-
-	$$f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu) \iff  \int_E \left\lvert  f \right\rvert  \,d{\mu} < \infty \iff u, v \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu).$$
-
-3. If $f = u + iv \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$, we define
-
-	$$\int_E f \,d{\mu} = \int_E u \,d{\mu} + i\int_E v \,d{\mu}.$$
-
-**참고.**
-
-1. Linearity also holds for complex valued functions. For $f_1, f_2 \in \mathcal{L}^{1}(\mu)$ and $\alpha \in \mathbb{C}$,
-
-	$$\int_E \left( f_1 + \alpha f_2 \right) \,d{\mu} = \int_E f_1 \,d{\mu} +  \alpha \int_E f_2 \,d{\mu}.$$
-
-2. Choose $c \in \mathbb{C}$ and $\left\lvert  c \right\rvert  = 1$ such that $\displaystyle c \int_E f \,d{\mu} \geq 0$. This is possible since multiplying by $c$ is equivalent to a rotation.
-
-Now set $cf = u + vi$ where $u, v$ are real functions and the integral of $v$ over $E$ is $0$. Then,
-
-$$\begin{aligned}                      \left\lvert  \int_E f \,d{\mu} \right\rvert  & = c \int_E f\,d{\mu} = \int_E u \,d{\mu}              \\                                             & \leq \int_E (u^2+v^2)^{1/2} \,d{\mu}                 \\                                             & = \int_E \left\lvert  cf \right\rvert  \,d{\mu} = \int_E \left\lvert  f \right\rvert  \,d{\mu}.                  \end{aligned}$$
-
-## Functions of Class $\mathcal{L}^{p}$
-
-### $\mathcal{L}^p$ Space
-
-Assume that $(X, \mathscr{F}, \mu)$ is given and $X = E$.
-
-**정의.** ($\mathcal{L}^{p}$) A complex function $f$ is in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$ if $f$ is measurable and $\displaystyle\int_E \left\lvert  f \right\rvert ^p \,d{\mu} < \infty$.
-
-**정의.** ($\mathcal{L}^{p}$-norm) **$\mathcal{L}^{p}$-norm** of $f$ is defined as
-
-$$\left\lVert f \right\rVert_p = \left[\int_E \left\lvert  f \right\rvert ^p \,d{\mu} \right]^{1/p}.$$
-
-### Inequalities
-
-**정리.** (Young Inequality) For $a, b \geq 0$, if $p > 1$ and $1/p + 1/q = 1$, then
-
-$$ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.$$
-
-**증명.** From $1/p + 1/q = 1$, $p - 1 = \frac{1}{q - 1}$. The graph $y = x^{p - 1}$ is equal to the graph of $x = y^{q - 1}$. Sketch the graph on the $xy$-plane and consider the area bounded by $x = 0$, $x = a$, $y = 0$, $y = b$. Then we directly see that
-
-$$\int_0^a x^{p-1} \,d{x} + \int_0^b y^{q-1} \,d{y} \geq ab,$$
-
-with equality when $a^p = b^q$. Evaluating the integral gives the desired inequality.
-
-**참고.** For $\mathscr{F}$-measurable $f, g$ on $X$,
-
-$$\left\lvert  fg \right\rvert  \leq \frac{\left\lvert  f \right\rvert ^p}{p} + \frac{\left\lvert  g \right\rvert ^q}{q} \implies \left\lVert fg \right\rVert_1 \leq \frac{\left\lVert f \right\rVert_p^p}{p} + \frac{\left\lVert g \right\rVert_q^q}{q}$$
-
-by Young inequality. In particular, if $\left\lVert f \right\rVert_p = \left\lVert g \right\rVert_q = 1$, then $\left\lVert fg \right\rVert_1 \leq 1$.
-
-**정리.** (Hölder Inequality) Let $1 < p < \infty$ and $\displaystyle\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. If $f, g$ are measurable,
-
-$$\left\lVert fg \right\rVert_1 \leq \left\lVert f \right\rVert_p \left\lVert g \right\rVert_q.$$
-
-So if $f \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$ and $g \in \mathcal{L}^{q}(\mu)$, then $fg \in \mathcal{L}^{1}(\mu)$.
-
-**증명.** If $\left\lVert f \right\rVert_p = 0$ or $\left\lVert g \right\rVert_q = 0$ then $f = 0$ a.e. or $g = 0$ a.e. So $fg = 0$ a.e. and $\left\lVert fg \right\rVert_1 = 0$.
-
-Now suppose that $\left\lVert f \right\rVert_p > 0$ and $\left\lVert g \right\rVert_q > 0$. By the remark above, the result directly follows from
-
-$$\left\lVert \frac{f}{\left\lVert f \right\rVert_p} \cdot \frac{g}{\left\lVert g \right\rVert_q} \right\rVert_1 \leq 1.$$
-
-**정리.** (Minkowski Inequality) For $1 \leq p < \infty$, if $f, g$ are measurable, then
-
-$$\left\lVert f + g \right\rVert_p \leq \left\lVert f \right\rVert_p + \left\lVert g \right\rVert_p.$$
-
-**증명.** If $f, g \notin \mathcal{L}^{p}$, the right hand side is $\infty$ and we are done. For $p = 1$, the equality is equivalent to the triangle inequality. Also if $\left\lVert f + g \right\rVert_p = 0$, the inequality holds trivially. We suppose that $p > 1$, $f, g \in \mathcal{L}^p$ and $\left\lVert f+g \right\rVert_p > 0$.
-
-Let $q = \frac{p}{p-1}$. Since
-
-$$\begin{aligned}        \left\lvert  f + g \right\rvert ^p & = \left\lvert  f + g \right\rvert \cdot \left\lvert  f + g \right\rvert ^{p - 1}                \\                      & \leq \bigl(\left\lvert  f \right\rvert  + \left\lvert  g \right\rvert \bigr) \left\lvert  f + g \right\rvert ^{p-1},    \end{aligned}$$
-
-we have
-
-$$\begin{aligned}        \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p & \leq \int \left\lvert  f \right\rvert  \cdot \left\lvert  f+g \right\rvert ^{p-1} + \int \left\lvert  g \right\rvert  \cdot \left\lvert  f+g \right\rvert ^{p-1} \\                         & \leq \left( \int \left\lvert  f \right\rvert ^p  \right)^{1/p}\left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^{(p-1)q} \right)^{1/q}      \\                         & \quad + \left( \int \left\lvert  q \right\rvert ^p  \right)^{1/p}\left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^{(p-1)q} \right)^{1/q}   \\                         & = \left( \left\lVert f \right\rVert_p + \left\lVert g \right\rVert_p \right) \left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p \right)^{1/q}.    \end{aligned}$$
-
-Since $\left\lVert f + g \right\rVert_p^p > 0$, we have
-
-$$\begin{aligned}        \left\lVert f + g \right\rVert_p & = \left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p \right)^{1/p}             \\                       & = \left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p \right)^{1 - \frac{1}{q}} \\                       & \leq \left\lVert f \right\rVert_p + \left\lVert g \right\rVert_p.    \end{aligned}$$
-
-**정의.** $f \sim g \iff f = g$ $\mu$-a.e. and define
-
-$$[f] = \left\lbrace g : f \sim g\right\rbrace.$$
-
-We treat $[f]$ as an element in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$, and write $f = [f]$.
-
-**참고.**
-
-1. We write $\left\lVert f \right\rVert_p = 0 \iff f = [0] = 0$ in the sense that $f = 0$ $\mu$-a.e.
-
-2. Now $\lVert \cdot \rVert_p$ is a **norm** in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$ so $d(f, g) = \left\lVert f - g \right\rVert_p$ is a **metric** in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$.
-
-## Completeness of $\mathcal{L}^p$
-
-Now we have a *function space*, so we are interested in its *completeness*.
-
-**정의.** (Convergence in $\mathcal{L}^p$) Let $f, f_n \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$.
-
-1. $f_n \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^p(\mu) \iff \left\lVert f_n-f \right\rVert_p \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$.
-
-2. $\left( f_n \right)_{n=1}^\infty$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$ if and only if
-
-> $\forall \epsilon > 0$, $\exists\,N > 0$ such that $n, m \geq N \implies \left\lVert f_n-f_m \right\rVert_p < \epsilon$.
-
-**도움정리.** Let $\left( g_n \right)$ be a sequence of measurable functions. Then,
-
-$$\left\lVert \sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert  g_n \right\rvert  \right\rVert_p \leq \sum_{n=1}^{\infty} \left\lVert g_n \right\rVert_p.$$
-
-Thus, if $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left\lVert g_n \right\rVert_p < \infty$, then $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert  g_n \right\rvert  < \infty$ $\mu$-a.e. So $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} g_n < \infty$ $\mu$-a.e.
-
-**증명.** By monotone convergence theorem and Minkowski inequality,
-
-$$\begin{aligned}        \left\lVert \sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert  g_n \right\rvert  \right\rVert_p & = \lim_{m \rightarrow\infty} \left\lVert \sum_{n=1}^{m} \left\lvert  g_n \right\rvert  \right\rVert_p \\                                               & \leq \lim_{n \rightarrow\infty} \sum_{n=1}^{m} \left\lVert g_n \right\rVert_p    \\                                               & = \sum_{n=1}^{\infty} \left\lVert g_n \right\rVert_p < \infty.    \end{aligned}$$
-
-Thus $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert  g_n \right\rvert  < \infty$ $\mu$-a.e. and $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} g_n < \infty$ $\mu$-a.e. by absolute convergence.
-
-**정리.** (Fischer) Suppose $\left( f_n \right)$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$. Then there exists $f \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$ such that $f_n \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$.
-
-**증명.** We construct $\left( n_k \right)$ by the following procedure.
-
-$\exists\,n_1 \in \mathbb{N}$ such that $\left\lVert f_m - f_{n_1} \right\rVert_p < \frac{1}{2}$ for all $m \geq n_1$.
-
-$\exists\,n_2 \in \mathbb{N}$ such that $\left\lVert f_m - f_{n_2} \right\rVert_p < \frac{1}{2^2}$ for all $m \geq n_2$.
-
-Then, $\exists\,1 \leq n_1 < n_2 < \cdots < n_k$ such that $\left\lVert f_m - f_{n_k} \right\rVert_p < \frac{1}{2^k}$ for $m \geq n_k$.
-
-Since $\displaystyle\left\lVert f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \right\rVert_p < \frac{1}{2^k}$, we have
-
-$$\sum_{k=1}^{\infty} \left\lVert f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \right\rVert_p < \infty.$$
-
-By the above lemma, $\sum \left\lvert  f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \right\rvert$ and $\sum (f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ are finite. Let $f_{n_0} \equiv 0$. Then as $m \rightarrow\infty$,
-
-$$f_{n_{m+1}} = \sum_{k=0}^{m} \left( f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \right)$$
-
-converges $\mu$-a.e. Take $N \in \mathscr{F}$ with $\mu(N) = 0$ such that $f_{n_k}$ converges on $X \setminus N$. Let
-
-$$f(x) = \begin{cases}        \displaystyle\lim_{k \rightarrow\infty} f_{n_k} (x) & (x \in X \setminus N) \\ 0 & (x\in N)    \end{cases}$$
-
-then $f$ is measurable. Using the convergence,
-
-$$\begin{aligned}        \left\lVert f - f_{n_m} \right\rVert_p & = \left\lVert \sum_{k=m}^{\infty} \left( f_{n_{k+1}} (x) - f_{n_k}(x) \right) \right\rVert_p  \\                             & \leq \left\lVert \sum_{k=m}^{\infty} \left\lvert  f_{n_{k+1}} (x) - f_{n_k}(x) \right\rvert  \right\rVert_p \\                             & \leq \sum_{k=m}^{\infty} \left\lVert f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \right\rVert_p \leq 2^{-m}    \end{aligned}$$
-
-by the choice of $f_{n_k}$. So $f_{n_k} \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$. Also, $f = (f - f_{n_k}) + f_{n_k} \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$.
-
-Let $\epsilon > 0$ be given. Since $\left( f_n \right)$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}$, $\exists\,N \in \mathbb{N}$ such that for all $n, m \geq N$, $\left\lVert f_n - f_m \right\rVert < \frac{\epsilon}{2}$. Note that $n_k \geq k$, so $n_k \geq N$ if $k \geq N$. Choose $N_1 \geq N$ such that for $k \geq N$, $\left\lVert f - f_{n_k} \right\rVert_p < \frac{\epsilon}{2}$. Then for all $k \geq N_1$,
-
-$$\left\lVert f - f_k \right\rVert_p \leq \left\lVert f - f_{n_k} \right\rVert_p + \left\lVert f_{n_k} - f_k \right\rVert_p < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.$$
-
-**참고.** $\mathcal{L}^{p}$ is a complete normed vector space, also known as **Banach space**.
-
-**정리.** $C[a, b]$ is a dense subset of $\mathcal{L}^{p}[a, b]$. That is, for every $f \in \mathcal{L}^{p}[a, b]$ and $\epsilon > 0$, $\exists\,g \in C[a, b]$ such that $\left\lVert f - g \right\rVert_p < \epsilon$.
-
-**증명.** Let $A$ be a closed subset in $[a, b]$, and consider a distance function
-
-$$d(x, A) = \inf_{y\in A} \left\lvert  x - y \right\rvert , \quad x \in [a, b].$$
-
-Since $d(x, A) \leq \left\lvert  x - z \right\rvert  \leq \left\lvert  x - y \right\rvert  + \left\lvert  y - z \right\rvert$ for all $z \in A$, taking infimum over $z \in A$ gives $d(x, A) \leq \left\lvert  x - y \right\rvert  + d(y, A)$. So
-
-$$\left\lvert  d(x, A) - d(y, A) \right\rvert  \leq \left\lvert  x - y \right\rvert ,$$
-
-and $d(x, A)$ is continuous. If $d(x, A) = 0$, $\exists\,x_n \in A$ such that $\left\lvert  x_n - x \right\rvert  \rightarrow d(x, A) = 0$. Since $A$ is closed, $x \in A$. We know that $x \in A \iff d(x, A) = 0$.
-
-Let
-
-$$g_n(x) = \frac{1}{1 + n d(x, A)}.$$
-
-$g_n$ is continuous, $g_n(x) = 1$ if and only if $x \in A$. Also for all $x \in [a, b] \setminus A$, $g_n(x) \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$. By Lebesgue’s dominated convergence theorem,
-
-$$\begin{aligned}        \left\lVert g_n - \chi_A \right\rVert_p^p & = \int_A \left\lvert  g_n - \chi_A \right\rvert ^p \,d{x} + \int_{[a, b]\setminus A} \left\lvert  g_n - \chi_A \right\rvert ^p \,d{x} \\                                & = 0 + \int_{[a, b]\setminus A} \left\lvert  g_n \right\rvert ^p \,d{x} \rightarrow 0    \end{aligned}$$
-
-since $\left\lvert  g_n \right\rvert ^p \leq 1$. We have shown that characteristic functions of closed sets can be approximated by continuous functions in $\mathcal{L}^{p}[a, b]$.
-
-For every $A \in \mathfrak{M}(m)$, $\exists\,F_\text{closed} \subseteq A$ such that $m(A \setminus F) < \epsilon$. Since $\chi_A - \chi_F = \chi_{A \setminus F}$,
-
-$$\begin{aligned}        \int \left\lvert  \chi_A-\chi_F \right\rvert ^p \,d{x} & = \int \left\lvert  \chi_{A\setminus F} \right\rvert ^p \,d{x}             \\                                         & = \int_{A\setminus F} \,d{x} = m(A \setminus F) < \epsilon.    \end{aligned}$$
-
-Therefore, for every $A \in \mathfrak{M}$, $\exists\,g_n \in C[a, b]$ such that $\left\lVert g_n - \chi_A \right\rVert_p \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$. So characteristic functions of any measurable set can be approximated by continuous functions in $\mathcal{L}^{p}[a, b]$.
-
-Next, for any measurable simple function $f = \sum_{k=1}^{m}a_k \chi_{A_k}$, we can find $g_n^k \in C[a, b]$ so that
-
-$$\left\lVert f - \sum_{k=1}^{m} a_k g_n^k \right\rVert_p = \left\lVert \sum_{k=1}^{m}a_k \left( \chi_{A_k} - g_n^k \right) \right\rVert_p \rightarrow 0.$$
-
-Next for $f \in \mathcal{L}^{p}$ and $f \geq 0$, there exist simple functions $f_n \geq 0$ such that $f_n \nearrow f$ in $\mathcal{L}^{p}$. Finally, any $f \in \mathcal{L}^{p}$ can be written as $f = f^+ - f^-$, which completes the proof.
-
-이러한 확장을 몇 번 해보면 굉장히 routine합니다. $\chi_F$ for closed $F$ $\rightarrow$ $\chi_A$ for measurable $A$ $\rightarrow$ measurable simple $f$ $\rightarrow$ $0\leq f \in \mathcal{L}^{p} \rightarrow$ $f \in \mathcal{L}^{p}$ 와 같은 순서로 확장합니다.

_posts/Mathematics/coq/2023-07-08-rules-of-inference.md

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   - Mathematics
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_posts/Mathematics/measure-theory/2023-07-31-Lp-functions.md

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+  - Measure Theory
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+title: 09. $\mathcal{L}^p$ Functions
+date: 2023-07-31
+github_title: 2023-07-31-Lp-functions
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+
+![mt-09.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-09.png){: .w-50}
+
+## Integration on Complex Valued Function
+
+Let $(X, \mathscr{F}, \mu)$ be a measure space, and $E \in \mathscr{F}$.
+
+**정의.**
+
+1. A complex valued function $f = u + iv$, (where $u, v$ are real functions) is measurable if $u$ and $v$ are both measurable.
+
+2. For a complex function $f$,
+
+	$$f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu) \iff  \int _ E \left\lvert  f \right\rvert  \,d{\mu} < \infty \iff u, v \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu).$$
+
+3. If $f = u + iv \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$, we define
+
+	$$\int _ E f \,d{\mu} = \int _ E u \,d{\mu} + i\int _ E v \,d{\mu}.$$
+
+**참고.**
+
+1. Linearity also holds for complex valued functions. For $f _ 1, f _ 2 \in \mathcal{L}^{1}(\mu)$ and $\alpha \in \mathbb{C}$,
+
+	$$\int _ E \left( f _ 1 + \alpha f _ 2 \right) \,d{\mu} = \int _ E f _ 1 \,d{\mu} +  \alpha \int _ E f _ 2 \,d{\mu}.$$
+
+2. Choose $c \in \mathbb{C}$ and $\left\lvert  c \right\rvert  = 1$ such that $\displaystyle c \int _ E f \,d{\mu} \geq 0$. This is possible since multiplying by $c$ is equivalent to a rotation.
+
+Now set $cf = u + vi$ where $u, v$ are real functions and the integral of $v$ over $E$ is $0$. Then,
+
+$$\begin{aligned}                      \left\lvert  \int _ E f \,d{\mu} \right\rvert  & = c \int _ E f\,d{\mu} = \int _ E u \,d{\mu}              \\                                             & \leq \int _ E (u^2+v^2)^{1/2} \,d{\mu}                 \\                                             & = \int _ E \left\lvert  cf \right\rvert  \,d{\mu} = \int _ E \left\lvert  f \right\rvert  \,d{\mu}.                  \end{aligned}$$
+
+## Functions of Class $\mathcal{L}^{p}$
+
+### $\mathcal{L}^p$ Space
+
+Assume that $(X, \mathscr{F}, \mu)$ is given and $X = E$.
+
+**정의.** ($\mathcal{L}^{p}$) A complex function $f$ is in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$ if $f$ is measurable and $\displaystyle\int _ E \left\lvert  f \right\rvert ^p \,d{\mu} < \infty$.
+
+**정의.** ($\mathcal{L}^{p}$-norm) **$\mathcal{L}^{p}$-norm** of $f$ is defined as
+
+$$\left\lVert f \right\rVert _ p = \left[\int _ E \left\lvert  f \right\rvert ^p \,d{\mu} \right]^{1/p}.$$
+
+### Inequalities
+
+**정리.** (Young Inequality) For $a, b \geq 0$, if $p > 1$ and $1/p + 1/q = 1$, then
+
+$$ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.$$
+
+**증명.** From $1/p + 1/q = 1$, $p - 1 = \frac{1}{q - 1}$. The graph $y = x^{p - 1}$ is equal to the graph of $x = y^{q - 1}$. Sketch the graph on the $xy$-plane and consider the area bounded by $x = 0$, $x = a$, $y = 0$, $y = b$. Then we directly see that
+
+$$\int _ 0^a x^{p-1} \,d{x} + \int _ 0^b y^{q-1} \,d{y} \geq ab,$$
+
+with equality when $a^p = b^q$. Evaluating the integral gives the desired inequality.
+
+**참고.** For $\mathscr{F}$-measurable $f, g$ on $X$,
+
+$$\left\lvert  fg \right\rvert  \leq \frac{\left\lvert  f \right\rvert ^p}{p} + \frac{\left\lvert  g \right\rvert ^q}{q} \implies \left\lVert fg \right\rVert _ 1 \leq \frac{\left\lVert f \right\rVert _ p^p}{p} + \frac{\left\lVert g \right\rVert _ q^q}{q}$$
+
+by Young inequality. In particular, if $\left\lVert f \right\rVert _ p = \left\lVert g \right\rVert _ q = 1$, then $\left\lVert fg \right\rVert _ 1 \leq 1$.
+
+**정리.** (Hölder Inequality) Let $1 < p < \infty$ and $\displaystyle\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. If $f, g$ are measurable,
+
+$$\left\lVert fg \right\rVert _ 1 \leq \left\lVert f \right\rVert _ p \left\lVert g \right\rVert _ q.$$
+
+So if $f \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$ and $g \in \mathcal{L}^{q}(\mu)$, then $fg \in \mathcal{L}^{1}(\mu)$.
+
+**증명.** If $\left\lVert f \right\rVert _ p = 0$ or $\left\lVert g \right\rVert _ q = 0$ then $f = 0$ a.e. or $g = 0$ a.e. So $fg = 0$ a.e. and $\left\lVert fg \right\rVert _ 1 = 0$.
+
+Now suppose that $\left\lVert f \right\rVert _ p > 0$ and $\left\lVert g \right\rVert _ q > 0$. By the remark above, the result directly follows from
+
+$$\left\lVert \frac{f}{\left\lVert f \right\rVert _ p} \cdot \frac{g}{\left\lVert g \right\rVert _ q} \right\rVert _ 1 \leq 1.$$
+
+**정리.** (Minkowski Inequality) For $1 \leq p < \infty$, if $f, g$ are measurable, then
+
+$$\left\lVert f + g \right\rVert _ p \leq \left\lVert f \right\rVert _ p + \left\lVert g \right\rVert _ p.$$
+
+**증명.** If $f, g \notin \mathcal{L}^{p}$, the right hand side is $\infty$ and we are done. For $p = 1$, the equality is equivalent to the triangle inequality. Also if $\left\lVert f + g \right\rVert _ p = 0$, the inequality holds trivially. We suppose that $p > 1$, $f, g \in \mathcal{L}^p$ and $\left\lVert f+g \right\rVert _ p > 0$.
+
+Let $q = \frac{p}{p-1}$. Since
+
+$$\begin{aligned}        \left\lvert  f + g \right\rvert ^p & = \left\lvert  f + g \right\rvert \cdot \left\lvert  f + g \right\rvert ^{p - 1}                \\                      & \leq \bigl(\left\lvert  f \right\rvert  + \left\lvert  g \right\rvert \bigr) \left\lvert  f + g \right\rvert ^{p-1},    \end{aligned}$$
+
+we have
+
+$$\begin{aligned}        \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p & \leq \int \left\lvert  f \right\rvert  \cdot \left\lvert  f+g \right\rvert ^{p-1} + \int \left\lvert  g \right\rvert  \cdot \left\lvert  f+g \right\rvert ^{p-1} \\                         & \leq \left( \int \left\lvert  f \right\rvert ^p  \right)^{1/p}\left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^{(p-1)q} \right)^{1/q}      \\                         & \quad + \left( \int \left\lvert  q \right\rvert ^p  \right)^{1/p}\left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^{(p-1)q} \right)^{1/q}   \\                         & = \left( \left\lVert f \right\rVert _ p + \left\lVert g \right\rVert _ p \right) \left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p \right)^{1/q}.    \end{aligned}$$
+
+Since $\left\lVert f + g \right\rVert _ p^p > 0$, we have
+
+$$\begin{aligned}        \left\lVert f + g \right\rVert _ p & = \left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p \right)^{1/p}             \\                       & = \left( \int \left\lvert  f+g \right\rvert ^p \right)^{1 - \frac{1}{q}} \\                       & \leq \left\lVert f \right\rVert _ p + \left\lVert g \right\rVert _ p.    \end{aligned}$$
+
+**정의.** $f \sim g \iff f = g$ $\mu$-a.e. and define
+
+$$[f] = \left\lbrace g : f \sim g\right\rbrace.$$
+
+We treat $[f]$ as an element in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$, and write $f = [f]$.
+
+**참고.**
+
+1. We write $\left\lVert f \right\rVert _ p = 0 \iff f = [0] = 0$ in the sense that $f = 0$ $\mu$-a.e.
+
+2. Now $\lVert \cdot \rVert _ p$ is a **norm** in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$ so $d(f, g) = \left\lVert f - g \right\rVert _ p$ is a **metric** in $\mathcal{L}^{p}(X, \mu)$.
+
+## Completeness of $\mathcal{L}^p$
+
+Now we have a *function space*, so we are interested in its *completeness*.
+
+**정의.** (Convergence in $\mathcal{L}^p$) Let $f, f _ n \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$.
+
+1. $f _ n \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^p(\mu) \iff \left\lVert f _ n-f \right\rVert _ p \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$.
+
+2. $\left( f _ n \right) _ {n=1}^\infty$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$ if and only if
+
+> $\forall \epsilon > 0$, $\exists\,N > 0$ such that $n, m \geq N \implies \left\lVert f _ n-f _ m \right\rVert _ p < \epsilon$.
+
+**도움정리.** Let $\left( g _ n \right)$ be a sequence of measurable functions. Then,
+
+$$\left\lVert \sum _ {n=1}^{\infty} \left\lvert  g _ n \right\rvert  \right\rVert _ p \leq \sum _ {n=1}^{\infty} \left\lVert g _ n \right\rVert _ p.$$
+
+Thus, if $\displaystyle\sum _ {n=1}^{\infty} \left\lVert g _ n \right\rVert _ p < \infty$, then $\displaystyle\sum _ {n=1}^{\infty} \left\lvert  g _ n \right\rvert  < \infty$ $\mu$-a.e. So $\displaystyle\sum _ {n=1}^{\infty} g _ n < \infty$ $\mu$-a.e.
+
+**증명.** By monotone convergence theorem and Minkowski inequality,
+
+$$\begin{aligned}        \left\lVert \sum _ {n=1}^{\infty} \left\lvert  g _ n \right\rvert  \right\rVert _ p & = \lim _ {m \rightarrow\infty} \left\lVert \sum _ {n=1}^{m} \left\lvert  g _ n \right\rvert  \right\rVert _ p \\                                               & \leq \lim _ {n \rightarrow\infty} \sum _ {n=1}^{m} \left\lVert g _ n \right\rVert _ p    \\                                               & = \sum _ {n=1}^{\infty} \left\lVert g _ n \right\rVert _ p < \infty.    \end{aligned}$$
+
+Thus $\displaystyle\sum _ {n=1}^{\infty} \left\lvert  g _ n \right\rvert  < \infty$ $\mu$-a.e. and $\displaystyle\sum _ {n=1}^{\infty} g _ n < \infty$ $\mu$-a.e. by absolute convergence.
+
+**정리.** (Fischer) Suppose $\left( f _ n \right)$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$. Then there exists $f \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$ such that $f _ n \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$.
+
+**증명.** We construct $\left( n _ k \right)$ by the following procedure.
+
+$\exists\,n _ 1 \in \mathbb{N}$ such that $\left\lVert f _ m - f _ {n _ 1} \right\rVert _ p < \frac{1}{2}$ for all $m \geq n _ 1$.
+
+$\exists\,n _ 2 \in \mathbb{N}$ such that $\left\lVert f _ m - f _ {n _ 2} \right\rVert _ p < \frac{1}{2^2}$ for all $m \geq n _ 2$.
+
+Then, $\exists\,1 \leq n _ 1 < n _ 2 < \cdots < n _ k$ such that $\left\lVert f _ m - f _ {n _ k} \right\rVert _ p < \frac{1}{2^k}$ for $m \geq n _ k$.
+
+Since $\displaystyle\left\lVert f _ {n _ {k+1}} - f _ {n _ k} \right\rVert _ p < \frac{1}{2^k}$, we have
+
+$$\sum _ {k=1}^{\infty} \left\lVert f _ {n _ {k+1}} - f _ {n _ k} \right\rVert _ p < \infty.$$
+
+By the above lemma, $\sum \left\lvert  f _ {n _ {k+1}} - f _ {n _ k} \right\rvert$ and $\sum (f _ {n _ {k+1}} - f _ {n _ k})$ are finite. Let $f _ {n _ 0} \equiv 0$. Then as $m \rightarrow\infty$,
+
+$$f _ {n _ {m+1}} = \sum _ {k=0}^{m} \left( f _ {n _ {k+1}} - f _ {n _ k} \right)$$
+
+converges $\mu$-a.e. Take $N \in \mathscr{F}$ with $\mu(N) = 0$ such that $f _ {n _ k}$ converges on $X \setminus N$. Let
+
+$$f(x) = \begin{cases}        \displaystyle\lim _ {k \rightarrow\infty} f _ {n _ k} (x) & (x \in X \setminus N) \\ 0 & (x\in N)    \end{cases}$$
+
+then $f$ is measurable. Using the convergence,
+
+$$\begin{aligned}        \left\lVert f - f _ {n _ m} \right\rVert _ p & = \left\lVert \sum _ {k=m}^{\infty} \left( f _ {n _ {k+1}} (x) - f _ {n _ k}(x) \right) \right\rVert _ p  \\                             & \leq \left\lVert \sum _ {k=m}^{\infty} \left\lvert  f _ {n _ {k+1}} (x) - f _ {n _ k}(x) \right\rvert  \right\rVert _ p \\                             & \leq \sum _ {k=m}^{\infty} \left\lVert f _ {n _ {k+1}} - f _ {n _ k} \right\rVert _ p \leq 2^{-m}    \end{aligned}$$
+
+by the choice of $f _ {n _ k}$. So $f _ {n _ k} \rightarrow f$ in $\mathcal{L}^{p}(\mu)$. Also, $f = (f - f _ {n _ k}) + f _ {n _ k} \in \mathcal{L}^{p}(\mu)$.
+
+Let $\epsilon > 0$ be given. Since $\left( f _ n \right)$ is a Cauchy sequence in $\mathcal{L}^{p}$, $\exists\,N \in \mathbb{N}$ such that for all $n, m \geq N$, $\left\lVert f _ n - f _ m \right\rVert < \frac{\epsilon}{2}$. Note that $n _ k \geq k$, so $n _ k \geq N$ if $k \geq N$. Choose $N _ 1 \geq N$ such that for $k \geq N$, $\left\lVert f - f _ {n _ k} \right\rVert _ p < \frac{\epsilon}{2}$. Then for all $k \geq N _ 1$,
+
+$$\left\lVert f - f _ k \right\rVert _ p \leq \left\lVert f - f _ {n _ k} \right\rVert _ p + \left\lVert f _ {n _ k} - f _ k \right\rVert _ p < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.$$
+
+**참고.** $\mathcal{L}^{p}$ is a complete normed vector space, also known as **Banach space**.
+
+**정리.** $C[a, b]$ is a dense subset of $\mathcal{L}^{p}[a, b]$. That is, for every $f \in \mathcal{L}^{p}[a, b]$ and $\epsilon > 0$, $\exists\,g \in C[a, b]$ such that $\left\lVert f - g \right\rVert _ p < \epsilon$.
+
+**증명.** Let $A$ be a closed subset in $[a, b]$, and consider a distance function
+
+$$d(x, A) = \inf _ {y\in A} \left\lvert  x - y \right\rvert , \quad x \in [a, b].$$
+
+Since $d(x, A) \leq \left\lvert  x - z \right\rvert  \leq \left\lvert  x - y \right\rvert  + \left\lvert  y - z \right\rvert$ for all $z \in A$, taking infimum over $z \in A$ gives $d(x, A) \leq \left\lvert  x - y \right\rvert  + d(y, A)$. So
+
+$$\left\lvert  d(x, A) - d(y, A) \right\rvert  \leq \left\lvert  x - y \right\rvert ,$$
+
+and $d(x, A)$ is continuous. If $d(x, A) = 0$, $\exists\,x _ n \in A$ such that $\left\lvert  x _ n - x \right\rvert  \rightarrow d(x, A) = 0$. Since $A$ is closed, $x \in A$. We know that $x \in A \iff d(x, A) = 0$.
+
+Let
+
+$$g _ n(x) = \frac{1}{1 + n d(x, A)}.$$
+
+$g _ n$ is continuous, $g _ n(x) = 1$ if and only if $x \in A$. Also for all $x \in [a, b] \setminus A$, $g _ n(x) \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$. By Lebesgue’s dominated convergence theorem,
+
+$$\begin{aligned}        \left\lVert g _ n - \chi _ A \right\rVert _ p^p & = \int _ A \left\lvert  g _ n - \chi _ A \right\rvert ^p \,d{x} + \int _ {[a, b]\setminus A} \left\lvert  g _ n - \chi _ A \right\rvert ^p \,d{x} \\                                & = 0 + \int _ {[a, b]\setminus A} \left\lvert  g _ n \right\rvert ^p \,d{x} \rightarrow 0    \end{aligned}$$
+
+since $\left\lvert  g _ n \right\rvert ^p \leq 1$. We have shown that characteristic functions of closed sets can be approximated by continuous functions in $\mathcal{L}^{p}[a, b]$.
+
+For every $A \in \mathfrak{M}(m)$, $\exists\,F _ \text{closed} \subseteq A$ such that $m(A \setminus F) < \epsilon$. Since $\chi _ A - \chi _ F = \chi _ {A \setminus F}$,
+
+$$\begin{aligned}        \int \left\lvert  \chi _ A-\chi _ F \right\rvert ^p \,d{x} & = \int \left\lvert  \chi _ {A\setminus F} \right\rvert ^p \,d{x}             \\                                         & = \int _ {A\setminus F} \,d{x} = m(A \setminus F) < \epsilon.    \end{aligned}$$
+
+Therefore, for every $A \in \mathfrak{M}$, $\exists\,g _ n \in C[a, b]$ such that $\left\lVert g _ n - \chi _ A \right\rVert _ p \rightarrow 0$ as $n \rightarrow\infty$. So characteristic functions of any measurable set can be approximated by continuous functions in $\mathcal{L}^{p}[a, b]$.
+
+Next, for any measurable simple function $f = \sum _ {k=1}^{m}a _ k \chi _ {A _ k}$, we can find $g _ n^k \in C[a, b]$ so that
+
+$$\left\lVert f - \sum _ {k=1}^{m} a _ k g _ n^k \right\rVert _ p = \left\lVert \sum _ {k=1}^{m}a _ k \left( \chi _ {A _ k} - g _ n^k \right) \right\rVert _ p \rightarrow 0.$$
+
+Next for $f \in \mathcal{L}^{p}$ and $f \geq 0$, there exist simple functions $f _ n \geq 0$ such that $f _ n \nearrow f$ in $\mathcal{L}^{p}$. Finally, any $f \in \mathcal{L}^{p}$ can be written as $f = f^+ - f^-$, which completes the proof.
+
+이러한 확장을 몇 번 해보면 굉장히 routine합니다. $\chi _ F$ for closed $F$ $\rightarrow$ $\chi _ A$ for measurable $A$ $\rightarrow$ measurable simple $f$ $\rightarrow$ $0\leq f \in \mathcal{L}^{p} \rightarrow$ $f \in \mathcal{L}^{p}$ 와 같은 순서로 확장합니다.

_posts/algorithms/boj/2023-11-02-random-ps-1.md

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   - Algorithms
   - BOJ
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   - boj

_posts/algorithms/data-structures/2024-04-12-search-time-hash-tables.md

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   - Algorithms
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_posts/articles/2024-03-11-you-and-your-research.md

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   - Articles
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   - research
   - career

_posts/lecture-notes/internet-security/2023-09-11-symmetric-key-cryptography-1.md

@@ -191,7 +191,7 @@ Let $m \in \left\lbrace 0, 1 \right\rbrace^n$ be the message to encrypt. Then ch
 - Encryption: $E(k, m) = k \oplus m$.
 - Decryption: $D(k, c) = k \oplus c$.
 
-This scheme is **provably secure**. See also [one-time pad (Modern Cryptography)](../modern-cryptography/2023-09-07-otp-stream-cipher-prgs.md#one-time-pad-(otp)).
+This scheme is **provably secure**. See also [one-time pad (Modern Cryptography)](../../modern-cryptography/2023-09-07-otp-stream-cipher-prgs/#one-time-pad-(otp)).
 
 ## Perfect Secrecy
 
@@ -225,7 +225,7 @@ since for each $m$ and $c$, $k$ is determined uniquely.
 
 *Proof*. Assume not, then we can find some message $m _ 0 \in \mathcal{M}$ such that $m _ 0$ is not a decryption of some $c \in \mathcal{C}$. This is because the decryption algorithm $D$ is deterministic and $\lvert \mathcal{K} \rvert < \lvert \mathcal{M} \rvert$.
 
-For the proof in detail, check [Shannon's Theorem (Modern Cryptography)](../modern-cryptography/2023-09-07-otp-stream-cipher-prgs.md#shannon's-theorem).
+For the proof in detail, check [Shannon's Theorem (Modern Cryptography)](../../modern-cryptography/2023-09-07-otp-stream-cipher-prgs/#shannon's-theorem).
 
 ### Two-Time Pad is Insecure
 

_posts/lecture-notes/internet-security/2023-10-04-rsa-elgamal.md

@@ -140,7 +140,7 @@ This is an inverse problem of exponentiation. The inverse of exponentials is log
 
 Given $y \equiv g^x \pmod p$ for some prime $p$, we want to find $x = \log _ g y$. We set $g$ to be a generator of the group $\mathbb{Z} _ p$ or $\mathbb{Z} _ p^\ast$, since if $g$ is the generator, a solution always exists.
 
-Read more in [discrete logarithm problem (Modern Cryptography)](../modern-cryptography/2023-10-03-key-exchange.md#discrete-logarithm-problem-(dl)).
+Read more in [discrete logarithm problem (Modern Cryptography)](../../modern-cryptography/2023-10-03-key-exchange/#discrete-logarithm-problem-(dl)).
 
 ## ElGamal Encryption
 

_posts/lecture-notes/internet-security/2023-10-09-public-key-cryptography.md

@@ -15,7 +15,7 @@ date: 2023-10-09
 github_title: 2023-10-09-public-key-cryptography
 ---
 
-In symmetric key cryptography, we have a problem with key sharing and management. More info in the first few paragraphs of [Key Exchange (Modern Cryptography)](../modern-cryptography/2023-10-03-key-exchange.md).
+In symmetric key cryptography, we have a problem with key sharing and management. More info in the first few paragraphs of [Key Exchange (Modern Cryptography)](../../modern-cryptography/2023-10-03-key-exchange/).
 
 ## Public Key Cryptography
 
@@ -32,7 +32,7 @@ These keys are created to be used in **trapdoor one-way functions**.
 
 A **one-way function** is a function that is easy to compute, but hard to compute the pre-image of any output. Here are some common examples.
 
-- *Cryptographic hash functions*: [Hash Functions (Modern Cryptography)](../modern-cryptography/2023-09-28-hash-functions.md#collision-resistance).
+- *Cryptographic hash functions*: [Hash Functions (Modern Cryptography)](../../modern-cryptography/2023-09-28-hash-functions/#collision-resistance).
 - *Factoring a large integer*: It is easy to multiply to integers even if they're large, but factoring is very hard.
 - *Discrete logarithm problem*: It is easy to exponentiate a number, but it is hard to find the discrete logarithm.
 
@@ -87,7 +87,7 @@ Choose a large prime $p$ and a generator $g$ of $\mathbb{Z}_p^\ast$. The descrip
 > 3. Alice and Bob calculate $g^{xy} \bmod p$ separately.
 > 4. Eve can see $g^x \bmod p$, $g^y \bmod p$ but cannot calculate $g^{xy} \bmod p$.
 
-Refer to [Diffie-Hellman Key Exchange (Modern Cryptography)](../modern-cryptography/2023-10-03-key-exchange.md#diffie-hellman-key-exchange-(dhke)).
+Refer to [Diffie-Hellman Key Exchange (Modern Cryptography)](../../modern-cryptography/2023-10-03-key-exchange/#diffie-hellman-key-exchange-(dhke)).
 
 ## Message Integrity
 

_posts/lecture-notes/modern-cryptography/2023-09-19-symmetric-key-encryption.md

@@ -130,7 +130,7 @@ We learned how to encrypt a single block. How do we encrypt longer messages with
 
 There are many ways of processing multiple blocks, this is called the **mode of operation**.
 
-Additional explanation available in [Modes of Operations (Internet Security)](../internet-security/2023-09-18-symmetric-key-cryptography-2.md#modes-of-operations).
+Additional explanation available in [Modes of Operations (Internet Security)](../../internet-security/2023-09-18-symmetric-key-cryptography-2/#modes-of-operations).
 
 ### Electronic Codebook Mode (ECB)
 

_posts/lecture-notes/modern-cryptography/2023-09-26-cca-security-authenticated-encryption.md

@@ -54,7 +54,7 @@ Now we define a stronger notion of security against **chosen ciphertext attacks*
 
 None of the encryption schemes already seen thus far is CCA secure.
 
-Recall a [CPA secure construction from PRF](./2023-09-19-symmetric-key-encryption.md#secure-construction-from-prf). This scheme is not CCA secure. Suppose that the adversary is given $c^\ast = (r, F(k, r) \oplus m_b)$. Then it can request a decryption for $c' = (r, s')$ for some $s'$ and receive $m' = s' \oplus F(k, r)$. Then $F(k, r) = m' \oplus s'$, so the adversary can successfully recover $m_b$.
+Recall a [CPA secure construction from PRF](../2023-09-19-symmetric-key-encryption/#secure-construction-from-prf). This scheme is not CCA secure. Suppose that the adversary is given $c^\ast = (r, F(k, r) \oplus m _ b)$. Then it can request a decryption for $c' = (r, s')$ for some $s'$ and receive $m' = s' \oplus F(k, r)$. Then $F(k, r) = m' \oplus s'$, so the adversary can successfully recover $m _ b$.
 
 In general, any encryption scheme that allows ciphertexts to be *manipulated* in a controlled way cannot be CCA secure.
 

_posts/lecture-notes/modern-cryptography/2023-09-28-hash-functions.md

@@ -150,7 +150,7 @@ See Joux's attack.[^2]
 
 Now we only have to build a collision resistant compression function. We can build these functions from either a block cipher, or by using number theoretic primitives.
 
-Number theoretic primitives will be shown after we learn some number theory.[^3] An example is shown in [collision resistance using DL problem (Modern Cryptography)](./2023-10-03-key-exchange.md#collision-resistance-based-on-dl-problem).
+Number theoretic primitives will be shown after we learn some number theory.[^3] An example is shown in [collision resistance using DL problem (Modern Cryptography)](../2023-10-03-key-exchange/#collision-resistance-based-on-dl-problem).
 
 ![mc-06-davies-meyer.png](../../../assets/img/posts/lecture-notes/modern-cryptography/mc-06-davies-meyer.png)
 
@@ -195,7 +195,7 @@ We needed a complicated construction for MACs that work on long messages. We mig
 
 Here are a few approaches. Suppose that a compression function $h$ is given and $H$ is a Merkle-Damgård function derived from $h$.
 
-Recall that [we can construct a MAC scheme from a PRF](./2023-09-21-macs.md#mac-constructions-from-prfs), so either we want a secure PRF or a secure MAC scheme.
+Recall that [we can construct a MAC scheme from a PRF](../2023-09-21-macs/#mac-constructions-from-prfs), so either we want a secure PRF or a secure MAC scheme.
 
 #### Prepending the Key
 

_posts/lecture-notes/modern-cryptography/2023-10-19-public-key-encryption.md

@@ -69,7 +69,7 @@ Note that $pk$ is sent to the adversary, and adversary can encrypt any message!
 
 For symmetric ciphers, semantic security (one-time) did not guarantee CPA security (many-time). But in public key encryption, semantic security implies CPA security. This is because *the attacker can encrypt any message using the public key*.
 
-First, we check the definition of CPA security for public key encryption. It is similar to that of symmetric ciphers, compare with [CPA Security for symmetric key encryption (Modern Cryptography)](./2023-09-19-symmetric-key-encryption.md#cpa-security).
+First, we check the definition of CPA security for public key encryption. It is similar to that of symmetric ciphers, compare with [CPA Security for symmetric key encryption (Modern Cryptography)](../2023-09-19-symmetric-key-encryption/#cpa-security).
 
 > **Definition.** For a given public-key encryption scheme $\mc{E} = (G, E, D)$ defined over $(\mc{M}, \mc{C})$ and given an adversary $\mc{A}$, define experiments 0 and 1.
 >
@@ -141,7 +141,7 @@ $$
 
 ## CCA Security for Public Key Encryption
 
-We also define CCA security for public key encryption, which models a wide spectrum of real-world attacks. The definition is also very similar to that of symmetric ciphers, compare with [CCA security for symmetric ciphers (Modern Cryptography)](./2023-09-26-cca-security-authenticated-encryption.md#cca-security).
+We also define CCA security for public key encryption, which models a wide spectrum of real-world attacks. The definition is also very similar to that of symmetric ciphers, compare with [CCA security for symmetric ciphers (Modern Cryptography)](../2023-09-26-cca-security-authenticated-encryption/#cca-security).
 
 > **Definition.** Let $\mc{E} = (G, E, D)$ be a public-key encryption scheme over $(\mc{M}, \mc{C})$. Given an adversary $\mc{A}$, define experiments $0$ and $1$.
 >
@@ -176,7 +176,7 @@ Similarly, 1CCA security implies CCA security, as in the above theorem. So to sh
 
 ### Active Adversaries in Symmetric vs Public Key
 
-In symmetric key encryption, we studied [authenticated encryption (AE)](./2023-09-26-cca-security-authenticated-encryption.md#authenticated-encryption-(ae)), which required the scheme to be CPA secure and provide ciphertext integrity. In symmetric key settings, AE implied CCA.
+In symmetric key encryption, we studied [authenticated encryption (AE)](../2023-09-26-cca-security-authenticated-encryption/#authenticated-encryption-(ae)), which required the scheme to be CPA secure and provide ciphertext integrity. In symmetric key settings, AE implied CCA.
 
 However in public-key schemes, adversaries can always create new ciphertexts using the public key, which makes the original definition of ciphertext integrity unusable. Thus we directly require CCA security.
 

_posts/lecture-notes/modern-cryptography/2023-10-26-digital-signatures.md

@@ -25,7 +25,7 @@ attachment:
 >
 > - A probabilistic algorithm $G$ outputs a pair $(pk, sk)$, where $sk$ is called a secret **signing key**, and $pk$ is a public **verification key**.
 > - Given $sk$ and a message $m$, a probabilistic algorithm $S$ outputs a **signature** $\sigma \la S(sk, m)$.
-> - $V$ is a deterministic algorithm that outputs either $\texttt{{accept}}$ or $\texttt{reject}$ for $V(pk, m, \sigma)$.
+> - $V$ is a deterministic algorithm that outputs either $\texttt{accept}$ or $\texttt{reject}$ for $V(pk, m, \sigma)$.
 
 The correctness property requires that all signatures generated by $S$ is always accepted by $V$. For all $(pk, sk) \la G$ and $m \in \mc{M}$,
 
@@ -239,7 +239,7 @@ Schnorr's scheme was protected by a patent, so NIST opted for a ad-hoc signature
 
 How would you trust public keys? We introduce **digital certificates** for this.
 
-Read in [public key infrastructure (Internet Security)](../../internet-security/2023-10-16-pki).
+Read in [public key infrastructure (Internet Security)](../../internet-security/2023-10-16-pki/).
 
 [^1]: A Graduate Course in Applied Cryptography
 [^2]: By using the [Fiat-Shamir transform](../2023-11-07-sigma-protocols/#the-fiat-shamir-transform).

_posts/mathematics/measure-theory/2023-01-11-algebra-of-sets.md

@@ -2,18 +2,24 @@
 share: true
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-categories: [Mathematics, Measure Theory]
+categories:
-tags: [math, analysis, measure-theory]
+  - Mathematics
-title: "01. Algebra of Sets"
+  - Measure Theory
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-github_title: "2023-01-11-algebra-of-sets"
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+  - analysis
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+title: 01. Algebra of Sets
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+github_title: 2023-01-11-algebra-of-sets
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-  path: /assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory/mt-01.png
+  path: /assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-01.png
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-  folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
+  folder: assets/img/posts/mathematics/measure-theory
 ---
 
-![mt-01.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-01.png)
+![mt-01.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-01.png)
 
 르벡 적분을 공부하기 위해서는 먼저 집합의 ‘길이’ 개념을 공부해야 합니다. 그리고 집합의 ‘길이’ 개념을 확립하기 위해서는 집합 간의 연산과 이에 대한 구조가 필요합니다.
 

_posts/mathematics/measure-theory/2023-01-23-construction-of-measure.md

@@ -0,0 +1,267 @@
+---
+share: true
+toc: true
+math: true
+categories:
+  - Mathematics
+  - Measure Theory
+path: _posts/mathematics/measure-theory
+tags:
+  - math
+  - analysis
+  - measure-theory
+title: 02. Construction of Measure
+date: 2023-01-23
+github_title: 2023-01-23-construction-of-measure
+image:
+  path: /assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-02.png
+attachment:
+  folder: assets/img/posts/mathematics/measure-theory
+---
+
+![mt-02.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-02.png)
+
+이제 본격적으로 집합을 재보도록 하겠습니다. 우리가 잴 수 있는 집합들부터 시작합니다. $\mathbb{R}^p$에서 논의할 건데, 이제 여기서부터는 $\mathbb{R}$의 구간의 열림/닫힘을 모두 포괄하여 정의합니다. 즉, $\mathbb{R}$의 구간이라고 하면 $[a, b], (a, b), [a, b), (a, b]$ 네 가지 경우를 모두 포함합니다.
+
+## Elementary Sets
+
+**정의.** ($\mathbb{R}^p$의 구간) $a _ i, b _ i \in \mathbb{R}$, $a _ i \leq b _ i$ 라 하자. $I _ i$가 $\mathbb{R}$의 구간이라고 할 때, $\mathbb{R}^p$의 구간은
+
+$$\prod _ {i=1}^p I _ i = I _ 1 \times \cdots \times I _ p$$
+
+와 같이 정의한다.
+
+예를 들어 $\mathbb{R}^2$의 구간이라 하면 직사각형 영역, $\mathbb{R}^3$의 구간이라 하면 직육면체 영역을 떠올릴 수 있습니다. 단, 경계는 포함되지 않을 수도 있습니다.
+
+이러한 구간들을 유한개 모아 합집합하여 얻은 집합을 모아 elementary set이라 합니다.
+
+**정의.** (Elementary Set) 어떤 집합이 유한개 구간의 합집합으로 표현되면 그 집합을 **elementary set**이라고 한다. 그리고 $\mathbb{R}^p$의 elementary set의 모임을 $\Sigma$로 표기한다.
+
+임의의 구간은 유계입니다. 따라서 구간의 유한한 합집합도 유계일 것입니다.
+
+**참고.** 임의의 elementary set은 유계이다.
+
+Elementary set의 모임에서 집합의 연산을 정의할 수 있을 것입니다. 이 때, $\Sigma$가 ring이 된다는 것을 간단하게 확인할 수 있습니다.
+
+**명제.** $\Sigma$는 ring이다. 하지만 전체 공간인 $\mathbb{R}^p$를 포함하고 있지 않기 때문에 $\sigma$-ring은 아니다.
+
+구간의 길이를 재는 방법은 아주 잘 알고 있습니다. 유한개 구간의 합집합인 elementary set에서도 쉽게 잴 수 있습니다. 이제 길이 함수 $m: \Sigma \rightarrow[0, \infty)$ 을 정의하겠습니다. 아직 measure는 아닙니다.
+
+**정의.** $a _ i, b _ i \in \mathbb{R}$ 가 구간 $I _ i$의 양 끝점이라 하자. $\mathbb{R}^p$의 구간 $I = \displaystyle\prod _ {i=1}^p I _ i$ 에 대하여,
+
+$$m(I) = \prod _ {i=1}^p (b _ i - a _ i)$$
+
+로 정의한다.
+
+**정의.** $I _ i$가 쌍마다 서로소인 $\mathbb{R}^p$의 구간이라 하자. $A = \displaystyle\bigcup _ {i=1}^n I _ i$ 에 대하여
+
+$$m(A) = \sum _ {i=1}^n m(I _ i)$$
+
+로 정의한다.
+
+$\mathbb{R}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3$에서 생각해보면 $m$은 곧 길이, 넓이, 부피와 대응되는 함수임을 알 수 있습니다. 또한 쌍마다 서로소인 구간의 합집합에 대해서는 각 구간의 함숫값을 더한 것으로 정의합니다. 어떤 집합을 겹치지 않게 구간으로 나눌 수 있다면, 집합의 ‘길이’가 각 구간의 ‘길이’ 합이 되는 것은 자연스럽습니다.
+
+그리고 이 정의는 well-defined 입니다. $A \in \Sigma$ 에 대해서 서로소인 유한개 구간의 합집합으로 나타내는 방법이 유일하지 않아도, $m$ 값은 같습니다.
+
+**참고.** $m$은 $\Sigma$ 위에서 additive이다. 따라서 $m : \Sigma \rightarrow[0, \infty)$ 은 additive set function이다.
+
+여기서 추가로 regularity 조건을 만족했으면 좋겠습니다.
+
+**정의.** (Regularity) Set function $\mu: \Sigma \rightarrow[0, \infty]$ 가 additive라 하자. 모든 $A \in \Sigma$ 와 $\epsilon > 0$ 에 대하여
+
+> 닫힌집합 $F \in \Sigma$, 열린집합 $G \in \Sigma$ 가 존재하여 $F \subseteq A \subseteq G$ 이고 $\mu(G) - \epsilon \leq \mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon$
+
+이면 $\mu$가 $\Sigma$ 위에서 **regular**하다고 정의한다.
+
+위에서 정의한 $m$이 regular한 것은 쉽게 확인할 수 있습니다.
+
+이제 set function $\mu: \Sigma \rightarrow[0, \infty)$ 가 finite, regular, additive 하다고 가정합니다.
+
+**정의.** (Outer Measure) $E \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^p)$ 의 **outer measure** $\mu^\ast: \mathcal{P}(\mathbb{R}^p) \rightarrow[0, \infty]$ 는
+
+$$\mu^\ast(E) = \inf \left\lbrace \sum _ {n=1}^\infty \mu(A _ n) : \text{열린집합 } A _ n \in \Sigma \text{ 에 대하여 } E \subseteq\bigcup _ {n=1}^\infty A _ n\right\rbrace.$$
+
+로 정의한다.
+
+Outer measure라 부르는 이유는 $E$의 바깥에서 길이를 재서 근사하기 때문입니다. Outer measure는 모든 power set에 대해서 정의할 수 있으니, 이를 이용해서 모든 집합을 잴 수 있으면 좋겠습니다. 하지만 measure가 되려면 countably additive 해야하는데, 이 조건이 가장 만족하기 까다로운 조건입니다. 실제로 countably additive 조건이 성립하지 않습니다.
+
+**참고.**
+
+- $\mu^\ast \geq 0$ 이다.
+
+- $E _ 1 \subseteq E _ 2$ 이면 $\mu^\ast(E _ 1) \leq \mu^\ast(E _ 2)$ 이다. (단조성)
+
+**정리.**
+
+1. $A \in \Sigma$ 이면 $\mu^\ast(A) = \mu(A)$.[^1]
+
+2. Countable subadditivity가 성립한다.
+
+	$$\mu^\ast\left( \bigcup _ {n=1}^\infty E _ n \right) \leq \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(E _ n), \quad (\forall E _ n \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^p))$$
+
+**증명.**
+
+(1) $A \in \Sigma$, $\epsilon > 0$ 라 두자. $\mu$의 regularity를 이용하면, 열린집합 $G \in \Sigma$ 가 존재하여 $A \subseteq G$ 이고
+
+$$\mu^\ast(A) \leq \mu(G) \leq \mu(A) + \epsilon$$
+
+이다. $\mu^\ast$의 정의에 의해 열린집합 $A _ n \in \Sigma$ 가 존재하여 $A \subseteq\displaystyle\bigcup _ {n=1}^\infty A _ n$ 이고
+
+$$\sum _ {n=1}^\infty \mu(A _ n) \leq \mu^\ast(A) + \epsilon$$
+
+이다. 마찬가지로 regularity에 의해 닫힌집합 $F \in \Sigma$ 가 존재하여 $F\subseteq A$ 이고 $\mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon$ 이다. $F \subseteq\mathbb{R}^p$ 는 유계이고 닫힌집합이므로 compact set이고, finite open cover를 택할 수 있다. 즉, 적당한 $N \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $F \subseteq\displaystyle\bigcup _ {i=1}^N A _ {i}$ 가 성립한다.
+
+따라서
+
+$$\mu(A) \leq \mu(F) + \epsilon \leq \sum _ {i=1}^N \mu(A _ i) \leq \sum _ {i=1}^n \mu(A _ i) + \epsilon \leq \mu^\ast(A) + 2\epsilon$$
+
+이제 $\epsilon \rightarrow 0$ 로 두면 $\mu(A) = \mu^\ast(A)$ 를 얻는다.
+
+\(2\) 부등식의 양변이 모두 $\infty$ 이면 증명할 것이 없으므로, 양변이 모두 유한하다고 가정하여 모든 $n\in \mathbb{N}$ 에 대해 $\mu^\ast(E _ n) < \infty$ 라 하자. $\epsilon > 0$ 로 두고, 각 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 열린집합 $A _ {n, k} \in \Sigma$ 가 존재하여 $E _ n \subseteq\displaystyle\bigcup _ {k=1}^\infty A _ {n, k}$ 이고 $\displaystyle\sum _ {k=1}^\infty \mu(A _ {n,k}) \leq \mu^\ast(E _ n) + 2^{-n}\epsilon$ 이다.
+
+$\mu^\ast$는 하한(infimum)으로 정의되었기 때문에,
+
+$$\mu^\ast\left( \bigcup _ {n=1}^\infty E _ n \right) \leq \sum _ {n=1}^\infty \sum _ {k=1}^\infty \mu(A _ {n,k}) \leq \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(E _ n) + \epsilon$$
+
+가 성립하고, $\epsilon \rightarrow 0$ 로 두면 부등식이 성립함을 알 수 있다.
+
+## $\mu$-measurable Sets
+
+Countably additive 조건이 성립하는 집합들만 모아서 measure를 construct 하려고 합니다. 아래 내용은 이를 위한 사전 준비 작업입니다.
+
+**표기법.** (대칭차집합) $A \mathop{\mathrm{\triangle}}B = (A\setminus B) \cup (B \setminus A)$.
+
+**정의.**
+
+- $d(A, B) = \mu^\ast(A \mathop{\mathrm{\triangle}}B)$ 로 정의한다.
+
+- 집합열 $A _ n$에 대하여 $d(A _ n, A) \rightarrow 0$ 이면 $A _ n \rightarrow A$ 로 정의한다.
+
+**참고.**
+
+- $A, B, C \in \mathbb{R}^p$ 에 대하여 $d(A, B) \leq d(A, C) + d(C, B)$ 이다.
+
+- $A _ 1, B _ 2, B _ 1, B _ 2 \in \mathbb{R}^p$ 일 때, 다음이 성립한다.
+
+	$$\left.\begin{array}{c}d(A _ 1 \cup A _ 2, B _ 1 \cup B _ 2) \\d(A _ 1 \cap A _ 2, B _ 1 \cap B _ 2) \\d(A _ 1 \setminus A _ 2, B _ 1 \setminus B _ 2)\end{array}\right\rbrace\leq d(A _ 1, B _ 1) + d(A _ 2, B _ 2).$$
+
+**정의.** (Finitely $\mu$-measurable) 집합 $A _ n \in \Sigma$ 이 존재하여 $A _ n \rightarrow A$ 이면 $A$가 **finitely $\mu$-measurable**이라 한다. 그리고 finitely $\mu$-measurable한 집합의 모임을 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$로 표기한다.
+
+위 정의는 $\mu$라는 set function에 의해 $\mu^\ast (A _ n \mathop{\mathrm{\triangle}}A) \rightarrow 0$ 이 되는 elementary set $A _ n$이 존재한다는 의미입니다.
+
+**정의.** ($\mu$-measurable) $A _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대하여 $A = \displaystyle\bigcup _ {n=1}^\infty A _ n$ 이면 $A$가 **$\mu$-measurable**이라 한다. 그리고 $\mu$-measurable한 집합의 모임을 $\mathfrak{M}(\mu)$로 표기한다.
+
+**참고.** $\mu^\ast(A) = d(A, \varnothing) \leq d(A, B) + \mu^\ast(B)$.
+
+**명제.** $\mu^\ast(A)$ 또는 $\mu^\ast(B)$가 유한하면, 다음이 성립한다.
+
+$$\lvert \mu^\ast(A) - \mu^\ast(B) \rvert \leq d(A, B).$$
+
+**따름정리.** $A \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이면 $\mu^\ast(A) < \infty$ 이다.
+
+**증명.** $A _ n \in \Sigma$ 가 존재하여 $A _ n \rightarrow A$ 이고, $N \in \mathbb{N}$ 이 존재하여
+
+$$\mu^\ast(A) \leq d(A _ N, A) + \mu^\ast(A _ N) \leq 1 + \mu^\ast(A _ N) < \infty$$
+
+이다.
+
+**따름정리.** $A _ n \rightarrow A$ 이고 $A _ n, A \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이면 $\mu^\ast(A _ n)\rightarrow\mu^\ast(A) < \infty$ 이다.
+
+**증명.** $\mu^\ast(A)$, $\mu^\ast(A _ n)$가 유한하므로, $n \rightarrow\infty$ 일 때 $\lvert \mu^\ast(A _ n) - \mu^\ast(A) \rvert \leq d(A _ n, A) \rightarrow 0$ 이다.
+
+## Construction of Measure
+
+준비가 끝났으니 measure를 construct 해보겠습니다! $\mathcal{P}(\mathbb{R}^p)$에서는 할 수 없지만 정의역을 $\mathfrak{M}(\mu)$로 조금 좁히면 measure가 된다는 뜻입니다.
+
+**정리.** $\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-algebra 이고 $\mu^\ast$는 $\mathfrak{M}(\mu)$의 measure가 된다.
+
+**증명.** $\mathfrak{M}(\mu)$가 $\sigma$-algebra이고 $\mu^\ast$가 $\mathfrak{M}(\mu)$에서 countably additive임을 보이면 충분하다.
+
+**(Step 0)** *$\mathfrak{M} _ F(\mu)$는 ring이다.*
+
+$A, B \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 라 하자. 그러면 $A _ n, B _ n \in \Sigma$ 이 존재하여 $A _ n \rightarrow A$, $B _ n \rightarrow B$ 이 된다. 그러면
+
+$$\left.\begin{array}{c}d(A _ n \cup B _ n, A \cup B) \\ d(A _ n \cap B _ n, A \cap B) \\ d(A _ n \setminus B _ n, A \setminus B)\end{array}\right\rbrace\leq d(A _ n, A) + d(B _ n, B) \rightarrow 0$$
+
+이므로 $A _ n \cup B _ n \rightarrow A \cup B, A _ n \setminus B _ n \rightarrow A\setminus B$ 이기 때문에 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$는 ring이다.
+
+**(Step 1)** *$\mu^\ast$는 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$ 위에서 additive이다*.
+
+$\Sigma$ 위에서는 $\mu = \mu^\ast$ 이므로, 위 따름정리에 의해
+
+$$\begin{matrix} \mu(A _ n) \rightarrow\mu^\ast(A), & \mu(A _ n\cup B _ n) \rightarrow\mu^\ast(A\cup B), \\ \mu(B _ n) \rightarrow\mu^\ast(B), & \mu(A _ n\cap B _ n) \rightarrow\mu^\ast(A\cap B) \end{matrix}$$
+
+가 성립함을 알 수 있다. 일반적으로 $\mu(A _ n) + \mu(B _ n) = \mu(A _ n \cup B _ n) + \mu(A _ n \cap B _ n)$ 이므로 여기서 $n \rightarrow\infty$ 로 두면
+
+$$\mu^\ast(A) + \mu^\ast(B) = \mu^\ast(A\cup B) + \mu^\ast(A \cap B)$$
+
+를 얻는다. $A \cap B = \varnothing$ 라는 조건이 추가되면 $\mu^\ast$가 additive임을 알 수 있다.
+
+**(Step 2)** *$\mathfrak{M} _ F(\mu) = \lbrace A \in \mathfrak{M}(\mu) : \mu^\ast(A) < \infty\rbrace$.*[^2]
+
+**Claim**. 쌍마다 서로소인 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$의 원소들을 잡아 이들의 합집합으로 $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ 를 표현할 수 있다.
+
+**증명.** $A _ n' \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대하여 $A = \bigcup A _ n'$ 로 두자.
+
+> $A _ 1 = A _ 1'$, $n \geq 2$ 이면 $A _ n = A _ n' \setminus(A _ 1'\cup \cdots \cup A _ {n-1}')$
+
+와 같이 정의하면 $A _ n$이 쌍마다 서로소이고 $A _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 임을 알 수 있다.
+
+위 사실을 이용하여 $A _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대하여 $A = \displaystyle\bigcup _ {n=1}^\infty A _ n$ 으로 두자.
+
+1. Countable subadditivity에 의해 $\displaystyle\mu^\ast(A) \leq \sum _ {n=1}^{\infty} \mu^\ast (A _ n)$ 가 성립한다.
+
+2. Step 1에 의해 $\displaystyle\bigcup _ {n=1}^k A _ n \subseteq A$, $\displaystyle\sum _ {n=1}^{k} \mu^\ast(A _ n) \leq \mu^\ast(A)$ 이다. $k \rightarrow\infty$ 로 두면 $\displaystyle\mu^\ast(A) \geq \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n)$ 임을 알 수 있다.
+
+따라서 $\displaystyle\mu^\ast(A) = \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n)$ 이다.[^3] [^4]
+
+이제 $B _ n =\displaystyle\bigcup _ {k=1}^n A _ k$ 로 두자. $\mu^\ast(A) < \infty$ 를 가정하면 $\displaystyle\sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n)$의 수렴성에 의해
+
+$$\displaystyle d(A, B _ n) = \mu^\ast\left( \bigcup _ {k=n+1}^\infty A _ k \right) = \sum _ {k=n+1}^{\infty} \mu^\ast(A _ i) \rightarrow 0 \text{ as } n \rightarrow\infty$$
+
+임을 알 수 있다.
+
+$B _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이므로 $C _ n \in \Sigma$ 를 잡아 각 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $d(B _ n, C _ n)$를 임의로 작게 만들 수 있다. 그러면 $d(A, C _ n) \leq d(A, B _ n) + d(B _ n, C _ n)$ 이므로 충분히 큰 $n$에 대하여 $d(A, C _ n)$도 임의로 작게 만들 수 있다. 따라서 $C _ n \rightarrow A$ 임을 알 수 있고 $A \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 라는 결론을 내릴 수 있다.
+
+**(Step 3)** *$\mu^\ast$는 $\mathfrak{M}(\mu)$ 위에서 countably additive이다.*
+
+$A _ n \in \mathfrak{M}(\mu)$ 가 $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ 의 분할이라 하자. 적당한 $m \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\mu^\ast(A _ m) = \infty$ 이면
+
+$$\mu^\ast\left( \bigcup _ {n=1}^\infty A _ n \right) \geq \mu^\ast(A _ m) = \infty = \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n)$$
+
+이므로 countable additivity가 성립한다.
+
+이제 모든 $n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\mu^\ast(A _ n) < \infty$ 이면, Step 2에 의해 $A _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이고
+
+$$\mu^\ast(A) = \mu^\ast\left( \bigcup _ {n=1}^\infty A _ n \right) = \sum _ {n=1}^\infty \mu^\ast(A _ n)$$
+
+가 성립한다.
+
+**(Step 4)** *$\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-ring이다.*
+
+$A _ n \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이면 $B _ {n, k} \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 가 존재하여 $\displaystyle A _ n = \bigcup _ k B _ {n,k}$ 이다. 그러면
+
+$$\bigcup _ n A _ n = \bigcup _ {n, k} B _ {n, k} \in \mathfrak{M}(\mu)$$
+
+이다.
+
+$A, B \in \mathfrak{M}(\mu)$ 라 하면 $A _ n, B _ n \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 에 대해 $\displaystyle A = \bigcup A _ n$, $\displaystyle B = \bigcup B _ n$ 이므로,
+
+$$A \setminus B = \bigcup _ {n=1}^\infty \left( A _ n \setminus B \right) = \bigcup _ {n=1}^\infty (A _ n\setminus(A _ n\cap B))$$
+
+임을 알 수 있다. 그러므로 $A _ n \cap B \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 인 것만 보이면 충분하다. 정의에 의해
+
+$$A _ n \cap B = \bigcup _ {k=1}^\infty (A _ n \cap B _ k) \in \mathfrak{M}(\mu)$$
+
+이고 $\mu^\ast(A _ n \cap B) \leq \mu^\ast(A _ n) < \infty$ 이므로 $A _ n\cap B \in \mathfrak{M} _ F(\mu)$ 이다. 따라서 $A \setminus B$ 가 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$의 원소들의 countable 합집합으로 표현되므로 $A\setminus B \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다.
+
+따라서 $\mathfrak{M}(\mu)$는 $\sigma$-ring이고 $\sigma$-algebra이다.
+
+---
+
+이제 $\Sigma$ 위의 $\mu$ 정의를 $\mathfrak{M}(\mu)$ ($\sigma$-algebra)로 확장하여 $\mathfrak{M}(\mu)$ 위에서는 $\mu = \mu^\ast$ 로 정의합니다. $\Sigma$ 위에서 $\mu = m$ 일 때, 이와 같이 확장한 $\mathfrak{M}(m)$ 위의 $m$을 **Lebesgue measure** on $\mathbb{R}^p$라 합니다. 그리고 $A \in \mathfrak{M}(m)$ 를 Lebesgue measurable set이라 합니다.
+
+[^1]: $A$가 open이 아니면 자명하지 않은 명제입니다.
+[^2]: $A$가 $\mu$-measurable인데 $\mu^\ast(A) < \infty$이면 $A$는 finitely $\mu$-measurable이다.
+[^3]: $A$가 countable union of sets in $\mathfrak{M} _ F(\mu)$이므로 $\mu^\ast$도 각 set의 $\mu^\ast$의 합이 된다.
+[^4]: 아직 증명이 끝나지 않았습니다. $A _ n$은 $\mathfrak{M}(\mu)$의 원소가 아니라 $\mathfrak{M} _ F(\mu)$의 원소입니다.

_posts/mathematics/measure-theory/2023-01-24-measure-spaces.md

@@ -5,6 +5,7 @@ math: true
 categories:
   - Mathematics
   - Measure Theory
+path: _posts/mathematics/measure-theory
 tags:
   - math
   - analysis
@@ -13,16 +14,16 @@ title: 03. Measure Spaces
 date: 2023-01-24
 github_title: 2023-01-24-measure-spaces
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+  path: /assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-03.png
 attachment:
-  folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
+  folder: assets/img/posts/mathematics/measure-theory
 ---
 
 ## Remarks on Construction of Measure
 
 Construction of measure 증명에서 추가로 참고할 내용입니다.
 
-![mt-03.png](../../../assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-03.png)
+![mt-03.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-03.png)
 
 **명제.** $A$가 열린집합이면 $A \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다. 또한 $A^C \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이므로, $F$가 닫힌집합이면 $F \in \mathfrak{M}(\mu)$ 이다.
 

_posts/mathematics/measure-theory/2023-02-06-measurable-functions.md

@@ -5,6 +5,7 @@ math: true
 categories:
   - Mathematics
   - Measure Theory
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   - math
   - analysis
@@ -13,9 +14,9 @@ title: 04. Measurable Functions
 date: 2023-02-06
 github_title: 2023-02-06-measurable-functions
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-  folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
+  folder: assets/img/posts/mathematics/measure-theory
 ---
 
 Lebesgue integral을 공부하기 전 마지막 준비입니다. Lebesgue integral은 다음과 같이 표기합니다.
@@ -160,7 +161,7 @@ $$s(x) = \sum_ {i=1}^{n} c_i \chi_ {E_i}(x).$$
 
 여기서 $E _ i$에 measurable 조건이 추가되면, 정의에 의해 $\chi _ {E _ i}$도 measurable function입니다. 따라서 모든 measurable simple function을 measurable $\chi _ {E _ i}$의 linear combination으로 표현할 수 있습니다.
 
-![mt-04.png](../../../assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-04.png)
+![mt-04.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-04.png)
 
 아래 정리는 simple function이 Lebesgue integral의 building block이 되는 이유를 잘 드러냅니다. 모든 함수는 simple function으로 근사할 수 있습니다.
 

_posts/mathematics/measure-theory/2023-02-13-lebesgue-integration.md

@@ -5,6 +5,7 @@ math: true
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   - Mathematics
   - Measure Theory
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   - math
   - analysis
@@ -13,9 +14,9 @@ title: 05. Lebesgue Integration
 date: 2023-02-13
 github_title: 2023-02-13-lebesgue-integration
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-  folder: assets/img/posts/Mathematics/Measure Theory
+  folder: assets/img/posts/mathematics/measure-theory
 ---
 
 ## Lebesgue Integration
@@ -126,7 +127,7 @@ $$\int f \,d{\mu} = \sup\left\lbrace \int h \,d{\mu}: 0\leq h \leq f, h \text{ m
 
 $f$보다 작은 measurable simple function의 적분값 중 상한을 택하겠다는 의미입니다. $f$보다 작은 measurable simple function으로 $f$를 근사한다고도 이해할 수 있습니다. 또한 $f$가 simple function이면 Step 2의 정의와 일치하는 것을 알 수 있습니다.
 
-![mt-05.png](../../../assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-05.png)
+![mt-05.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-05.png)
 
 $f \geq 0$ 가 measurable이면 증가하는 measurable simple 함수열 $s _ n$이 존재함을 지난 번에 보였습니다. 이 $s _ n$에 대하여 적분값을 계산해보면
 

_posts/mathematics/measure-theory/2023-03-25-convergence-theorems.md

@@ -0,0 +1,206 @@
+---
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+math: true
+categories:
+  - Mathematics
+  - Measure Theory
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+tags:
+  - math
+  - analysis
+  - measure-theory
+title: 06. Convergence Theorems
+date: 2023-03-25
+github_title: 2023-03-25-convergence-theorems
+image:
+  path: /assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-06.png
+attachment:
+  folder: assets/img/posts/mathematics/measure-theory
+---
+
+르벡 적분 이론에서 굉장히 자주 사용되는 수렴 정리에 대해 다루겠습니다. 이 정리들을 사용하면 굉장히 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다.
+
+## Monotone Convergence Theorem
+
+먼저 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem, MCT)입니다. 이 정리에서는 $f _ n \geq 0$ 인 것이 매우 중요합니다.
+
+![mt-06.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-06.png)
+
+**정리.** (단조 수렴 정리) $f _ n: X \rightarrow[0, \infty]$ 가 measurable이고 모든 $x \in X$ 에 대하여 $f _ n(x) \leq f _ {n+1}(x)$ 라 하자.
+
+$$\lim _ {n\rightarrow\infty} f _ n(x) = \sup _ {n} f _ n(x) = f(x)$$
+
+로 두면,
+
+$$\int f \,d{\mu} = \lim _ {n\rightarrow\infty} \int f _ n \,d{\mu} = \sup _ {n \in \mathbb{N}} \int f _ n \,d{\mu}$$
+
+이다.
+
+**증명.**
+
+($\geq$) $f _ n(x) \leq f(x)$ 이므로 단조성을 이용하면 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\displaystyle\int f _ n \,d{\mu} \leq \displaystyle\int f \,d{\mu}$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.
+
+$$\sup _ n \int f _ n \,d{\mu} \leq \int f \,d{\mu}.$$
+
+($\leq$) 실수 $c \in (0, 1)$ 를 잡자. 마지막에 $c \nearrow 1$ 로 둘 것이다. 이제 measurable simple function $s$가 $0 \leq s \leq f$ 라 하자. 그러면 모든 $x \in X$ 에 대하여 $c \cdot s(x) < f(x)$ 일 것이다.
+
+이제
+
+$$E _ n = \lbrace x \in X : f _ n(x) \geq cs(x)\rbrace$$
+
+으로 두면, $f _ n(x) - cs(x)$ 가 measurable function이므로 $E _ n$ 또한 measurable이다. 여기서 $f _ n$이 증가하므로 $E _ n\subseteq E _ {n+1} \subseteq\cdots$ 임을 알 수 있고 $f _ n \rightarrow f$ 이므로 $\bigcup _ {n=1}^\infty E _ n = X$ 이다.
+
+충분히 큰 $N \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $n \geq N$ 일 때, 모든 $x$에 대하여 $f(x) \geq f _ n(x) > cs(x)$ 가 되게 할 수 있다. 그리고 $f _ n \geq f _ n \chi _ {E _ n} \geq cs \chi _ {E _ n}$ 이므로
+
+$$\tag{\(\star\)}    \int f _ n \,d{\mu} \geq \int f _ n \chi _ {E _ n} \,d{\mu} \geq c\int s \chi _ {E _ n} \,d{\mu},$$
+
+이고 여기서 $s, \chi _ {E _ n}$는 simple function이다. 그러므로 $s = \sum _ {k=0}^m y _ k \chi _ {A _ k}$ 라고 적으면
+
+$$s\chi _ {E _ n} = \sum _ {k=0}^m y _ k \chi _ {A _ k\cap E _ n} \implies \int s \chi _ {E _ n} \,d{\mu} = \sum _ {k=0}^m y _ k \mu(A _ k\cap E _ n)$$
+
+이다. $n\rightarrow\infty$ 일 때 $A _ k\cap E _ n \nearrow A _ k$ 이므로, continuity of measure를 사용해 $\mu(A _ k \cap E _ n) \nearrow \mu(A _ k)$ 를 얻고
+
+$$\lim _ {n\rightarrow\infty} \int s \chi _ {E _ n}\,d{\mu} = \int s \,d{\mu}$$
+
+임도 알 수 있다. 이제 ($\star$)를 이용하면
+
+$$\lim _ {n\rightarrow\infty} \int f _ n \,d{\mu} \geq c\int s \,d{\mu}$$
+
+이므로, $c \nearrow 1$ 로 두고 $0\leq s\leq f$ 에 대하여 $\sup$을 취하면
+
+$$\lim _ {n\rightarrow\infty} \int f _ n \,d{\mu} \geq \sup _ {0\leq s\leq f} \int s \,d{\mu} = \int f \,d{\mu}$$
+
+가 되어 원하는 결과를 얻는다.
+
+**참고.** 만약 부등식 $0 \leq f _ n \leq f _ {n+1}$ 이 정의역 전체가 아닌 정의역의 부분집합 $E$에서만 성립한다고 하면, 다음과 같이 생각할 수 있다.
+
+$$0 \leq f _ n \chi _ E \leq f _ {n+1} \chi _ E \nearrow f \chi _ E.$$
+
+그러므로 단조 수렴 정리가 $E$에서도 성립함을 알 수 있다.
+
+> $E$에서 $0\leq f _ n \leq f _ {n+1} \nearrow f$ 이면 $\displaystyle\lim _ {n\rightarrow\infty} \int _ E f _ n \,d{\mu} = \int _ E f \,d{\mu}$.
+
+**참고.** 함수열 $f _ n$이 증가하는 경우에만 정리가 성립합니다. 감소하는 경우에는 반례로 함수 $f _ n = \chi _ {[n, \infty)}$ 를 생각할 수 있습니다. 그러면 $n \rightarrow\infty$ 일 때 $\chi _ {[n, \infty)} \searrow 0$ 입니다.
+
+그러면 Lebesgue measure $m$에 대하여
+
+$$\infty = \int \chi _ {[n, \infty)} \,d{m} \neq \int 0 \,d{m} = 0$$
+
+이 되어 단조 수렴 정리가 성립하지 않음을 확인할 수 있습니다.
+
+---
+
+지난 번에 $f \geq 0$ 가 measurable이면 증가하는 measurable simple 함수열 $s _ n$이 존재함을 보였고, 이 $s _ n$에 대하여 적분값을 계산하여
+
+$$\int _ E s _ n \,d{\mu} = \sum _ {i=1}^{n2^n} \frac{i - 1}{2^n}\mu\left( \left\lbrace x \in E : \frac{i-1}{2^n} \leq f(x) \leq \frac{i}{2^n}\right\rbrace \right) + n\mu(\lbrace x \in E : f(x)\geq n\rbrace)$$
+
+라는 결과까지 얻었습니다. 그런데 여기서
+
+$$f(x) = \displaystyle\lim _ {n\rightarrow\infty} s _ n(x)$$
+
+이기 때문에, 단조 수렴 정리에 의해
+
+$$\int _ E f \,d{\mu} = \lim _ {n\rightarrow\infty} \int _ E s _ n \,d{\mu}$$
+
+가 성립하여 기대했던 결과를 얻었습니다. 지난 번 설명한 것처럼, 이는 곧 르벡 적분은 치역을 잘게 잘라 넓이를 계산한 것으로 이해할 수 있다는 의미가 됩니다.
+
+---
+
+다음은 단조 수렴 정리를 활용하여 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있는 예제입니다.
+
+**참고.** Measurable function $f, g \geq 0$ 과 $\alpha, \beta \in [0, \infty)$ 에 대하여 다음이 성립한다.
+
+$$\int _ E \left( \alpha f + \beta g \right) \,d{\mu} = \alpha \int _ E f \,d{\mu} + \beta \int _ E g\,d{\mu}.$$
+
+**증명.** Measurable function은 measurable simple function으로 근사할 수 있고, $f, g \geq 0$ 이므로 단조증가하도록 잡을 수 있다. 그러므로 measurable simple function $f _ n$, $g _ n$에 대하여 $0 \leq f _ n \leq f _ {n+1} \nearrow f$, $0 \leq g _ n \leq g _ {n+1} \nearrow g$ 으로 잡는다.
+
+그러면 $\alpha f _ n + \beta g _ n \nearrow \alpha f + \beta g$ 이고 $\alpha f _ n + \beta g _ n$ 은 단조증가하는 measurable simple 함수열이다. 따라서 단조 수렴 정리에 의해
+
+$$\int _ E \left( \alpha f _ n + \beta g _ n \right) \,d{\mu} = \alpha \int _ E f _ n \,d{\mu} + \beta \int _ E g _ n \,d{\mu} \rightarrow\alpha \int _ E f \,d{\mu} + \beta \int _ E g\,d{\mu}$$
+
+이다.
+
+이와 비슷한 방법을 급수에도 적용할 수 있습니다.
+
+**정리.** Measurable function $f _ n: X \rightarrow[0, \infty]$ 에 대하여 $\sum _ {n=1}^\infty f _ n$는 measurable이고, 단조 수렴 정리에 의해 다음이 성립한다.
+
+$$\int _ E \sum _ {n=1}^\infty f _ n \,d{\mu} = \sum _ {n=1}^\infty \int _ E f _ n \,d{\mu}.$$
+
+**증명.** $\sum _ {n=1}^\infty f _ n$는 measurable function의 극한이므로 measurable이다. 무한급수를 부분합의 극한으로 생각하면 $f _ n \geq 0$ 이므로 부분합이 증가함을 알 수 있다. 따라서 단조 수렴 정리를 적용하여 결론을 얻는다.
+
+## Fatou's Lemma
+
+단조 수렴 정리와 동치인 수렴 정리를 하나 더 소개합니다. Fatou's lemma로 알려져 있습니다.
+
+**정리.** (Fatou) $f _ n \geq 0$ 가 measurable이고 $E$가 measurable이라 하자. 다음이 성립한다.
+
+$$\int _ E \liminf _ {n\rightarrow\infty} f _ n \,d{\mu} \leq \liminf _ {n\rightarrow\infty} \int _ E f _ n \,d{\mu}.$$
+
+**증명.** $g _ n = \displaystyle\inf _ {k \geq n} f _ k$ 으로 두면 $\displaystyle\lim _ {n \rightarrow\infty} g _ n = \liminf _ {n\rightarrow\infty} f _ n$ 이다. $g _ n$이 증가함은 쉽게 확인할 수 있으며 $g _ n \geq 0$ 이다. $g _ n$의 정의로부터 모든 $k \geq n$ 에 대하여 $g _ n \leq f _ k$ 이므로,
+
+$$\int _ E g _ n \,d{\mu} \leq \inf _ {k\geq n} \int _ E f _ k \,d{\mu}$$
+
+이다. 여기서 $n \rightarrow\infty$ 로 두면
+
+$$\int _ E \liminf _ {n\rightarrow\infty} f _ n \,d{\mu} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ E g _ n \,d{\mu} \leq \lim _ {n \rightarrow\infty} \inf _ {k \geq n}\int _ E f _ k \,d{\mu} = \liminf _ {n \rightarrow\infty} \int _ E f _ n \,d{\mu}$$
+
+이 된다. 여기서 첫 번째 등호는 단조 수렴 정리에 의해 성립한다.
+
+**참고.** 위 증명에서는 단조 수렴 정리를 활용했습니다. 반대로 이 정리를 가정하면 단조 수렴 정리를 증명할 수 있기도 합니다. 따라서 이 둘은 동치입니다. 증명은 생략합니다.
+
+**참고.** 왠지 위와 비슷한 결론이 $\limsup$에 대해서도 성립해야 할 것 같습니다. 구체적으로,
+
+$$\int _ E \limsup _ {n \rightarrow\infty} f _ n \,d{\mu} \geq \limsup _ {n \rightarrow\infty} \int _ E f _ n \,d{\mu}$$
+
+일 것 같습니다. 안타깝게도 이는 성립하지 않습니다. 반례로 앞서 소개한 $\chi _ {[n, \infty)}$를 한 번 더 가져올 수 있습니다. 좌변을 계산해 보면 0이지만, 우변을 계산해 보면 $\infty$입니다. 나중에 소개하겠지만, $\lvert f _ n \rvert \leq g$ 를 만족하는 함수 $g \in \mathcal{L}^{1}$ 가 존재해야 위 부등식이 성립합니다.
+
+## Properties of the Lebesgue Integral
+
+르벡 적분의 몇 가지 성질을 소개하고 마칩니다.
+
+1. $f$가 measurable이고 $E$에서 bounded이며 $\mu(E) < \infty$ 일 때, 적당한 실수 $M > 0$ 에 대하여 $\lvert f \rvert \leq M$ 이므로
+
+	$$\int _ E \lvert f \rvert \,d{\mu} \leq \int _ E M \,d{\mu} = M\mu(E) < \infty$$
+
+	임을 알 수 있습니다. 그러므로 $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 입니다. $E$의 measure가 finite라는 가정 하에, bounded function은 모두 르벡 적분 가능합니다.
+
+2. $f, g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 이고 $E$에서 $f \leq g$ 일 때, 단조성이 성립함을 보이려고 합니다. 앞에서는 $0 \leq f \leq g$ 인 경우에만 단조성을 증명했었는데, 이를 확장하여 함수가 음의 값을 가지는 경우에도 증명하고 싶습니다. 그러므로 양수인 부분과 음수인 부분을 나누어 고려하여 다음과 같이 적을 수 있습니다.
+
+	$$\chi _ E (x) f^+(x) \leq \chi _ E(x) g^+(x), \qquad \chi _ E(x) g^-(x) \leq \chi _ E (x) f^-(x)$$
+
+	이로부터
+
+	$$\int _ E f^+ \,d{\mu} \leq \int _ E g^+ \,d{\mu} < \infty, \qquad \int _ E g^- \,d{\mu} \leq \int _ E f^- \,d{\mu} < \infty$$
+
+	를 얻습니다. 따라서
+
+	$$\int _ E f\,d{\mu} \leq \int _ E g \,d{\mu}$$
+
+	가 성립하고, 함수가 음의 값을 가지는 경우에도 단조성이 성립함을 알 수 있습니다.
+
+3. $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$, $c \in \mathbb{R}$ 라 하면 $cf \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 입니다. 왜냐하면
+
+	$$\int _ E \lvert c \rvert\lvert f \rvert \,d{\mu} = \lvert c \rvert \int _ E \lvert f \rvert\,d{\mu} < \infty$$
+
+	이기 때문입니다. 적분이 가능하니 실제 적분값을 계산할 때 선형성이 성립했으면 좋겠습니다. 앞에서는 음이 아닌 실수에 대해서만 증명했었는데, 이도 마찬가지로 확장하려 합니다. $c < 0$ 인 경우만 보이면 됩니다. 이 때, $(cf)^+ = -cf^-$, $(cf)^- = -cf^+$ 이므로, 다음이 성립합니다.
+
+	$$\int _ E cf \,d{\mu} = \int _ E (cf)^+ - \int _ E (cf)^- \,d{\mu} = -c \int _ E f^- \,d{\mu} - (-c) \int _ E f^+ \,d{\mu} = c\int _ E f\,d{\mu}.$$
+
+4. Measurable function $f$에 대하여 $E$에서 $a \leq f(x) \leq b$ 이고 $\mu(E) < \infty$ 일 때 다음이 성립합니다.
+
+	$$\int _ E a \chi _ E \,d{\mu} \leq \int _ E f\chi _ E \,d{\mu} \leq \int _ E b \chi _ E \,d{\mu} \implies a \mu(E) \leq \int _ E f \,d{\mu} \leq b \mu(E).$$
+
+	$f$가 르벡 적분 가능하다는 사실은 $f$가 bounded라는 사실을 이용합니다.
+
+5. $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 와 measurable set $A \subseteq E$ 가 주어지는 경우, $f$는 $E$의 부분집합인 $A$ 위에서도 르벡 적분 가능합니다. 이는 다음 부등식에서 확인할 수 있습니다.
+
+	$$\int _ A \lvert f \rvert \,d{\mu} \leq \int _ E \lvert f \rvert\,d{\mu} < \infty.$$
+
+6. 만약 measure가 0인 집합에서 적분을 하면 어떻게 될까요? $\mu(E) = 0$ 라 하고, measurable function $f$를 적분해 보겠습니다. 여기서 $\min\lbrace \lvert f \rvert, n\rbrace\chi _ E$ 도 measurable이며 $n \rightarrow\infty$ 일 때 $\min\lbrace \lvert f \rvert, n\rbrace\chi _ E \nearrow \lvert f \rvert\chi _ E$ 임을 이용합니다. 마지막으로 단조 수렴 정리를 적용하면
+
+	$$\begin{aligned}                    \int _ E \lvert f \rvert \,d{\mu} &= \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ E \min\lbrace \lvert f \rvert, n\rbrace \,d{\mu} \\                    &\leq \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ E n \,d{\mu} = \lim _ {n \rightarrow\infty} n\mu(E) = 0                  \end{aligned}$$
+
+	임을 얻습니다. 따라서 $f \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 이고, $\displaystyle\int _ E f \,d{\mu} = 0$ 가 되어 적분값이 0임을 알 수 있습니다. 즉, measure가 0인 집합 위에서 적분하면 그 결과는 0이 됩니다.[^1]
+
+[^1]: 편의상 $0\cdot\infty = 0$ 으로 정의했기 때문에 $f \equiv \infty$ 인 경우에도 성립합니다.

_posts/mathematics/measure-theory/2023-04-07-dominated-convergence-theorem.md

@@ -2,15 +2,21 @@
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-title: "07. Dominated Convergence Theorem"
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 ---
 
 ## Almost Everywhere
@@ -149,7 +155,7 @@ $$[f] = \lbrace g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu) : f \sim g\rbrace.$$
 
 마지막 수렴정리를 소개하고 수렴정리와 관련된 내용을 마칩니다. 지배 수렴 정리(dominated convergence theorem, DCT)로 불립니다.
 
-![mt-07.png](/assets/img/posts/Mathematics/Measure%20Theory/mt-07.png)
+![mt-07.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-07.png)
 
 **정리.** (지배 수렴 정리) Measurable set $E$와 measurable function $f$에 대하여, $\lbrace f _ n\rbrace$이 measurable function의 함수열이라 하자. $E$의 거의 모든 점 위에서 극한 $f(x) = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow\infty} f _ n(x)$ 가 $\overline{\mathbb{R}}$에 존재하고 (점별 수렴) $\lvert f _ n \rvert \leq g \quad \mu$-a.e. on $E$ ($\forall n \geq 1$) 를 만족하는 $g \in \mathcal{L}^{1}(E, \mu)$ 가 존재하면,
 

_posts/mathematics/measure-theory/2023-06-20-comparison-with-riemann-integral.md

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+  - Measure Theory
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+title: 08. Comparison with the Riemann Integral
+date: 2023-06-20
+github_title: 2023-06-20-comparison-with-riemann-integral
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+
+![mt-08.png](../../../assets/img/posts/mathematics/measure-theory/mt-08.png)
+
+## Comparison with the Riemann Integral
+
+먼저 혼동을 막기 위해 Lebesgue measure $m$에 대하여 르벡 적분을
+
+$$\int _ {[a, b]} f \,d{m} = \int _ {[a, b]} f \,d{x} = \int _ a^b f \,d{x}$$
+
+와 같이 표기하고, 리만 적분은
+
+$$\mathcal{R}\int _ a^b f\,d{x}$$
+
+로 표기하겠습니다.
+
+**정리.** $a, b \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $a < b$ 이고 함수 $f$가 유계라고 하자.
+
+1. $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 이면 $f \in \mathcal{L}^{1}[a, b]$ 이고 $\displaystyle\int _ a^b f\,d{x} = \mathcal{R}\int _ a^b f \,d{x}$ 이다.
+
+2. $f \in \mathcal{R}[a, b]$ $\iff$ $f$가 연속 $m$-a.e. on $[a, b]$.
+
+쉽게 풀어서 적어보면, (1)은 $f$가 $[a, b]$에서 리만 적분 가능하면 르벡 적분 또한 가능하며, 적분 값이 같다는 의미입니다. 즉 르벡 적분이 리만 적분보다 더 강력하다는 것을 알 수 있습니다.
+
+또한 (2)는 리만 적분 가능성에 대한 동치 조건을 알려줍니다. Almost everywhere라는 조건이 붙었기 때문에, $\mathcal{L}^1$의 equivalence class를 고려하면 사실상 연속함수에 대해서만 리만 적분이 가능하다는 뜻이 됩니다.
+
+**증명.** $k \in \mathbb{N}$ 에 대하여 구간 $[a, b]$의 분할 $P _ k = \lbrace a = x _ 0^k < x _ 1^k < \cdots < x _ {n _ k}^k = b\rbrace$ 를 잡는다. 단 $P _ k \subseteq P _ {k+1}$ (refinement) 이고 $\lvert x _ {i}^k - x _ {i-1}^k \rvert < \frac{1}{k}$ 이 되도록 한다.
+
+그러면 리만 적분의 정의로부터
+
+$$\lim _ {k \rightarrow\infty} L(P _ k, f) = \mathcal{R}\underline{\int _ {a}^{b}} f\,d{x}, \quad \lim _ {k \rightarrow\infty} U(P _ k, f) = \mathcal{R} \overline{\int _ {a}^{b}} f \,d{x}$$
+
+임을 알 수 있다.
+
+이제 measurable simple function $U _ k, L _ k$를 다음과 같이 잡는다.
+
+$$U _ k = \sum _ {i=1}^{n _ k} \sup _ {x _ {i-1}^k \leq y \leq x _ {i}^k} f(y) \chi _ {(x _ {i-1}^k, x _ i^k]}, \quad L _ k = \sum _ {i=1}^{n _ k} \inf _ {x _ {i-1}^k \leq y \leq x _ {i}^k} f(y) \chi _ {(x _ {i-1}^k, x _ i^k]}.$$
+
+그러면 구간 $[a, b]$ 위에서 $L _ k \leq f \leq U _ k$인 것은 당연하고, 르벡 적분이 가능하므로
+
+$$\int _ a^b L _ k \,d{x} = L(P _ k, f), \quad \int _ a^b U _ k \,d{x} = U(P _ k, f)$$
+
+이 됨을 알 수 있다. 여기서 $P _ k \subseteq P _ {k + 1}$ 이 되도록 잡았기 때문에, $L _ k$는 증가하는 수열, $U _ k$는 감소하는 수열이다.
+
+그러므로
+
+$$L(x) = \lim _ {k \rightarrow\infty} L _ k(x), \quad U(x) = \lim _ {k \rightarrow\infty} U _ k(x)$$
+
+로 정의했을 때, 극한이 존재함을 알 수 있다. 여기서 $f, L _ k, U _ k$가 모두 유계인 함수이므로 지배 수렴 정리에 의해
+
+$$\int _ a^b L \,d{x} = \lim _ {k \rightarrow\infty} \int _ a^b L _ k \,d{x} = \lim _ {k \rightarrow\infty} L(P _ k, f) = \mathcal{R}\underline{\int _ {a}^{b}} f\,d{x} < \infty,$$
+
+$$\int _ a^b U\,d{x} = \lim _ {k \rightarrow\infty} \int _ a^b U _ k \,d{x} = \lim _ {k \rightarrow\infty} U(P _ k, f) = \mathcal{R} \overline{\int _ {a}^{b}} f \,d{x} < \infty$$
+
+이므로 $L, U \in \mathcal{L}^{1}[a, b]$ 이다.
+
+위 사실을 종합하면 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 일 때,
+
+$$\mathcal{R}\underline{\int _ {a}^{b}} f\,d{x} = \mathcal{R}\overline{\int _ {a}^{b}} f\,d{x}$$
+
+이므로
+
+$$\int _ a^b (U - L)\,d{x} = 0$$
+
+가 되어 $U = L$ $m$-a.e. on $[a, b]$라는 사실을 알 수 있다. 역으로 이를 거꾸로 읽어보면 $U = L$ $m$-a.e. on $[a, b]$일 때 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 가 되는 것 또한 알 수 있다.
+
+(1) 위 논의에 의해 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 이면 $f = U = L$ a.e. on $[a, b]$ 이다. 따라서 $f$는 measurable.
+
+$$\int _ a^b f \,d{x} = \mathcal{R}\int _ a^b f\,d{x} < \infty \implies f \in \mathcal{L}^{1}[a, b].$$
+
+(2) 만약 $x \notin \bigcup _ {k=1}^{\infty} P _ k$ 라고 가정하면, 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 충분히 큰 $n \in \mathbb{N}$ 을 잡았을 때 적당한 $j _ 0 \in \mathbb{N}$ 이 존재하여 $x \in (t _ {j _ 0-1}^n, t _ {j _ 0}^n)$ 이면서
+
+$$\lvert L _ n(x) - L(x) \rvert + \lvert U _ n(x) - U(x) \rvert < \epsilon$$
+
+이 되도록 할 수 있다. 그러면 $y \in (t _ {j _ 0-1}^n, t _ {j _ 0}^n)$ 일 때
+
+$$\begin{aligned}        \lvert f(x) - f(y) \rvert & \leq M _ {j _ 0}^n - m _ {j _ 0}^n = M _ {j _ 0}^n - U(x) + U(x) - L(x) + L(x) - m _ {j _ 0}^n \\                          & \leq U(x) - L(x) + \epsilon    \end{aligned}$$
+
+가 됨을 알 수 있다.
+
+위 부등식에 의해 $y \in \lbrace x : U(x) = L(x)\rbrace \setminus\bigcup _ {k=1}^{\infty} P _ k$ 이면 $f$가 $y$에서 연속임을 알 수 있게 된다.
+
+따라서, $f$가 연속인 점들의 집합을 $C _ f$라 하면
+
+$$\lbrace x : U(x) = L(x)\rbrace \setminus\bigcup _ {k=1}^{\infty} P _ k \subseteq C _ f \subseteq\lbrace x : U(x) = L(x)\rbrace$$
+
+이 된다. 한편 $\bigcup _ {k=1}^{\infty} P _ k$는 measure가 0 이므로, $U = L$ $m$-a.e. 인 것과 $f$가 연속 $m$-a.e. 인 것은 동치이다. 위 논의의 결과를 이용하면 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 인 것과 $f$가 연속 $m$-a.e. 인 것은 동치이다.
+
+아래는 증명의 부산물입니다.
+
+**참고.**
+
+1. $x \notin \bigcup _ {k=1}^\infty P _ k$ 이면 $f$가 $x$에서 연속 $\iff f(x) = U(x) = L(x)$ 이다.
+
+2. $L(x) \leq f(x) \leq U(x)$ 이고 measurable function의 극한인 $L(x), U(x)$ 또한 measurable이다.
+
+3. $f$가 유계라는 조건이 있기 때문에 $f \geq 0$ 인 경우만 생각해도 충분하다. $\lvert f \rvert \leq M$ 라고 하면 $f$ 대신 $f + M$ 을 생각하면 되기 때문이다.
+
+이제 리만 적분의 유용한 성질들을 가지고 와서 사용할 수 있습니다.
+
+1. $f \geq 0$ 이고 measurable일 때, $f _ n = f\chi _ {[0, n]}$으로 정의한다. 단조 수렴 정리에 의해
+
+	$$\int _ 0^\infty f \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ 0^\infty f _ n \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ 0^n f \,d{x}$$
+
+	이다. 마지막 적분을 리만 적분으로 계산할 수 있다.
+
+2. 닫힌 유계 구간 $I \subseteq(0, \infty)$ 에 대하여 $f \in \mathcal{R}(I)$ 라 하면 $f \in \mathcal{L}^{1}(I)$ 이다. $f _ n = f\chi _ {[0, n]}$ 으로 잡으면 $\lvert f _ n \rvert \leq f$ 이므로 지배 수렴 정리를 적용하여
+
+	$$\int _ 0^\infty f \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ 0^\infty f _ n \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ 0^n f \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \mathcal{R} \int _ 0^n f \,d{x}$$
+
+	임을 알 수 있다.
+
+마찬가지로 $f _ n = f\chi _ {(1/n, 1)}$ 으로 잡은 경우에도 지배 수렴 정리에 의해
+
+$$\int _ 0^1 f\,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \int _ {0}^1 f _ n \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty}\int _ {1/n}^1 f \,d{x} = \lim _ {n \rightarrow\infty} \mathcal{R}\int _ {1/n}^1 f \,d{x}$$
+
+이 된다.

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